基于MATLAB优化工具箱的机床主轴优化设计

机械装备优化设计三级项目

题目：基于MATLAB优化工具箱的机床主轴优化设计

班级：12级机械装备-2班

设计人员（按贡献大小排序）：吴涛（120101010061）

李立猛（120101010091）张兆宇（120101010086）

一、 优化设计问题分析：

主轴是机床的关键执行部件，起到传递运动和扭矩、承受切削抗力的作用，并对工件表面的加工质量、机床的加工精度和生产效率有很大影响。因此，要求主轴具有良好的回转精度，较高的结构强度、刚度、抗振性。从机床主轴制造成本较低、工作能力较强及加工精度较高的要求出发，需要考虑主轴的体积、强度、刚度这样3 个重要因素，对于一般的机床来说，并不追求过高的加工精度，因此，应该以主轴的体积最小为设计目标，将主轴的强度、刚度等作为约束条件。

二、 优化设计方案选择：

MATLAB 优化工具箱提供了对各种优化问题的一个完整的解决方案，其函数表达简洁、优化结果准确、可靠。因此，MATLAB 优化工具箱已被广泛应用于各种结构优化设计当中。

所以本次项目运用MATLAB 工具箱对主轴的参数进行优化设计，既克服了以往设计方法中的盲目性，又提高主轴的设计效率和质量。

三、 具体任务分工：

吴 涛：MATLAB编程、word制作

李立猛：制作ppt

张兆宇：word制作、查阅资料

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四、 优化设计内容与步骤

1、优化设计问题的数学建模

机床主轴的输入功率P = 120 kW ，主轴的转速n = 1 000 r /min，主轴内径d = 30 mm，主轴的悬臂端受到的切削力F = 15 000 N，许用挠度［y0］ = 0.04 mm，许用单位扭转角［Φ］ = 0.000 25( °) /mm，主轴的许用应力［σ］ = 37.5 MPa,要求主轴外径为60 mm ≤ D ≤140 mm，两支承跨度为300 mm ≤ L ≤650 mm，悬臂段长度为90 mm ≤ a ≤150 mm 。

1.1 确定设计变量和目标函数

与主轴体积有关的设计变量包括主轴的内径d、外径D、两支撑跨度L 及外伸段长度a。

由于机床主轴的内径主要取决于待加工棒料的直径，故不作为设计变量处理。因此，设计变量为:

机床主轴体积最小优化设计的目标函数为：

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1.2 约束条件

1.2.1 主轴强度约束条件

在切削加工中，主轴的最大工作应力不得超过许用应力［σ］，则有:

式中T 为机床主轴所受最大扭矩，M 为机床主轴所受最大弯矩，W 为抗弯截面模量。

整理得到主轴强度的约束条件:

1.2.2 主轴弯曲刚度约束条件

工件的加工质量在很大程度上取决于机床主轴的刚度。因此，要求主轴悬臂端挠度不得超过许用挠度［y0］。由材料力学可知，主轴悬臂端挠度绝对值最大:

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式中: I 为空心主轴的惯性矩，I = π/64( D － d) ; E 为主轴的弹性模量( 钢) ，E =

442.1 × 10 MPa。

5整理得到主轴弯曲刚度的约束条件:

1.2.3 主轴扭转刚度约束条件

机床在正常工作时，除要求主轴有足够的强度和弯曲刚度外，还要求主轴不能产生过大的扭转变形，即要求主轴具有一定的扭转刚度。如果主轴的扭转刚度不足，将会降低机床的加工精度或产生剧烈的振动，影响机床的正常工作。因此，要求主轴最大单位扭转角不得超过许用的单位扭转角［Φ］。即:

式中: G 为主轴材料的剪切弹性模量，G = 8.0 × 10MPa; Ipmin为主轴的最小极惯

4性矩。

整理得到主轴扭转刚度的约束条件:

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1.2.4 结构条件( 边界条件)

边界约束条件为设计变量的取值范围,即

由此确定的边界约束为:

1.3 优化数学模型

将所有函数表达式整理得到:

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2、所选择的优化方法及MatLab程序

2.1 所选择的优化方法

根据建立的机床主轴优化模型，利用MATLAB优化工具箱对主轴结构进行优化设计，fmincon是MATLAB中求解多维非线性约束问题的函数，其数学模型为:

函数fmincon的调用格式为：

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其中，x_opt和f_opt分别是返回目标函数的最优解及在最优解x点处的函数值；

Jcz_f是调用目标函数的函数文件名；

x0是初始点向量；

Lb，Ub分别是设计变量的上、下界向量；

Jcz_g是非线性约束条件的函数名；

2.2 MATLAB程序

编制床主轴结构优化设计的M 文件:

%1-机床主轴体积优化设计主程序M 文件

%2-机床主轴体积的目标函数M 文件( jcz_f)

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%3-机床主轴的非线性约束函数M 文件( jcz_g)

M 文件的运行结果如下：

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3、优化结果及分析

使用MATLAB工具箱中的约束非线性优化函数fmincon求解，取可行域内的初始点

(0)Tx(500,100,120)向量，采用内点算法，经过16次迭代计算收敛，在可行域内得到目标数

的极小值点

***Tx*(x1,x2,x3)[300.0000,90.0000,79.0940]T和机床主轴体积最优值

**f(x*)1640500mm3。得到的极小值点能够满足各约束条件，所以x1*、x2和x3是可行域内使机

床主轴体积最小的最佳参数值。

…

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五、 结论

运用MATLAB 优化工具箱对机床主轴结构进行优化设计，编程少，计算度快，并且结果准确、可靠，大大提高了机床主轴的设计效率。从优化计算结果可以看出，通过MATLAB 的优化计算可以使机床主轴的强度、刚度完全满足设计的要求，同时也可以减小机床主轴的体积，实现了优化的目的，这对于提高设计效率、降低成本具有重要意义。

参考文献

[1]. 刘红娟． 基于MATLAB 的机床主轴结构优化设计［J］． 工具技术， 2012( 46) : 36-38．

[2]. 沈浩，靳岚，谢黎明． 基于MATLAB 的机床主轴结构参数优化设计［J］． 科学技术与工程， 2008，8( 16) : 4722-4724．

[3]. [3] 周开利,邓春晖.MATLAB基础及其应用教程[M].北京:北京大学出版社,2005.

[4] 王家文,王皓,刘海.MATLAB7.0编程基础[M].北京:机械工业出版社,2005.98

[5] 张鄂.机械与工程优化设计.北京:科学出版社，2012.02

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