2013年三明市高中毕业班教学质量检查理科数学试题 (word)

2013年三明市普通高中毕业班质量检查理 科 数 学

一、选择题：

1．命题“x1,x21”的否定是

A. x1,x21 B. x1,x21 C. x01,x021 D. x01,x021 2．已知复数z(3i1)i（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数z是

A．3i

B．3i

C．3i D．3i

切点为A，B，双曲线左顶点为C，若ACB120,则双曲线的渐近线方程为

A． y3x

B． y3x C． y2x 3D． y2x 210．对于函数f(x)，若f(x0)x0，则称x0为函数f(x)的“不动点”；若f(f(x0))x0，则称x0为函数f(x)的“稳定点”.如果函数f(x)x2a(aR)的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数

1a的取值范围是A．(,]

4B．(3,) 4C． (3131,] D．[,] 44443．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a11，a48，则S5等于 A．16 B. 31 C. 32 D.63 4．阅读右边程序框图，下列说法正确的是

A．该框图只含有顺序结构、条件结构 B．该框图只含有顺序结构、循环结构 C．该框图只含有条件结构、循环结构D．该框图包含顺序结构、条件结构、循环结构 5．函数f(x)2cosx2sinxcosx的最小正周期是

A．

2二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应位置．

211．已知随机变量N(0,)，若P(2)0.8，则P(2) ．

12．若抛物线y4x上一点M到焦点F的距离为4，则点M的横坐标为 ．

2 B． C．2 2D．4

16

)的展开式中, 常数项是＿＿＿． x211

14．由直线x，x2，曲线y及x轴所围成的图形的面积是＿＿＿．

2x

15．已知函数f(x)a1sin(x1)a2sin(x2)aksin(xk)，（aiR，

13．在二项式(x－

6．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是

i1,2,3,k).若f2(0)f2()0,且函数f(x)的图像关于点(,0)对称，并在x处取

225323A．53B．23 C．D．

33exex7．已知函数f(x)ln，则f(x)是

2A．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B．奇函数，且在R上单调递增 C．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D．偶函数，且在R上单调递减

得最小值，则正实数的值构成的集合是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分， 16．(本小题满分13分)

如图，在几何体ABCDE中，BE平面ABC，CD//BE，ABC是等腰

0直角三角形，ABC90，且BEAB2,CD1，点F是AE的中

E D F B A C 8．在ABC中，“ABACBABC”是“|AC||BC|”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 9．过双曲线

点．（Ⅰ）求证：DF//平面ABC； （Ⅱ）求AB与平面BDF所成角的正弦值．

xy222O(a0b0)1，的左焦点作圆: 的两条切线， xyaF22ab理科数学第 页（共10页）

1

22

17．(本小题满分13分)今年我国部分省市出现了人感染H7N9禽流感确诊病例，各地家禽市场受其影响生意冷清．A市虽未发现H7N9疑似病例，但经抽样有20%的市民表示还会购买本地家禽．现将频率视为概率，解决下列问题：

（Ⅰ）从该市市民中随机抽取3位，求至少有一位市民还会购买本地家禽的概率；

（Ⅱ）从该市市民中随机抽取X位，若连续抽取到两位愿意购买本地家禽的市民，或抽取的人数达到 ．．．．．．．4位，则停止抽取，求X的分布列及数学期望． 18．(本小题满分13分) 已知椭圆:yDAOmBlFCx(Ⅰ）求函数f(x)的单调递增区间；

(Ⅱ）当a0时，在曲线yf(x)上是否存在两点A(x1,y1),B(x2,y2) (x1x2)，使得曲线A,B 两点处的切线均与直线x2交于同一点？若存在，求出交点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由； (Ⅲ）若f(x)在区间(2,2)存在最大值f(x0)，试构造一个函数h(x)，使得h(x)同时满足以下三个条件：①定义域Dx|x2，且x4k2,kN；②当x(2,2)时，h(x)f(x)；③在D中使

h(x)取得最大值f(x0)时的x值，从小到大组成等差数列．（只要写出函数h(x)即可）

21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.

（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换

xy21(ab0)的离心率为，且椭圆的右焦点22ab2222F与抛物线y4x的焦点重合．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）如图，设直线m:y2x与椭圆交于A,B两点（其中点A在第一象限），且直线m与定直线

2已知矩阵M0（Ⅰ）求矩阵N；

0，绕原点逆时针旋转的变换所对应的矩阵为N．

42x2交于点D，过D作直线DC//AF交x轴于点C，试判断直线AC与椭圆的公共点个数．

19．(本小题满分13分)

某企业有两个生产车间，分别位于边长是1km的等边三角形ABC的顶点A、B处（如图），现要在边

（Ⅱ）若曲线C：xy1在矩阵MN对应变换作用下得到曲线C，求曲线C'的方程． （2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线CAC上的D点建一仓库，某工人每天用叉车将生产原料从仓库运往车间，同时将成品运回仓库．已知

叉车每天要往返A车间5次，往返B车间20次，设叉车每天往返的总路程为skm.（注：往返一次即先从仓库到车间再由车间返回仓库） (Ⅰ）按下列要求确定函数关系式：

①设AD长为x，将s表示成x的函数关系式； ②设ADB，将s表示成的函数关系式.

B C

A

D

xtcos,的极坐标方程为sin24cos，直线l的参数方程为． (t为参数，0）

y1tsin（Ⅰ）化曲线C的极坐标方程为直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线l经过点(1,0)，求直线l被曲线C截得的线段AB的长． （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)(Ⅱ）请你选用(Ⅰ）中一个合适的函数关系式，求总路程 s的最小值，并指出点D的位置． 20．(本小题满分14分)

已知函数f(x)x3ax2(aR)．

理科数学第 页（共10页）

2

314(1x1,且x0)． 22x1x（Ⅰ）求f(x)的最小值；（Ⅱ）若t1f(x)恒成立，求实数t的取值范围.

2013年三明市理科数学参考答案

一、选择题1．C 2．A 3．B 4．B 5．B6．C 7．A 8．C． 9．A 10.D 二．填空题：11．0.2； 12．3； 13．15； 14．2ln2； 15． {|2n1,nN*}．三、16．解法一：（Ⅰ）取AB的中点G，连结CG,FG，

则FG//BE，且FG解法二：（Ⅰ）取BE的中点M，连结MD,MF， 则MD//BC,MF//AB，

又因为BC平面ABC，MD平面ABC，

AB平面ABC，MF平面ABC，

所以MD//平面ABC，MF//平面ABC，

E 又MDMFM，所以平面MDF//平面ABC，

1BE，„„2分又BE//CD，∴FG//CD且2DF平面ABC，∴DF//平面ABC．„„„„„6分

FGCD，所以四边形FGCD是平行四边形，

DF平面ABC，则DF//CG， „„5分又因为CG平面ABC，

所以DF//平面ABC． „„„„„„„6分

D F B G（Ⅱ）同解法一． „„„„„„„„„„„„„13分 17．解：（Ⅰ）依题意可得，任意抽取一位市民会购买本地家禽的概率为

C 从而任意抽取一位市民不会购买本地家禽的概率为

1， 5（Ⅱ）依题得，以点B为原点，BA,BC,BE所在的直线分别为

x,y,z轴，建立如图的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，

A z E 4． 5设“至少有一位市民会购买本地家禽”为事件A，则P(A)1()1故至少有一位市民会购买本地家禽的概率

4536461， 125125C(0,2,0)，D(0,2,1)，E(0,0,2)，F(1,0,1)，

所以BD(0,2,1)，DF(1,2,0)．设平面BDF的一个法向

61．„„„„„„„„„„6分 125D F B A x C y （Ⅱ）X的所有可能取值为：2，3，4．

nBD2yz0,x2y量为n(x,y,z)，则即，

nDFx2y0,z2y取y1，得，n(2,1,2)． „„„„„„10分

111411414116P(X2)，P(X3)，P(X4)1，

552555512525125125

所以X的分布列为：

X P 2 3 4 又设AB与平面BDF所成的角为，BA(2,0,0)，

nBA4002则sincosn,BA， 394nBA故

41161 1251252514116486E(X)234． „„„„„„„„„„13分

25125125125E 18．解：（Ⅰ）设F(c,0)，易知c1，又

AB与平面

BDF所成角的正弦值为

M 2．„„„„„„„„„„„„„13分 3c2222，得a2，于是有bac1． a2D F 理科数学第 页（共10页）

B C 3 A

x2y21． „„„„„4分 故椭圆的标准方程为2yDAOmBlFCxy2x,22x（Ⅱ）联立2得， 29x2y2,222222A的坐标为(,)．故FA(1,)．

3333AD1BD， 2sinsin()sin332sin()33cos13得AD， ，BD2sinsin2sin2由正弦定理，则s10(3cos1353(4cos)2)40 =5 ()． „„„„6分

2sin22sinsin3353(4cos)25 ()，

sin33依题意可得点D的坐标为(2,4)．设C的坐标为(m,0)，

故CD(2m,4)．

因为FA//CD，所以((Ⅱ）选用(Ⅰ）中的②的函数关系式， s=2221)4(2m)0，解得m32， 3322013， „8分从而得直线AC的方程为：

42323sin2(cos4)cos53(4cos1)， s5322sinsin112) ，记cos1， (14433121)时，cos，s0； 则当(,1)时，cos，s0；当(1,34341所以当cos，时，总路程s最小值为155，

413()154155， 此时sin，AD42101524由s0得，cos答：当AD于是直线AC的斜率为kAC11y(x32)，代入x22y22，得x2(x262x18)2，

4820直线AC与椭圆有且仅有一个公共即9x62x20，知7272，

点． „13分

19．解：(Ⅰ）①在ABC中，AB1，ADx，BAD由余弦定理，BDx12x1223，

55km时，总路程s最小,最小值为155km． „„„„„„„„13分 1021x2x10， 2A

D

20．解：（Ⅰ）依题可得 f(x)3x3a，

当a0时，f(x)0恒成立，函数f(x)在R上单调递增； 当a0时，由f(x)3(xa)(xa)0，解得xa或x所以s10x40x2x1 (0x1)．„„„„„„3分 ②在ABC中，AB1，BAD3a，

，ADB，

2ABD.

3f(x)单调递增区间为(,a)和(a,)． „„„„„„„„„„„4分

B C

2（Ⅱ）设切线与直线x2的公共点为P(2,t)，当a0时，f(x)3x，

232则f(x1)3x1，因此以点A为切点的切线方程为yx123x1(xx1)．

理科数学第 页（共10页） 4

33因为点P(2,t)在切线上，所以tx123x12(2x1)，即2x16x12t20．

32同理可得方程2x26x2t20. 6分设g(x)2x36x2t2，则原问题等价于函数

即经过矩阵MN变换后的曲线C方程为y2x24 . „„„„„„„„7分 （注：先计算(MN)1，再求曲线C方程，可相应酌情给分） （2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

g(x)至少有两个不同的零点.因为g(x)6x212x6(x2)x，

当x0或x2时，g(x)0，g(x)单调递增，当0x2时，g(x)0，g(x)单调递减． 因此，g(x)在x0处取极大值g(0)t2，在x2处取极小值g(2)t10．

若要满足g(x)至少有两个不同的零点，则需满足t20,解得2tt100,10．

故存在，且交点纵坐标的取值范围为[2,10]． „10分(Ⅲ）由(Ⅰ）知，2a0，即

0a4． „„„„„„„„„„„„11分

本题答案不唯一，以下几个答案供参考：

①h(x)(x4k)33a(x4k)2,x(4k2,4k2)(kN)，其中0a4； ②h(x)f(x)2x2,h(x2)x2且x4k2,(kN*),其中0a4；

f(x)2x2,③h(x)f(a)xa4k,(kN*),其中0a4． „„„„„„14分

0x2且xa4k,(kN*);21．（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换 cos24sin2解：（Ⅰ）由已知得，矩阵N42222． „„„„„„3分 sin4cos422x（Ⅱ）矩阵MN11xxy,xy,211，它所对应的变换为yxy,解得 yxy2.把它代人方程xy1整理，得(y)2(x)24 ，

理科数学第 页（共10页）

5

解法一：（Ⅰ）由sin24cos得，2sin24cos，

即曲线C的直角坐标方程为y24x． „„„„„„„„„„„„3分 （Ⅱ）由直线l经过点(1,0)，得直线l的直角坐标方程是xy10，

联立xy10，消去y，得2y24xx6x10，又点(1,0)是抛物线的焦点， 由抛物线定义，得弦长ABxAxB2628． „„„„„„„„7分 解法二：（Ⅰ）同解法一． „„„„„„„„„„„„3分

2（Ⅱ）由直线l经过点(1,0)，得tan1，直线l的参数方程为x2t,2 y12t,将直线l的参数方程代入y24x，得t262t20，

所以ABt2AtB(tAtB)4tAtB62288． „„„„„„„„7分

3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

解：（Ⅰ）因为1x1，且x0，所以1x20，由柯西不等式f(x)14x21x2 [x2(1x2)](14122x1x22x21x2)[xx1x1x2]9，当且仅当12，即

x1x2x33时取等号，∴f(x)的最小值为9． „4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)的最小值为9，由题意可得t19，∴10t8，

（

则实数t的取值范围为[10,8]． „„„„„„„„„„„7分

理科数学第 页（共10页） 6