第一讲：因数与倍数
知识点拨
1、因数和倍数：
如果a×b=c(a,b，c都是不为零的整数),那么a，b就是c的因数，c就是a,b的倍数。 例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。 如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数,b就是a的因数。 例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数.
2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找 （2）列除法算式找 一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。 例如： 15的因数有哪些？
方法一：1×15=15，3×5=15(一般从自然数1开始，一对一对的找) 方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止)
所以15的因数就是1, 3， 5， 15。最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。
3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身,没有最大的，方法是依次乘以自然数.
例如：3的倍数 3 6 9 12 15 ....。。。 3是3最小的倍数，也就是它本身 倍数特征:最小的倍数是本身,没有最大的倍数
4、2、5、3的倍数的特征：
①个位上是0、2、4、6、8的数,都是2的倍数. ②个位上是0或5的数，是5的倍数。
③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
5、在自然数中,是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数),不是2的倍数的数叫做奇数。 奇数与偶数的运算性质
性质1:偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 性质2：偶数±奇数=奇数
性质3：偶数个奇数的和是偶数 性质4:奇数个奇数的和是奇数
性质5：偶数×奇数=偶数,奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数
例题精讲
一、倍数与因数的认识
1
【例1】请问：图中有哪些数？ （1） 根据图中数据：
①买5千克梨需要多少钱？
可以说：20是4的倍数；20是5的倍数； 4是20的因数；5是20的因数。
你通过自己的理解,给老师说说什么是倍数，什么是因数？
②买3千克苹果需要多少钱？你能根据算式说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数吗?
③买2千克葡萄需要多少钱？
【例2】根据算式说说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数： 18×2＝36 22×7＝154 25×4＝100 6×8＝48
【例3】口算下面个题：
15÷3＝ 7÷1＝ 10÷4＝ 36÷0.6＝ 6÷6＝
问：你认为哪些算式具有倍数和因数的关系？为什么？
【例5】变式训练:10÷4＝2.5 36÷0。6＝60
你认为哪些算式具有倍数和因数的关系？为什么？
注意，这里是重点！ 2
【例4】找出下列能整除的算式，说一说谁是谁的倍数,谁是谁的因数？
60÷5 8÷1 15÷2 8÷8 1÷8 200÷10
【例5】找出18的因数和倍数.（用乘法和除法两种方法找）
【例6】五一班有学生42人，把他们平均分成几个学习小组，每组多于2人且少于8人,可以分成几个小组呢？
【巩固】用36个大小相同的正方形拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？
【例7】12是6的倍数，24是6的倍数，12和24的和是6的倍数吗？差、积呢?
【巩固】21是7的倍数，49也是7的倍数，49和21的差是7的倍数吗？
【巩固】63是9的倍数，18也是9的倍数,63与18的和是9的倍数吗？
总结:如果两个数都是一个数的倍数，那么这两个数的和、差、积也是这个数的倍数。 巩固练习：
（1）写出100以内8的倍数。
（2）写出48的因数。
（3）计算并说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数？
24÷6= 72÷8= 9÷9= 100÷25= 25×3＝ 14×6＝ 20×9＝ (4）下面各组数中，有因数和倍数关系的有哪些?
16和2 140和20 45和15
33和6 4和24 7。2和8
3
二、2和5的倍数的特征
【例8】我们已经掌握了因数、倍数的意义，下面这几个数，谁是2的倍数？谁是5的倍数? 8267 694872 3410 18634 56205 5558
【例9】观察5的倍数有什么特征？在右表中找出5的倍数，并做上记号：
你能总结出5的倍数的特征吗？
【例10】（1）写出20以内(包括20)2的倍数 （2)你发现了什么？ （3）结论:
注意：检验一下是不是个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数.
【例11】判断：下面哪些数是2的倍数？哪些是5的倍数? 60、75、106、130、521、 89、 98
①、哪些数既是2的倍数又是 5的倍数呢?说说是怎样判断的？ ②、既是2的倍数又是 5的倍数的数有什么特征。
【例12】写出30后面的3个连续偶数；写出33前面的3个连续奇数。
【例13】5个连续奇数的和是135,这5个连续奇数分别是多少？
【例14】5个连续偶数的和是130，这5个连续偶数分别是多少？
【例15】计算下面算式，你有什么发现？
26+12 73+21 25+22 11×13 12×10 26-12 73-21 25-22 11×12
总结：两个偶数相加减， ；两个奇数相加减， ；奇数与偶数的和（差）是 ;两个奇数相乘， ；两个偶数相乘， ；奇数和偶数相乘， ；。
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【例16】①能被2整除的最小的三位数是（ ）最大的三位数是（ ）。 ②能被5整除的最小两位数是（ ）最大的两位数是（ )。
【例17】桌子上有5个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的4个，问能否经过若干次翻动，使得5个杯子的开口全都向下？
【巩固】 桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的4只杯子，问能否经过若干
次翻动，使得全部杯子的开口全都向下？
【例18】不计算，判断48×625×32×435的积末尾有几个连续的0？
【巩固】不计算，判断72×56×125×15末尾有几个连续的0？
三、3的倍数的特征
【例19】三个数字卡片 1 2 3 。
（1）由 2 3 组成一个三位数123，是3的倍数吗？（ ）； 1 （2）由 还能组成哪些三位数？
1 2 3
（2） 这些数都是3的倍数吗?
【例20】三个数字卡片 2 3 5 （1）由 3 5 组成一个三位数235，是3的倍数吗？( ）。 2 （2）由 还能组成哪些三位数？
2 3 5
（3）这些数都是3的倍数吗?
(4)这6个数都不是3的倍数，说明什么?
5
【例21】从0～9中任取2个或3个数字，组成两位数或三位数，试一试这些数是不是3的倍数。
讨论：把是3的倍数的数挑出来，看看它们有哪些特征? 巩固练习：
(1）下面那些数是3的倍数？
18、35、315、291、192、1200、6030、8400、7065、1234、70002、57、1336、215803。
（2）在 填上一个数字，使组成的数是3的倍数。
2 1 3 36 76 6 8
（3)从0、3、5、6中选出两个数字组成一个两位数，满足下面的条件: a：是3的倍数； b:同时是2和3的倍数；
c：同时是3和5的倍数； d：同时是2、3和5的倍数。
四、常见数字的整除判定方法:
(1）2：个位是偶数的自然数 （2）5：个位是0或5的自然数
注：若一个数同时是2和5的倍数，则此数的个位一定为0 （3）4、25：末两位能被4、25整除 （4)8、125：末三位能被8、125整除
（5）3、9：各个数位上的数之和能被3、9整除
(6）7、11、13通用性质：①一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整除。如
201201=201×1001，则其必能被7、11、13整除
②从末三位开始,三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是7、11、13的倍数,则其为7、11、13的倍数
③末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小的，如果差为7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数
（7)11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除 （8）99：两位一段（从右往左），各段的和能被99整除 （9）999：三位一段（从右往左），各段的和能被999整除
【例22】在□内填上适当的数字，使五位数23□6□既能被3整除又能被5整除。
【例23】既能被3整除,又能被7整除的最小三位数是 。
【例24】一个五位数中各个数位上的数字和是42,则其中能被4整除的五位数是哪几个?
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【例25】在1～1000之间的自然数，能同时被2、3、5整除的数共有 个。
【例26】一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后,所得的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共 有 个．
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