吉林省松原市油田高中2014届高三基础知识调研考试数学(理科)试题

数学（理科）试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集U=R，集合M={x|x2+2x-3≤0），N={x|-1≤x≤4}，则MN等于 A.{x |1≤x≤4} B． {x |-1≤x≤3} C． {x |-3≤x≤4）D． {x |-1≤x≤1}

2．复数

1i2i表示复平面内的点位于 A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

3．设a=3

0．3

，b=log3，c=log0．3 e则a，b，c的大小关系是

A．aB．cC．bD．c4．若p：xR，cosx1，则

A．p：x0R，cosx01 B．p：xR，cosx1 C．p：x0R，cosx01 D．p：xR，cosx1

5. 如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校的学生连续参观两天，其余学校的学生均只参观一天，则不同的安排方法共有 A．50种 B．60种 C．120种 D．210种

6．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下列选项中，不可能是该锥体的俯视图的是

7．已知椭圆方程为

x2y2431，双曲线x2y2a2b21(a0,b0)的焦点是椭圆的顶点， 顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为

A．2 B．3

C．2 D．3

xy1108．设实数x，y满足不等式组3xy30，则z=2x+Y的最大值为

x0A．13

B．19

C．24

D．29

9．已知等比数列{a2n}满足a12,a3a54a6,则a3的值为 A．

12 B．1 C．2 D．

14 10．非零向量a，b使得labl=|a||b|成立的一个充分非必要条件是

A．a//b

B．a2b0

C．a|a|b|b|

D．ab

11．设函数f(x)2x，则如图所示的函数图象

A．yf(|x|) B．y|f(x)| C．yf(|x|) D．y|f(x)| 12．已知yf(x)是奇函数，且满足f(x2)2f(x)0，当x(0,2)时，

f(x)lnxax(a112)，当x(4,2)时，f(x)的最大值为4，则a

A．34 B．2 C．52 D．1

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上 13．

21x2dx= ;

14．已知程序框图如右图所示，则输出的i= ;

15．在棱锥P-ABC中，侧棱PA，PB，PC 两两垂直，Q为底面ABC内 一点，若点Q到三个侧面的距离分别为2，2，2，则以线段PQ为直径的 球的表面积是： ；

16．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：

2213 32135 421357 … 235 37911 413151719 …

根据上述分解规律，若m13511，p分解中最小正整数是21，则mp__ ． 2333(2)已知圆M：x2y22的切线l与椭圆相交于A、B两点，那么以AB为直径的圆是否3经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由，

21.（本小题满分12分）

已知函数f(x)plnx(p1)x1 . 23三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)

已知函数f(x)sin2x23sin2x31． (1)求f(x)的最小正周期及其单调增区间： (2)当x[6,6]时，求f(x)的值域．

18. (本小题满分12分)

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB//CD，AD⊥AB，AD=AB=12CD=1,PD⊥面ABCD，PD=2，E是PC的中点

（1）证明：BE//面PAD； （2）求二面角E—BD—C的大小． 19．(本小题满分12分)

甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23． (1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；

(2)设甲答对题目的个数为X，求X的分布列及数学期望． 20.（本小题满分12分）

已知椭圆C：

x22a2yb21(ab0)的离心率e22，左、右焦点分别为F1、F2，抛物线y242x的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点．

(1)求椭圆C的方程；

（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）当p1时，f(x)kx恒成立，求实数k的取值范围； （3）证明：ln(n1)112131n(nN*). 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

A 如图所示，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，

D B、D为切点

O (1)求证：AD//OC

(2)若⊙O的半径为1，求AD·OC的值.

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

B C 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已

知直线L经过点P(1,1),倾斜角6．

（I）写出直线L的参数方程；

（II）设L与圆2相交与两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积． 24.（本小题满分 10 分）选修 4- 5 ：不等式选讲

已知函数f(x)|x2||x1|

（1）若f(x)a恒成立，求a的取值范围； （2）解不等式f(x)x22x.

数学（理科）答案

一、 DABAC CCABB CD 二. 7/3 9 16 11 三. 18. 【解析】：

17.【解析】

(1).f(x)sin2x3(12sin2x)1

sin2x3cos2x12sin(2x23)1．函数f(x)的最小正周期T2．

由正弦函数的性质知，当2k22x32k2，

即k512xk12(kZ)时，

函数ysin(2x3)为单调增函数，所以函数f(x)的单调增区间为[k512,k12]，(kZ)．

(2)因为x[26,6]，所以2x3[0,3]，所以sin(2x3)[0,1]，

所以f(x)2sin(2x3)1[1,3]，所以f(x)的值域为[1，3]．

19.【解析】

(1)设甲、乙闯关成功分别为事件A、B，

则P(A)C124C2C341， 6205P(B)(123)3C12212733(13)227927 事件A、B相互独立，

则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是

1P(AB)1P(A)P(B)117128527135． (2)由题知的所有可能取值是1，2．

12213P(1)C4C2C31，P(2)C4C2C443， 65C65则的分布列为

所以E11524955．

20. 【解析】(1)因为椭圆C的离心率e22，所以ca22，即a2c．

因为抛物线y242x的焦点F(2,0)恰好是该椭圆的一个顶点，

所以a2，所以c1，b1．所以椭圆C的方程为x22y21． (2)(i)当直线l的斜率不存在时．

因为直线l与圆M相切，故其中的一条切线方程为x63． x6,由36,6)6,6)， x2不妨设A(，B(y2333321,则以AB为直径的圆的方程为(x63)2y223． (ii)当直线l的斜率为零时．

因为直线l与圆M相切，所以其中的一条切线方程为y63． 由y63,不妨设A(6,6)，B(6,6)， x233332y21,则以AB为直径的圆的方程为x2(y63)223． 显然以上两圆都经过点O(0，0)． (iii)当直线l的斜率存在且不为零时．

设直线l的方程为ykxm．

由ykxm,x2消去y，得(2k21)x24kmx2m220， 22y1,所以设A(x4km2m221,y1)，B(x2,y2)，则x1x22k21，x1x22k21．

)(kx22m22k2所以y1y2(kx1m2m)kx1x2km(x1x2)m2k21．3m2所以OAOBx2k221x2y1y22k21．① 因为直线l和圆M相切，所以圆心到直线l的距离d|m|61k23， 整理，得m223(1k2)， ② 将②代入①，得OAOB0，显然以AB为直径的圆经过定点O(0，0)

综上可知，以AB为直径的圆过定点(0，0)． 21. 【解析】

（1）f(x)的定义域为（0，+∞），

f'xp2p1x2x2p1xpx

当p1时，f'(x)＞0，故f(x)在（0，+∞）单调递增； 当p0时，f'(x)＜0，故f(x)在（0，+∞）单调递减；

当0＜p＜1时，令f'(x)=0，解得xp2p1.

则当xp0,时，f'(x)＞0；xp时，f'(x)＜0. 2p1,2p1故f(x)在pp0,2p1单调递增，在2p1,单调递减 （2）因为x0，所以

当p=1时，f(x)kx恒成立1lnxkxk1lnxx 令h(x)1lnxx，则kh(x)max, 因为h'(x)lnxx2，由h'(x)0得x1，

且当x(0,1)时，h'(x)0；当x(1,)时，h'(x)0.

所以h(x)在(0,1)上递增，在(1,)上递减.所以h(x)maxh(1)1，故k1 （3）由（2）知当k1时，有f(x)x，当x1时，f(x)x即lnxx1，

令xn1n11n，则lnnn，即ln(n1)lnn1n 所以ln2131n111，ln22，…，lnn1n，

相加得ln21ln32lnn111n12n

而ln21ln3n123n12lnnln12nln(n1) 所以ln(n1)112131n，(nN*) 22. 【解析】

(1)如图，连接BD、OD.∵CB、CD是⊙O的两条切线, ∴BD⊥OC，∴∠2+∠3=90°

又AB为⊙O直径，∴AD⊥DB，∠1+∠2=90°,

∴∠1=∠3，∴AD∥OC

(2)AO=OD，则∠1=∠A=∠3,∴Rt△BAD∽Rt△ODC,AD•OC=AB•OD=2 23．【解析】

x13t,2(t是参数）y11t（I）直线的参数方程是2;

（II）因为点A,B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2,则点A,B的坐标分别为

A(132t1311,12t1),B(12t2,12t2)．

圆2化为直角坐标系的方程x2y24． 以直线l的参数方程代入圆的方程

x2y24整理得到 t 2  ( 3  1 )t20 ①

因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2．

所以|PA|·|PB|= |t1t2|＝|－2|＝2． 24.【解析】

(x1)（1）f(x)32x1(1x2)，

3(x2)又当1x2时，32x13， ∴3f(x)3

∴若使f(x)≤a恒成立，应有a≥fmax(x),即a≥3 ∴a的取值范围是：[3，+∞）

（2）当x1时，x22x31x2x1；

当1x2时，x22x2x11x11x1； 当x2时，x22x3x；

综合上述，不等式的解集为：1,1.