上海中学数学・２０１０年第５期 抽象函数问题及其解法 ２０００２３上海市五爱高级中学 林天初 抽象函数问题经常出现在高考试题中，且 是邻近Ｙ轴的对称轴，故丁一２丌是ｆ（ｚ）的 近几年有增多的趋势．由于抽象函数一般没给 最小正周期． 出具体解析式，高中学生往往有畏惧心理．在高 例２ 函数ｙ一厂（ ），满足条件：厂（－ｚ＋７ｒ）一 考复习时，教师给予适当的指导是必要的．本文 一＿厂（ ），且 是满足条件的最小数，求函数最小 选取一些高考或复习题中出现的抽象函数问 正周期． 题，分类例举，以供参考． 解：＿厂（ ）一一［一＿厂（ ）］一一ｆＥ（ ＋ ）一 一、求抽象函数的周期 尢（ ＋７ｒ）＋ 一厂（ｚ＋２ ），又７ｒ是满足条件的 最小数，故丁一２ 是－厂（ ）的最小正周期． 例１ 定义在Ｒ上的Ｌ厂（ ）是偶函数，图像 本题可推出以下结论： 关于 一丌对称，且 一 是邻近Ｙ轴的对称轴． 函数 一厂（ ），满足条件：＿厂（ ＋ａ）一一ｆ 求最小正周期． （ ），（ｎ≠Ｏ）．则丁一２ Ｉａ ｌ是函数Ｙ＝－厂（ｚ）的一 解：因厂（ ）是定义在Ｒ上的偶函数，图像 个正周期，若１ ａ ｌ为满足条件的最小正数，２ ｌ ａ Ｉ 关于直线 一丌对称，就有 （－ｒ）一＿厂（一 ），，（７ｆ 为最小正周期． ）一－厂（ ＋ ），于是，＿厂（ ）一－厂（一 ）一，［７ｆ 另一种结论也可由学生自行证明：函数 一 （ ＋丌）］一＿厂Ｌ ＋（ ＋丌）］一＿厂（ｚ＋２丌），又 的三角形周长最小，只需将这三边的和转化为 两个对称点连成线段的长就是ＰＡ＋ＱＰ＋ＢＱ 以两定点为端点的一条折线． 的最小值． 解：分别作点Ｐ关于ＯＡ、ＯＢ的对称点Ｐ１、 解：作点Ａ关于ｘ轴的对称点Ａ１，点Ｂ关 Ｐ２，连结Ｐ１ Ｐ２，根据轴对称性易知：ＯＰａ—ＯＰｚ 于ｙ轴的对称点Ｂ１，连结Ａｌ Ｂ１，分别交ｘ轴、ｙ 一０Ｐ一１０， Ｐ ａ ＯＰ２—２／ＡＯＢ一９６。，因而Ｐｌ 轴的交点就是所求的点Ｐ和点Ｑ，即此时四边 Ｐ２—２ １０，所以△ＰＱＲ周长的最小值为２ 形ＰＡＢＱ四边形的周长最小． √ ． 延长Ａ１Ａ和Ｂ１Ｂ使它们相交于点Ｃ，易知 例５（湖北恩施）恩施州自然风光无限，特 Ａ１ＣＢｔ是直角，ＡＣ一４０—１０—３０，Ａ１Ｃ一４０＋ 别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩 １０＝５０，ＢＣ＝￣—ＡＢ２－－—ＡＣ２：、 一４０， 施大峡谷（Ａ）和世界级自然保护区星斗山（Ｂ） Ｂ１ ｃ一４ｏ＋３０×２—１００，Ａ１ Ｂ１一、， 二 位于笔直的沪渝高速公路ｘ同侧，ＡＢ一５０ｋｍ， 一ＪｌＯＯ２—５０２—５０√５，所以四边形ＡｌＢＱＰ的 Ａ、Ｂ到直线Ｘ的距离分别为１０ｋｍ和４０ｋｍ，拟 建的恩施到张家界高速公路ｙ 周长最小值为５Ｏ√５＋５０—５０（￣／５＋１）ｋｍ． 垂直，建立如图５所示的直 评析：例４与例５涉及两个动点一个（或两 个）定点，由于所连成的折线均以定点为起止， 角坐标系，Ｂ到直线ｙ的距 离为３０ｋｍ，请你在Ｘ旁和 且动点在定点之间，因而属于求“定动动一 ｙ旁各修建一服务区Ｐ、Ｑ， 定”型折线最小值问题，也应用“两点之间，线段 使Ｐ、Ａ、Ｂ、Ｑ组成的四边 最短”这一性质解题． 图５ 形的周长最小．并求出这个 从上面的例题可以看出，求几条线段和的 最短（小）值问题一般需要进行图形变换，将其 最小值． 分析：由于ＡＢ长为定值，所以要使Ｐ、Ａ、 转化为以两个定点为端点动点在中间的折线或 Ｂ、Ｑ为顶点的四边形周长最小，就需使ＰＡ＋ 以一个定点为端点其余动点在一侧的折线，然 ＱＰ＋ＢＱ之和最小．由例４可得启发，先作出点 后再根据“两点之间，线段最短”或“垂线段最 Ａ，点Ｂ分别关于直线ｘ与直线ｙ的对称点，这 短”这两条性质求出最小值． 上海中学数学・２０１０年第５期 ，（１ｚ），满足条件：ｆ（－一ｒ十“）一±７ ‘ｎ≠０）・则 角形的两个内角，则ａ＋ ÷，即ａ＞÷一 又 丁＝２ ＩｎＩ是函数 —ｆ（ ）的一个正周期，若ｌ ｎ ｌ 为满足条件的最小正数，２ ｌ“Ｉ为最小正周期． 二、研究抽象函数奇偶・眭，单调性，对称性，零点 等问题 例３奇函数＿厂（ｚ）在（０，＋Ｃ×３）为增函数， 且厂（１）：ｏ，则不等式 ＜ｏ的解集 为． ——解：因／（ ）是奇函数，一－， （一 ）一＿， （３２），由 ｆ（ｘ）－－ｆ（－－ｘ）＜０＝＞ ＜０ 厂（＿ ）＜ｏ——，即 ｚ 、＿厂（ ）异号．又＿厂（ ）在（０，＋ｏｏ）为增函数，且 厂（１）一０，３７∈（０，１）时，，（ ）＜０；又厂（Ｔ）为奇 函数，－厂（一１）＝０， ∈（一１，０）时，／（ ）＞０．不等 式 二 ＜ｏ的解集为（一１，０）Ｕ（０，１） 例４定义在Ｒ上的ｌ厂（ ）既是奇函数，又 是周期函数，Ｔ是它的一个正周期．若方程 厂 （．ｚ）一０在闭区间［一Ｔ，Ｔ］的根的个数记为 则＂为 ． Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．３ Ｄ．５（至少） 解：因定义在Ｒ上的／ （ ）是奇函数，厂（０） ：０又是周期函数，丁是它的一个止周期，所以 ，，、 丁 ，（一丁）＝，（丁）一＿厂（０）一０，＿厂（一寺）一～／（寺） （一 Ｔ＋丁）： 一厂（ ）， （一 ）一ｌ，’（ ）一０， 则 至少为５，故选Ｄ． 例５定义在Ｒ上的函数＿厂（ ）是偶函数， 且－厂（ ）＝厂（２一 ），已知＿厂（ ）在区间［一２，一 １］上是增函数，又ａ、卢是锐角三角彤的两个内 角，则选 ． Ａ．＿厂（ｓｉｎａ）＞ （ｓｉ ） Ｂ． （ｃｏｓａ）＞／（ｃｏｓｐ） Ｃ ．｛Ｌｓｉｎａ）＞｝ ｃｏｓｐ）Ｄ． ｓｉｎａ）＜ ｃｏｓｐ） 图ｌ 解：由－厂（ ）一 （２一 ），得＿厂（ ＋１）一／（１ ～ｚ）．知，（ ）图像关于 一１对称，又＿厂（ ）是偶 函数，图像关于ｚ一０对称，可得厂（－ｚ）是周期函 数且最小正周期为２．又ｌ，’（ ）在区间［一２，一１］ 上是增函数，借用图１表示＿厂（ ）的增减性．可见 ｆ（ｚ）在区间［０，１］上是增函数，又 、 是锐角三 ａ、 一 ∈（０，等），所以ｓｉｎａ＞ｓｉｎ（号一ｐ）＝ Ｌ Ｌ ｃｏｓｆｌ，ｓｉｎａ、ｃｏｓｐ￣（０，１），又ｆ（ｊ’）是增函数，所 以 （ｓｉｎａ）＞，１（ｃｏｓｐ），故选Ｃ． 在不改变所研究数学问题本质的前提下， 可借用简单的函数或图像研究抽象函数，提高 了解决问题的效率，是一种很好的思维方法和 解题策略． 例６设函数 一ｌ，’（ ）是最小正周期为２ 的偶函数，它在区间［Ｏ，１］上，＿厂（ ）一 ．方程 厂（ ・）一ｋａ，＋是＋１，在 间［一１，３］恰有４个不同 的根，则是的取值范围是． ——解：由题设描述作图，如图２．由方程，（ ） 一点 ＋ｋ＋】得 ～１一ｋ（ ＋１），是过定点（一１， 】），斜率为七的直线． 一２时， ＝３ｋ＋１．要在 区间［一１，３］恰有四个不问的根，Ｏ＜３ｋ＋１＜１， 解得÷＜是＜ｏ ／ ：：； ３—２ ｌ ０ ｌ ２ ３ 图２ 三、求抽象函数定义域，值域 例７ 已知函数ｙ一．厂（ ）的定义域是（一 ∽，ｏ］，函数ｇ（ｊ、）一丛 的定义域为 解：，’（ ）的定义域是（一ｃ０，Ｏ］，要使ｇ（ ） 有意义＇贝ｌＪ 。，可得。≤ ＜４．故 ） 定义域为［０，４）． 例８函数 —ｌ，（ ）的值域为Ｅｏ．２，３］，则 函数Ｆ（ ’）一＿，（、ｒ）＋ 的值域为・ ——解：令ｆ—ｌ厂（』 ），则０．２≤ｆ≤３．函数ｇ（ｆ）一ｔ ＋ 在区间Ｅ０．２，１］上是减函数，在区间［１，３３ 上是增 数．ｇ（０．２）一５．２，ｇ（１）：２，ｇ（３）＝ ，故Ｆ（ ）的值域为［２，５．２］． 四、抽象函数求值 例９设Ｒ上定义的函数＿厂（ ），对任意．ｚ 上海中学数学・２０１０年第５期 ，９ 都有／’（ ＋２）一 ，、（ ＋１）一＿厂（ ），且＿厂（１）一ｌｇ３ ｌｇ２，Ｊ（２）一ｌｇ３＋ｌｇ５，求ｌ厂（２Ｏ１０）的值． 解：．，’（３）一ｆ（２）～ （１）一ｌｇ３＋１ｇ５～ｌｇ３十 ｌｇ２—１，Ｊ（４）一厂（３）一Ｊ （２）一１一ｌｇ３一ｌｇ５一ｌｇ２ ｌｇ３一一＿厂（１），／’（５）一Ｊ（４）一厂（３）一ｌｇ２一ｌｇ３ １一一ｉｇ３一ｉｇ５一，，（２），／、（６）一＿厂（５）一ｌ厂（４） 一～ｌｇ３一ｌｇ５＋ｌｇ３ ｌｇ２一一ｌ一一ｆ（３）． 猜想Ｊ、（ ＋３）＿－－一＿厂（ ），＿厂（ ＋６）一 （ ）． 因ｆ（ ＋２）一ｆ（ ＋１）一＿厂（ ），就有＿厂（ ＋ ３）一Ｊ’（３：－＋２）一＿厂（ ＋１）一Ｅ／（ ＋１）一＿厂（ ）］ ＿厂（ ＋１）一一 （ ）， （ ＋６）一一厂（２－－＋３）一 ＿／（ ）．所以ｒ，一６是＿厂（．ｚ－）的一个周期．故＿厂 （２０ｌｏ）一厂（６×３３５）一，（ｏ）一一，’（３）一一１ 例ｌＯ 已知函数ｆ（－丁）的反函数为ｆ １ （ ）， （ ）的图像过（１，２），且ｆ （２ｘ＋１）一１， 则 一 ． 解：因 （ｚ）的图像过（１，２），反函数的图像 过（２，１），ｆ一 （２ｘ＋１）一ｌ，即２ｘ＋１—２， 一 ０．５． Ｊ五、求抽象函数表达式 ２ Ａ（０．２） 例１１ 设函数Ｙ一 ｌ ＼ 、（ ）是最小正周期为２ 一 Ｂ（１，１） 的偶函数，它在区间［Ｏ， ｌ １］上的图像为如图３所 １ Ｏ １ ２ 示的线段ＡＢ，则在区间 图３ ［１，２］上， 一 ． 解：函数 —ｖ厂、（ ）是偶函数，可作Ｙ一－厂（ ） 在［～ｌ，０］上图像，又最小正周期为２，在区间 ［１，２］上， —Ｔ． 例１２ 已知３Ｊ （ ）＋５ｆ（÷）一２Ｘ＋１，求 ＿厂（ ）． 解：令 一专，得３Ｊ （１ ）－＋－５ｆ（－ｚ）一２・１ ｆ３Ｊ’（ ）＋５２（ ）一２ ＋ｌ（１） ＋１．联立１。 专 ＋ ．， 一 ．÷＋ ’ （２）Ｘ ５一（１）×３，可得１６ｆ（ ）一 ＋５—６ ３，即／（ ）一 ５十 １３ 一 ｚ． 六、求抽象函数反函数 例１３ 已知函数Ｊ’（ ）的反函数为， （ ），则 （４ｘ一３）的反函数为 ｝ Ｂ．÷＿广ｌ（ ）＋３ Ｃ．＿厂一 （４ 一３） Ｄ．＿厂一 ＋（ ｘ十 ３ ） 解：由已知可得４ｙ－３一ｆ （ ），即 一÷ ／一 ＋ ３，故选Ａ． 七、有关抽象函数的综合问题 例１４设Ｌ厂（ ）是定义在Ｒ上的偶函数，其 图像关于直线 一１对称，对任意ｚ１， ２∈［０， １］，都有 （ｚｌ＋ ２）一厂（ １）・＿，’（ ），且 （１） 一ｎ＞０，（１）求厂（专）及厂（丢）；（２）证明厂（ ） 是周期函数；（３）记ｎ” ＿厂（２，２＋ ），求 ｉｍ 一（１ｎａ ）． 解：（１）对任意 ｌ， ２ ｄ－［ｏ， １］，都有＿厂（ １ ＋ｘ２）：ｆ（Ｘ１）・ｆ（ｘ２），厂（１）一ａ＞Ｏ．就有ｌ厂（１） 一＿厂（ ＋ ）一［－厂（ ）］ｚ＝ｎ＞ｏ，于是＿厂（÷）一 ａ士；又 （ ）一－厂（丢＋｛）一［ （｛）］ｚ，， １） １ —０ ４． （２）由题设：厂（ ）是定义在Ｒ上的偶函数， 其图像关于直线ｚ一１对称，有＿厂（ ）一厂（－－ｘ） （１＋ ）一Ｊ’（１一＿ ，）．＿厂（ ）一 ，’（一 ）一ｆ［１一 （ ＋１）］一／［１＋（ ｒ＋１）］一＿厂（ ＋２）．这表明Ｔ 一２是 （ ）的一个正周期，￣ｌｌｆ（ｘ）是周期函数． （３）Ｔ一２是＿厂’（ ）的一个正周期，且 ２∈ ｎ［ｏ， １］，厂（ ）－－厂（ ・ ）一 十（，ｚ—１）・ ］一，（ ）・厂［（”一１）・ ］一…・一，（ ） ・＿厂（ ）．．・＿厂（ ）一［厂（ ）］ ． 又，（丢）一ａ÷，得厂（ ）—“ ． 一 ＋ ） ）一 故 （１ｎ 一 （ ｌｎｎ）一ｏ． 例１５ ＿厂（ ）在（０，＋ｏｏ）为增函数，且满 足：１．ｆ（２）一１ ｌ ２．对任意３ｓ，Ｙ∈（０，＋ｏ。），都 有厂（ｘｙ）一Ｊ（ ）＋＿厂（．ｙ）． （１）求证：厂（ ） —２厂（ ）； 上海中学数学・２０１０年第５期 局部探究在中考二轮考题复习中的运用 ２３３０００ 安徽省蚌埠市第六中学 上海师范大学教育硕士 李 鑫 ２３３０００ 安徽省蚌埠市第四中学 穆 颖 中考二轮专题复习是指在第一轮对课本知 让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的 识进行系统复习，形成知识网络基础上进行的 专题复习．本轮的目标是，引导学生通过丰富的 题型，抓住复习中的弱点，针对考试中的热点、 难点，各个突破，让学生的数学思维得到系统的 训练，解题能力有质的提升，为下一步的“强化 训练”打下坚实基础．从各个省市的中考试题的 发展趋势看，对考生的观察、类比、归纳、猜想、 尝试活动来获取知识，体验过程，培养能力．并 将局部探究与有意义的接受学习进行合理整 合．局部探究要想达到的效果不是依靠题量取 胜，关键是题目的质量和处理水平．教师要对考 题进行“再加工”，使所讲授的例题可以满足学 生的认知特点，符合学生的数学知识结构，最大 限度地调动学生的思维积极性，以便尽可能地 触动学生思维和接近学生知识的“最近发展 判断、探究等数学思维能力及创新的要求越来 越高．注重思维训练，提升创新意识是二轮专题 复习的核心，探究教学成为了实现这一目标的 主要手段．但是由于教学内容，教学时间，教学 区”．通过局部探究这一教学方式，充分暴露例 题教学的思维过程，利用“一题多解”开阔学生 的视野，利用“一题多变”培养学生的综合解题 能力． ２．局部探究的过程 条件的限制，特别是二轮专题复习又临近中考， 教学任务重，教学时间紧，拿出大块教学时间进 行探究活动很不现实，于是常选用局部探究的 形式． １．什么是局部探究 这堂课的开场自足师生结合几何画板，共 同回顾旋转的概念，即：平面内，将一个图形绕 着一个定点转动，这样的图形运动称为旋转．决 定旋转的二个要素：旋转中心，旋转方向，旋转 角度．这种陈述性知识，以讲授为主，接着再通 过几何画板变化动态，共同回顾旋转的基本性 局部探究是根据教材的特点，围绕某个小 专题或某一问题，选好１—２个探究点，从一堂 课中拿出５—１５分钟，在教师的组织、引导下， （２）求，（１）的值； （３）解不等式 （ ）＋ （ ＋３）≤２； 鉴于这一解题的思想方法有一定的普遍 性，在这里给出评述，以供探讨．这一解法中，猜 想后，认定题中抽象函数就是对数函数是不妥 的．题目给出的条件仅是＿厂（ ）为对数函数的必 解：（１）证：由－厂（ｘｙ）一厂（ ）＋＿，’（ ），令Ｙ —ｚ，立得厂（ ）０—２ｆ（ｘ）；（２）／（１）一２ （１），得 ，（１）：０；（３）由题设；不等式厂（ ）＋／’（ ＋３） 要条件，但满足条件是否就是对数函数，即条件 的充分性仍待论证． 学生由题目给出的条件，猜想题中抽象函 数可能为对数函数是可以的，猜想能力也要给 予肯定，鼓励．但不经论证就认定，则是错误的． 抽象函数问题往往以间接或隐性形式描述 ≤２的左边－厂（ ）＋＿厂（ ＋３）一ｆ［ｘ（ｘ＋３）］；右 边２＝２ｆ（２）一，（２ ）一／（４），从而ｆＥｘ（ ＋３）］ ≤ｆ（４），即ｆ（ｘ０＋３ｘ）≤＿厂（４）．因Ｌ厂（ ）在（０，＋ 。。）为增函数，故 ＋３ｚ≤４，联立 ：＿｝＝。 ≤ ， ｌ Ｕ 解得０＜ ≤１． 关于（３），还发现有另一种解法：由题设，及 函数，研究函数性质，如周期性，奇偶性，单调 性，对称性，零点等问题，并可派生出许多类型． 解决抽象函数问题是掌握或领会数学思想、方 已求证：（１） （ ） —２ｆ（ ）；（２）厂（１）一０．猜想＿厂 （ｚ）为对数函数厂（ ）一ｌｏｇ －ｚ，由厂（２）一１，ａ一２， ，（ ）＝ｌｏｇ２ｘ．解不等式ｌｏｇ２ ＋ｌｏｇ２（ ＋３）≤２， 即 ｚ ３）４４，法的过程，有时还要通过对已知基本函数学习 的回忆，进行类比，探究，猜想等思维活动．抽象 函数解题辅导，深化了，对函数的认识，有助于学 生理性思维能力的提高． 得ｏ＜ ≤１．
