生产计划问题

关于生产问题的优化模型

摘要：该问题是在一种机器上生产两种饮料，由于该该公司是通过银行借款来筹集资金的，因此，如果生产安排不合理将会使公司亏本，因此我们就应该安排一种合理的生产计划来解决这个问题。

从题目中可以明显的看出本文属于批次生产多种饮料的问题，在实际生活中我们也进常遇到类似的问题，所以我们就应该从实际生活的角度出发，进行分析求解。

首先，从题意我们可以知道本题是利用一种机器生产甲、乙两种饮料，求怎样生产才能是费用最少，题目又提示要从生产的稳定性和周期性两个方面考虑，所以可以我们假设该生产是稳定的，并且设他们的生产周期为T，如果在生产周期内每天生产Ｘ件甲饮料和Ｙ件乙饮料，由于Ｘ和Ｙ同时影响着生产总费用，所以我们可以把总费用看成Ｘ和Ｙ的线性组合。一次我们就可以把该饮料生产的问题转化为总费用与变量之间的线性问题，所以问们就可以以总费用为目标函数，以生产周期内每天每一种饮料的生产量为变量，再用生产时的各种费用为约束条件，建立模型，进行求解，通过编程计算，我们得出，以 天为周期，并在该周期内每天生产每一种饮料为： x 、y。

在第二问中，我们只需要根据第一问的方法，多设几个变量，在找出他们之间的相互约束，根据线性关系，列出方程，最后，我们给T赋几组值，求出每一组的生产总费用和每一组周期内每一天的产量，然后选择生产总费用较小的周期和相应每天的产量，这样我们就可以得到一个最比较好的生产计划。

我们在LINGO中进行编程求解。如果我们按照这样的生产计划生产这两种饮料，我们将会使得总费用最少，进而就不会因为银行贷款而使公司亏损。

关键字：线性规划，生产费用最少。

问题重述：本文某厂在一种机器上生产两种饮料，由于该厂是通过银行借贷来筹集资金的，并且在生产过程中又有许多的费用，为使生产总费用最小，本题给出了以下条件：

１）、市场对甲、乙的需求分别为d1，d2 （件／天）。

２）、该设备对甲、乙两种饮料的最大生产能力分别为 U1 ，U2 （件／天）。

３）、该设备生产这两种饮料的成本依次为c1 ，c2 （元／件），

４）、当改变产品时，因更换零件等引起的生产甲、乙前的准备费用分别为 s1 ，s2 （元）。

５）、生产出的产品产过当天的需求而导致的贮存费用，按成本的月利率r引起的积压资金的k倍计算（每月按３０天计）。

６）、每一件产品的生产率都可以从零到最大能力之间连续调节，每种产品当前的需求均满足。

７）、不用考虑出事情况，考虑稳定的、周期性的计划。

求安排一种合理、易行的生产计划，使得上面考虑的费用之和尽可能小。

考虑有n种产品的情形时，我们可以自己给出一组简单的数据进行计算，然后从模型有解条件进行讨论。

模型假设：

1）、我们假设外部市场是不变化的，各种常量不会变化。

2）、每一天都有生产，非甲即乙。

3）、在生产过程中设备不会出现故障。

4）、贮存费的月利率按照每月30天计。

5）、该生产是稳定的。

问题分析：从题目中可以知道，该厂是通过银行借贷来筹集资金的，由于市场的需求、生产成本、该厂生产能力的要求、产品的贮存费用，并且因为在同一台机器上面生产两种不同的产品，所以又增加了生产准备费，这就是得该厂要在这些条件之下对自己的生产计划作以适当的安排，来使得生产费用最低，并且能够满足市场的需求。文章有提示：从生产计划的稳定性和周期性进行考虑。由于市场对甲、乙两种产品的需求不同，但每天都有需求，从影响该厂生产费的因素及稳定性及周期性考虑，由于我们刚开始不知道周期性是多少，我们可以采如下几种方式进行生产：①、生产一段时间的甲（或乙）产品，再生产相同时间段的乙（或甲）产品；②、生产m天甲产品，再生产n(nm)天乙产品；③、按照当天的需求生产每一天的产品，不管采取哪一种生产方法，该生产计划总有一个生产周期，所以我们假设该厂的生产周期为T。因为我们不知道采用哪一种生产方式，所以我们在T时间内，我们考虑稳定地周期性，所以我们认为生产甲和生产乙时是连续的。我们再以甲乙两种产品每天的生产量为未知量，从题目中可以知道，甲乙的生产量最少满足当天的市场需求，最大不应超过设备的最大生产能力，如果是生产一种产品，按照当天的需求生产进

行生产，由于没有贮存费，只仅仅有成本费，所以按照第三种方式进行生产，应该是最合理的，但是由于该厂是在同一设备上进行两种产品的生产，所以就不可能同时生产两种产品，也就不可能同时满足当天的需求，因此，第三种生产方式不附合两种产品的生产，所以第三种假设是不成立的。因此，我们就按照两种产品的当天需求量对未知变量进行加权直至满足两种产品当天的需求量。

本题是一个多变量的线性问题，所以在第二问中，我们还使用线性规划的方法，多设几个变量，先找出自身的约束条件，再从变量之间的约束考虑，最后自己给出一组数据进行求解分析。

最后，我们给T赋几组值，求出每一组的生产总费用和每一组周期内每一天的产量，然后选择生产总费用较小的周期和相应每天的产量，这样我们就可以得到一个最比较好的生产计划。

符号说明：

c1、c2表示甲、乙的生产成本；

d1、d2表示市场对甲、乙的需求量；

r表示月利率；

k表示倍数关系；

s1、s2表示生产准备费；

xi表示甲产品第i天的生产量；

yi表示乙产品第i天的生产量；

U1、U2表示甲、乙产品的最大生产能力；

zi表示第i天是否生产产品；

模型建立：从题目的提示可以看出我们首先应该考虑生产计划的周期性，又由于我们不知道生产的周期，所以我们就现设出生产周期，并且在该周期内从甲和乙的市场需求、生产的最大能力、供求关系、贮存费用的多少和生产成本的多少考虑，从题目中的已知条件我们可以看出，生产成本、市场需求、生产的最大能力是固定值，因此，我们只需要从生产的周期性、生产量、贮存费和供求关系考虑。因此，

我们假设该厂的生产周期为T，以两种产品当天的产量为变量，依次记为：x，y。

由于该厂只有一种设备，所以在一天当中，该设备要么生产甲，要么生产乙，我们考虑稳定地周期性，所以我们认为生产甲和生产乙时是连续的。

同时，根据题意，我们要解决的问题是求生产总费用最小，于是我们就以总费用为目标函数，并记为f,由于总费用是由许多因素决定的，因此我们就得求出这些因素与变量之间的关系，下面列出了所有因素、变量与目标函数之间的关系：

在第一种产品的周期T1内：

第一天生产总费用：

f1＝c(xd)rkxc；

贮存费用分别为：

t1＝c(xd)rk；

第二天生产的总费用为：

f2c(xd)rkxc；

贮存费为：t2c(xt1d)rk；

第三天生产的总费用：f3 c(xd)rkxc；

贮存费为：t3c(xt2d)rk；

第四天、第五天、…第T1天。

在生产第二种产品时：在其周期T2内：

由于更换零件增加了生产准备费所以第一天生产总费用：

f1'＝c(xd)rksxc；

贮存费用分别为：

t1'＝c(xd)rk；

第二天生产的总费用为：

f2'＝c(xd)rkxc；

贮存费为：＝

t2'c(xt1'd)rk；

第三天生产的总费用：

f3'＝ c(xd)rkxc；

贮存费为：

t3'c(xt2'd)rkxc ；

第四天、第五天、…第T2天；

直到生产第n种产品为止。

所以总费用为：

f(cj(xiTjdj)rkcjxisj)j2i1i1nT1T1；

所以目标函数为：

nT1T1minf(cj(xiTjdj)rkcjxisj)j2i1i1

s.t

djxiUj ，i1,2,...,T，j2,3,...,n；

所以我们就根据变量对目标函数进行求解。

模型求解：（详细结果见附表）

当n2，c1＝40 ，c2＝60 ，d1＝300，d2＝200 ，s1＝600，

s2＝1000 ，U1＝800，U2＝500 ，r=0.013, k=2时

f＝182126.0

模型分析：该模型是从实际考虑，根据题目中的已知条件进行的假设，从题目可知，该生产总费用，是由三种费用累加得到的，所以我们可以先算出每一种的费用后再进行累加，其中生产准备费用是常量，因此我们就把问题转化为线性规划问题，由于我们不知道生产周期和产量，所以我们我们运用控制变量法，假设生产周期为已知量T，然后根据他们之间的线性关系，得出几组数据。

当生产n种产品时，我们同样可以得出较好的结果，所以我们建立的模型和模型的假设都是非常合理的。

模型的优劣及改进：该模型是一个简单的线性规划模型，我们把总费用与各个变量之间复杂的关系进行分析，把各个变量进行分解，找到了他们的之间的相互约束条件，然后对问题进行整体考虑，又把各个变量统一在一起进行分析，这样，我们既考虑到了整体变量，又考虑到了局部变量，最后又从整体到局部进行整体分析，使得各种变量之间的关系清晰明了，从而得出问题的最优解决方案。由于我们的模型是在外界市场需求固定的条件之下得出来的，所以我们的模型在外界市场变化的时候还需要添加相应的变化条件。当我们把外界变化的约束添加以后，还是可以得出最优的结果。

参考文献

1、数学建模（第三版） 姜启源 谢金星 叶俊 高等教育出版社 2006.8

2、数学模型（第二版） 姜启源 高等教育出版社 1993

3、数学建模原理与案例 冯杰 黄力伟 王勤 尹成义 科学出版社 2007.5

程序如下：

model:

sets:

zhufei/1,2..15/;

chengben/1,2..15/;

link(zhufei,chengben):x,y,c1,c2,d1,d2,r,k;

endsets

data:

c1=40;

c2=60;

d1=300;

d2=200;

r=0.013;

k=2;

enddata

min=@sum(link:c1*(x-d1)*r*k+x*c1+c2*(y-d2)*r*k+y*c2 );

@FOR( zhufei(i)|T1*(x-T1*d1) #eq# T2*d1 : @SUM( zhufei(i)|d1 #ge# x(i) #and# x(i) #ge# 800: c1*(x(i)-d1)*r*k);

@SUM( zhufei(i)|200 #ge# y(i) #and# y(i) #ge# 500:c2*(y(i)-d2)*r*k););

@FOR( chengben(i): @SUM( chengben(i)|d1 #ge# x(i) #and# x(i) #ge# 800 :c1*x(i));

@SUM( chengben(i) | 200 #ge# y(i) #and# y(i) #ge# 500 : c2*y(i)););

end

当n＝2,T=7时，在LINGO中所求得的解：

Local optimal solution found.

Objective value: 182126.0

Objective bound: 182126.0

Infeasibilities: 0.000000

Extended solver steps: 5

Total solver iterations: 67

Variable Value Reduced Cost

X1 525.0000 176.6400

T1 4.000000 0.000000

X2 467.0000 198.7199

T2 3.000000 32021.14

Row Slack or Surplus Dual Price

1 182126.0 2 275.0000 3 33.00000 4 0.000000 5 23.00000 6 225.0000 7 267.0000 8 4.000000 9 3.000000 10 0.000000 -1.000000

0.000000

0.000000

-23960.13

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

0.000000

11 1.000000 0.000000