中考备战数学・新课程中学・解（１）画图略（２）结论：ＢＡ＝ＡＦ＋ＣＦ证明
分别延长ＡＥ、ＤＦ交于点Ｍ．
又∵ＢＥ＝１
２００８年５月５日∴ＡＢ＝１
ＥＣ２ＧＣ２∵ＡＢ＝５∴ＧＣ＝１０∵ＦＣ＝１∴ＧＦ＝９∵ＡＢ∥ＣＦ∴∠ＢＡＥ＝∠Ｇ又∵∠ＢＡＥ＝∠ＥＤＦ∴∠Ｇ＝∠ＥＤＦ∴ＧＦ＝ＤＦ∴ＤＦ＝９
ＤＡＤＢＥＭＣＦＧＢ与ＡＦ、ＣＦ之间的等量关系，并证明你的结论；
如图３，ＤＥ、ＢＣ相交于点Ｅ，ＢＡ
交ＤＥ于点Ａ，且ＢＥ∶ＥＣ＝１∶２，∠ＢＡＥ＝∠ＥＤＦ，
ＣＦ∥ＡＢ．若ＡＢ＝５，ＣＦ＝１，求ＤＦ的长度．
ＰＭ
Ｏ图１
∵Ｅ为ＢＣ中点∵ＡＢ∥ＣＤ∴ＡＢ＝ＭＣ
∴ＢＥ＝ＣＥ∴∠ＢＡＥ＝∠Ｍ
∴△ＡＢＥ≌△ＭＣＥ∴∠Ｍ＝∠ＥＡＦ∴ＡＢ＝ＡＦ＋ＣＦ
ＮＱ
Ｄ
Ｄ
ＡＢ
Ｅ图３
又∵∠ＡＥＢ＝∠ＭＥＣ又∵∠ＢＡＥ＝∠ＥＡＦ
Ａ
Ｂ
Ｅ图２
∴ＭＦ＝ＡＦ
又∵ＭＣ＝ＭＦ＋ＣＦ
ＣＦ
ＡＥＣＦＦ
Ｃ（３）分别延长ＤＥ、ＣＦ交于点Ｇ．
∵ＡＢ∥ＣＦ∴∠Ｂ＝∠Ｃ∴ＡＢ＝ＢＥ
ＧＣＥＣ∠ＢＡＥ＝∠Ｇ
∴△ＡＢＥ∽△ＧＣＥ
分析由对称可知，只需在直线ＰＱ上，在
点Ｏ的两边截取相等的两部分即可．在探究一、探究二的活动中，分别延长ＡＥ和ＣＦ，利用全等可得ＡＢ＝ＡＦ＋ＣＦ，利用相似可求ＤＦ的长．
综上所述，这类几何探究题的解题思路往往是相同的，结论也往往是不变或相近的．只要仔细探究，一定会找到解决的途径．
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++函数知识的梳理与汇总
函数、一次函数（一）平面直角坐标系、
函数知识是中考命题的重点和热点，也是中考的难点所在．函数知识包括平面直角坐标二次函数、反系和函数的有关概念，一次函数、
比例函数的概念、图象和性质，这部分内容是中考考查的重中之重。
象限的概念，点的坐标的意义，已知点求坐标，已知坐标描点，象限内点的坐标的特征，坐原点对称的标轴上点的特征及关于ｘ轴、ｙ轴、点的坐标的特征都是中考命题的热点，常见题型是填空题和选择题，有时也将知识点与其他知识点相结合以解答题形式出现．
函数的概念、函数自变量的取值范围、函数的图象等知识点的考查，在中考试题中，一般以一选择或填空题形式出现．对一次函数的概念、次函数的图象和性质、一次函数与方程（组）及一元一次不等式的关系、一次函数的应用等知识点的考查各种题型都有，而且一次函数的应用题异彩纷呈，逐年翻新．
考点１
平面直角坐标系中点的位置与坐
标的符号特征
例１（重庆）若点Ｍ（１，２ａ－１）在第四象限内，则ａ的取值范围是
特征：
点Ｐ三象限的夹角平分线上（ｘ，ｙ）在第一、
面积为２０，若２≤ｘ≤１０，则ｙ与ｘ的函数图象是
（
ｙ５
１Ｏ２ｙ５１１０ｘＯ２
ｙ１０２１０ｘＯ２ｙ１０２１０ｘＯ２１０ｘ）
&ｘ与ｙ相等；
点Ｐ四象限的夹角平分线上（ｘ，ｙ）在第二、
&ｘ与ｙ互为相反数．
４．坐标轴上的点不属于任何象限．
例２（湖南怀化）已知点Ｐ（－２，３）关于ｙ轴的对称点为Ｑ（ａ，ｂ），则ａ＋ｂ的值是（
）
ＡＢＣＤ
解析：由题意可知，两个一样的小矩形的面积和为２０，那么一个小矩形的面积为１０，所以
Ａ．１Ｂ．－１Ｃ．５Ｄ．－５
解析：如果两个点关于ｙ轴对称，那么这两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数．由此得到“ａ＝２，ｂ＝３，所以ａ＋ｂ＝５．故选Ｃ．
评注：１．和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征：
位于平行于ｘ轴的直线上的各点的纵坐标相同；
位于平行于ｙ轴的直线上的各点的横坐标相同．
ｘｙ＝１０，ｙ＝１０（２≤ｘ≤１０）．因此选Ａ．
ｘ例４（江苏泰州）函数ｙ＝’ｘ＋１中，自
’２－ｘ变量ｘ的取值范围是（）
Ａ．ｘ≥－１Ｃ．－１≤ｘ＜２
Ｂ．－１≤ｘ≤２Ｄ．ｘ＜２
ｘ＋１≥０*２－ｘ＞０．
，
’２－ｘ解不等式组得－１≤ｘ＜２故选Ｃ．
解析：函数ｙ＝’ｘ＋１中ｘ应满足
２．关于ｘ轴、ｙ轴或原点对称的点的坐标的
特征：
点Ｐ与点Ｐ１关于ｘ轴对称&横坐标相等，纵坐标互为相反数；
点Ｐ与点Ｐ２关于ｙ轴对称&纵坐标相等，横坐标互为相反数；
点Ｐ与点Ｐ３关于原点对称&横、纵坐标均互为相反数．
评注：理解函数的概念要抓住三个方面：一是函数与自变量之间的对应关系，二是自变量的取值范围，三是函数值的变化范围．同时在实际问题中求出函数解析式后，应考虑自变量的取值范围．
考点３例５
求一次函数的解析式
（湖南郴州）已知正比例函数ｙ＝ｋｘ
．
解析：∵若点Ｍ（１，２ａ－１）在第四象限内，
∴２ａ－１＜０，
∴ａ＜１．
２评注：１．各象限内点的坐标的特征：点Ｐ（ｘ，ｙ）在第一象限&ｘ＞０，ｙ＞０；点Ｐ（ｘ，ｙ）在第二象限&ｘ＜０，ｙ＞０；点Ｐ（ｘ，ｙ）在第三象限&ｘ＜０，ｙ＜０；点Ｐ（ｘ，ｙ）在第四象限&ｘ＞０，ｙ＜０．
经过点Ｐ（１，２），如图所示．
（１）求这个正比例函数的解析式；（２）将这个正比例函数的图象向右平移４个单位，写出在这个平移下，点原点Ｏ的像Ｐ＇、Ｐ、Ｏ＇的坐标，并求出平移后的直线的解析式．
ｙＯｙ
（１，２）Ｐ＇Ｐ３．有关距离：
点Ｐ（ｘ，ｙ）到ｘ轴的距离等于ｙ；点Ｐ（ｘ，ｙ）到ｙ轴的距离等于ｘ；点Ｐ（ｘ，ｙ）到原点的距离等于’ｘ２＋ｙ２．考点２
函数图象
例３（安徽）一张正方形的纸片，剪去两个一样的图案，１２小矩形得到一个“Ｅ”如图所示，设小矩形的长和宽分别为ｘ、ｙ，剪去部分的
ｘ１２
２．坐标轴上的点的特征：
点Ｐ（ｘ，ｙ）在ｘ轴上&ｙ＝０，ｘ为任意实数；点Ｐ（ｘ，ｙ）在ｙ轴上&ｘ＝０，ｙ为任意实数；点Ｐ（ｘ，ｙ）既在ｘ轴上，又在ｙ轴上&ｘ＝０，
Ｏ＇ｘｙ＝０．
３．两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的
解析：（１）由于点Ｐ（１，２）在直线ｙ＝ｋｘ上，所以ｋ・１＝２得ｋ＝２，这个正比例函数解析式为
ｙ＝２ｘ．
２００８年５月５日（２）Ｐ＇（５，２），Ｏ＇（４，０）．
设解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０），把Ｐ＇（５，２），Ｏ＇（４，０）代入得：
考点５
新课程中学・一次函数与一次方程不等式（组）、
例７（江苏连云港）如图，直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ交坐标轴于Ａ，Ｂ两点，则不等式ｋｘ＋ｂ＞０的解集是
（
）
（－２，０）Ａ
Ｏ
中考备战数学・２７（２）小明从学校出发乘坐出租车回家用了
１３元，求学校离小明家的路程．
解析：（１）图象由一条线段和一条射线组成，由此我们可以得到在０到２ｋｍ内都是５元；
５ｋ＋ｂ＝２
#４ｋ＋ｂ＝０．
，
解得
ｋ＝２
#ｂ＝－８．
，
ｙ
（０，３）Ｂ
所以解析式为ｙ＝２ｘ－８．
评注：待定系数法是求函数解析式的一种常用方法．
考点４
一次函数的图象和性质
ｙＯ
ｘ
Ａ．ｘ＞－２Ｂ．ｘ＞３Ｃ．ｘ＜－２Ｄ．ｘ＜３
２ｋｍ后，每增加０．６２５ｋｍ加１元等信息．
（２）要想知道小明从学校出发乘坐出租车回家用了１３元时，学校离小明家的路程，我们要先求出射线所在直线的解析式．
设射线的表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ．依题意，得
ｘ例６（福建福州）已知一次函数ｙ＝（ａ－１）ｘ＋ｂ的图象如图所示，那么ａ的取值范围是（
）
解析：求不等式ｋｘ＋ｂ＞０的解集就是求当ｙ＞０时的自变量ｘ的取值范围．由图象可知，直线位于ｘ轴上方的点所对应的函数值都大于０，而这些点所对应的自变量的取值范围是ｘ＞－２，因此选Ａ．
考点６例８
一次函数的应用（广东梅州）在
（元）ｙ
５＝２ｋ＋ｂ
#６＝２．６２５ｋ＋ｂ．
，
解得ｋ＝８，ｂ＝９．
Ａ．ａ＞１Ｃ．ａ＞０
Ｂ．ａ＜１Ｄ．ａ＜０
５５解析：根据函数图象可知ｙ随ｘ的增大而增大，结合一次函数的图象性质得ａ－１＞０，所以ａ＞
故ｙ＝８ｘ＋９．
５５１．故选Ａ．
评注：１．解决此类问题的关键是明确一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ中ｋ、ｂ的符号与直线的位置之间的关系，并学会应用数形结合的数学思想方法．
（略）２．一次函数的图象与性质
市区内，我市乘坐出租车的价格ｙ（元）与路程ｘ（ｋｍ）的函数关系图象如图所示．
（１）请你根据图象写出两条信息；
将ｙ＝１３代入上式，得ｘ＝７．所以小明家离学校７ｋｍ．
评注：解决函数的应用问题一定要注意函数的自变量的取值范围，同时要结合图象分析问题，充分利用数形结合思想解决问题．
６
５
Ｏ２２．６２５ｘ（ｋｍ）
（二）反比例函数、二次函数
对反比例函数考查的知识点主要有反比例函数的概念、图象、性质，反比例函数的应用，反比例函数与一次函数的结合．中考中的试题通常以选择、填空题出现，有时也会出现中档的解答题．
考查二次函数的概念、平移规律、图象与性质等常以填空题和选择题的形式出现，考查求二次函数的顶点、对称轴，二次函数与一元二次方程间的关系常出现在简单的计算题中，考查二次函数解析式及简单的应用常出现在解答题中．此外，二次函数常与三角形、四边形、圆等知识结合组成综合题．
考点１
反比例函数的图象和性质
例１（湖南岳阳）在下图中，反比例函数
３．当ｋ＞０时，反比例函数ｙ＝ｋ的图象位于ｘ第一、三象限，且ｙ随ｘ的增大而减小；当ｋ＜０时，反比例函数ｙ＝ｋ的图象位于第二、四象限，
即可求出反比例函数的解析式．
考点３
反比例函数与一次函数的结合
例４（北京）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，反比例函数ｙ＝ｋ的图象与ｙ＝３的图象关于ｘ
ｘｘｘ且ｙ随ｘ的增大而增大．
例２
（山东东营）如
ＭＮＯ
ｘｙ
轴对称，又与直线ｙ＝ａｘ＋２交于点Ａ（ｍ，３），试确定ａ的值．
解析：依题意得，反比例函数ｙ＝ｋ的解析
图所示，点Ｍ是该函数图象上一点，ＭＮ垂直于ｘ轴，垂足是点Ｎ，如果Ｓ
△ＭＯＮ＝２，则ｋ的值为
ｘ式为ｙ＝－３．
（
）
ｘＡ．２Ｃ．４
Ｂ．－２Ｄ．－４
因为点Ａ（ｍ，３）在反比例函数ｙ＝－３的图
ｘ象上，所以ｍ＝－１，即点Ａ的坐标为（－１，３）．
由点Ａ（－１，３）在直线ｙ＝ａｘ＋２上，可求得ａ＝－１．
评注：点的坐标与函数图象的关系是：当点在函数图象上，点的坐标应该满足函数的解析式；当点的坐标满足函数解析式时，点在函数的图象上．
考点４
二次函数图象的平移规律
例５（江苏苏州）将抛物线ｙ＝ｘ２的图象向右平移３个单位，则平移后的抛物线的解析式为
解析：由函数图象可知ｋ＜０，设点Ｍ的坐标为（ｘ，ｙ），因为点Ｍ在反比例函数ｙ＝ｋ的图）
象上，所以ｘｙ＝ｋ．因为Ｓ△ＭＯＮ＝１ＭＮ・ＯＮ＝１
ｙ＝ｋ＋１的图象大致是
ｘ２
（
ｙ
ｙ
ＯｘＯ
ｘｘｙＯｘ
ｙＯｘ２２ｘｙ，
Ｓ△ＭＯＮ＝２所以ｘｙ＝４，即ｋ＝４．因为ｋ＜０，所以ｋ＝－４．故选Ｄ．
考点２
反比例函数的解析式
例３（广东梅州）近视眼镜的度数ｙ（度）与镜片焦距ｘ（米）成反比例，已知４００度近视眼镜镜片的焦距为０．２５米，则眼镜度数ｙ与镜片焦距ｘ之间的函数关系式为
（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）
解析：因为ｋ２＋１＞０，所以反比例函数ｙ＝
ｋ２＋１的图象位于第一、三象限，且ｙ随ｘ的增
ｘ大而减小．故选Ｄ．
评注：１．反比例函数ｙ＝ｋ中的ｋ是一个分式，
．
解析：二次函数图象的平移问题，其实质是
．ｘ顶点的平移，因此可以先求出平移前后二次函数的顶点坐标，再解答．原二次函数的顶点坐标
ｘｘ解析：设反比例函数的解析式为ｙ＝ｋ（ｋ≠
自变量ｘ≠０，ｋ是非零常数，函数与ｘ轴、ｙ轴无交点．
为（０，０），平移后新二次函数的顶点坐标为
ｋ，解得ｋ＝１００．所以（３，０）．故平移后的抛物线的解析式为ｙ＝０），根据题意，得４００＝（ｘ－３）２．０．２５眼镜度数ｙ与镜片焦距ｘ之间的函数关系式为
评注：利用顶点的平移来研究二次函数图象的平移是转化思想的重要体现．
考点５
二次函数的图象与性质
例６（福建福州）如图所示，二次函数ｙ＝（ａ≠０）的图象经过点（－１，２），且与ｘａｘ２＋ｂｘ＋ｃ
轴交点的横坐标分别为ｘ１、ｘ２，其中－２＜ｘ１＜－
１００
是轴对称图形，又是中心对称图形，双曲线随ｙ＝ｘ．ｘ的增大而越来越接近坐标轴但永远不会与
坐标轴相交；随着ｋ的增大，双曲线相对于原点的位置越来越远．
２．反比例函数的图象是双曲线，双曲线既
评注：在反比例函数的解析式ｙ＝ｋ中，只
ｘ有一个待定的系数ｋ，因此只需知道一个条件
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