圆外切四边形的性质和应用

圆外切四边形的性质及应用

111

01 双心四边形.外心为O.外接圆半径为R.内心为P.内切圆半径为r.OI = h．证明 + = ． 22

R + h R－h r 2

证：如图.分别过K、L、M、N作PK、PL、PM、PN垂线交于A、B、C、D． 1

∵ ∠LCM = 180－∠LPM = ∠PLM + ∠PML = ∠MLK + ∠LMN,

21

∠KAN = ∠LKN + ∠KNM．

2∴ A、B、C、D四点共圆．

LTαβ●Ω●O'BαK我们设其半径为.易证 B、P、D；A、P、C分别三点共线．

C∴ r = PL sin  = PB sin  sin  = PB·

2

2

PCAP , BCABPMNDSαA PC·AP =  －d d为ABCD的外心记为与P的距离． 又易证AC⊥BD.∴

PB1 －d

=  r = … ① BC·AB22

22

延长NP交BC于T.易证T为BC中点卜拉美古塔定理． ∴ T∥PS, S∥PT．

□TPS中.4OT 2 = PS 2 + OS 2－d 2 = 2 2－d 2．

122

又 ON = 2 －d  O为KLMN的外心即为O且

21122

R = 2 －d … ②.h = d … ③

22

. .

14 2R + h 11

由①②③得 2 = 22 2 = 22 2 = 2 + 2 ．

r  －d  R －h  R + h R－h 02 证明圆外切四边形ABCD的对角线AC、BD的中点E、F与圆心O共线．

证：沿用上题的记号.对点X、Y、Z.用dX, YZ表示X到YZ的距离． 设⊙O半径为r.∠BAD = 2, ∠ABC = 2, ∠BCD = 2, ∠CDA = 2.则 , , , 均为锐角且  +  +  +  = ． ∴ sin , sin , sin , sin  > 0．

连结EF 若E与F重合.则结论显然成立.以下设E与F不重合． 在线段EF上取点O使

DAF●●E●O'O( )B222

CEOsin  sin 

= ． OFsin  sin 

连OA、OD、OG F为⊙O与AD相切处.则

OG⊥AD, AG = OG cot  = r cot , GD = OG cot  = r cot ． 故AD = rcot  + cot ．

∴ dA, CD = rcot  + cot  sin 2．

1

∴ dE, CD = sin 2 cot  + cot r = sin  cos  cot  + cot r

2

= sin  cos  cot  + cos  r = sin  cos  cot －sin  r + r cos  cos －sin  sin sin  cos  + 

= sin · r + r =  + 1r．

sin sin 

sin  cos  + 

同理 dF, CD =  + 1r．

sin 

2

2

. .

由

EOsin  sin  = 知 OFsin  sin 

sin  cos  + sin  cos  + 

+ 1r + sin  sin   + 1rsin sin 

sin  sin  

dO, CD =

sin  sin  + sin  sin 

sin  sin   cos  +  + cos  + = r + r

sin  sin  + sin  sin 

= r 因为  +  +  +  = .所以 cos  +  + cos  +  = 0．

同理 dO, AB = dO, BC = dO, DA = r． ∴ O与O重合.故知结论成立.证毕．

03 已知△ABC.在BC、CA、AB上分别取点D、E、F使四边形AEDF、BDEF、CDEF均为圆外切四边形．求证AD、BE、CF三线共点．

证：作△DEF内切圆⊙.切EF、FD、DE于P、Q、R．

又设△ABC内切圆为⊙I.△AEF内切圆为⊙1．记⊙1、⊙、⊙I半径分别为R1, R, r． 由AEDF为圆外切四边形知AF + DE = AE + DF． ∴ FP－PE = FD－DE = FA－AE．

∴ ⊙1切EF于P.∴ ⊙1与⊙外切.∴ 1、P、 三点共线． 另一方面.易知A、1、I三点共线．

延长AP交I于T.则对△I1与截线AP用梅氏定理知

0TIA1P = 1． TIA1P

FQPω●T●●A●ω1EIRC. .

BD注意到

A1R10TrR10TR = .上式  = 1.即 = ． AIrTIR1RTIr∴ T为线段I上一个定点.∴ AP、BQ、CR三线共点于T． sin ∠FAPsin ∠ECRsin ∠DBQ由塞瓦定理知 = 1．

sin ∠EAPsin ∠DCRsin ∠FBQFPERDQ FAECDB再用角平分线定理知上式  EP DR FQ = 1．

EADCFB将FP = FQ, EP = ER, DQ = DR代入得 FAECDB = 1． EADCFB由塞瓦定理即知 AD、BE、CF三线共点.得证．

04 四边形ABCD既可外切于圆.又可内接于圆.并且ABCD的内切圆分别与它的边AB、BC、CD、AD相切于点K、L、M、N.四边形的∠A和∠B的外角平分线

相交于点K.∠B和∠C的外角平分线相交于点L.∠C和∠D的外角平分线相交于点M.∠D和∠A的外角平分线相交于点N．证明.直线KK、LL、MM、

NN经过同一个点．

证：如图.设∠BCD的内切圆圆心为I.∠BAI = ∠IAD = , ∠ABI = ∠CBI = , ∠BCI = ∠DCI = , ∠CDI = ∠ADI = θ．⊙I半径为r． 由ABCD还有外接圆可得  +  =  + θ = ．

2∴ ∠KAB =  = ∠NAI 由于KN为A外角平分线. 且A、K、B、I四点共圆.AB = rcot  + cot B．

K'K●N'AγααγNθθDMM'AKrcot  + cot 

∴ = 即 = ． sin ∠KBAsin ∠AIBsin θsin  + 

AKABIβBβ●γγLCL'. .

r sin θr sin 

∴ AK = ．同理 AN = ．

sin  sin sin  sin θrsin 2 θ + sin 2 r∴ KN = = .KN⊥AI．

sin  sin  sin θsin  sin  sin θ而KN∥KN且

KN = 2r sin  且KN⊥AI． KN

KN = 2 sin  sin  sin θ sin ． KN

∴ KN∥KN且 同理可得 MN∥MN, LK∥LK,

MNML = 2 sin  sin  sin θ sin , ML∥ML, = 2 sin  sin  sin θ sin , MNMLLK = 2 sin  sin  sin θ sin ． LK

于是四边形KLMN与四边形KLMN位似.对应顶点连线KK、LL、MM、NN共点于位似中心.得证．

. .

05 设凸四边形ABCD外切于⊙O.圆心O在对角线BD上的射影为M．求证BD平分∠AMC．

证：设⊙O在ABCD四边切点为A1、B1、C1、D1．

不妨设⊙O半径为1.以O为原点建立复平面.则⊙O为单位圆． 令A1、B1、C1、D1所代表的复数为a, b, c, d.则由熟知结论可知 2ab2bc2cd2da D = , A = , B = , C = ．

a + bb + cc + dd + a注意到过BD直线方程为 B－D x + BD = B－Dx + B D． 将B、D代入化简得

c + d－a－bx－[ abc + d－cda + b]x = 2cd－ab … ① x

又过O且垂直于BD直线方程为 + = 0．

B－DB－D将B、D代入化简得

c + d－a－bx + [ abc + d－cda + b]x = 0 … ②

① + ②cd－abcd－ab 得 x = .此即为M的复数表示.M = ．

2c + d－a－bc + d－a－bc + d－a－b又∵ ∠AMC被BDA－M B－DA－MC－MA－MC－M

平分  ∠AMD = ∠DMC  B－D  R  = B－D 2 2

B－D

C－MC1OAB1DA1xBD1C ．

将A、B、C、D、M代入得

A－MC－M b + c －c + d－a－b  a + d －c + d－a－b  = 222ab2cdB－D  a + b －c + a 

1a + bc + d[ 2bcc + d－a－b－cd－abb + c][ 2adc + d－a－b－cd－cbc + d] = 22

4c + d－a－b [ abc + d－cda + d]

2bccd－ab2adcd－ab. .

1a + bc + d[ 4abcdc + d－a－b 2 + cd－ab 2 a + db + c－2c + d－a－bcd－ab[ bca + d + adb + c] = … ③ 22c + d－a－b [ abc + dcda + b] 4注意到

1a + bc + d[ 4abcdc + d－a－b 2 + cd－ab 2 a + bb + c－2c + d－a－bcd－abcd－ab[ bca + d + adb + c]

22c + d－a－b [ abc + d－cda + b ] 4

222

a + bc + dcd－ab a + db + c2[abc + d－cda + b] ab－cda + b + c + d4[abc + d－cda + b]

[ + － ]2222333333abcda b c d 1abcda b c d a b c 3 d 322 = [abc + d－cda + b] c + d－a－b 4 4444a b c d

a + bc + d{ 4[abc + d－cda + b] + cd－ab a + db + c－2[abc + d－cda + b]ab－cda + b + c + d} = … ④ 22

c + d－a－b [ abc + d－cda + b]

22

比较③④知仅需证

4abcdc + d－a－b －2c + d－a－bcd－ab[bca + d + adb + c]

= 4[abc + d－cda + b] －2[abc + d－cda + b]ab－cda + b + c + d

2

2

 2abcdc + d + 2abcda + b －4abcda + bc + d + [ abc + d－cda + b]ab－cda + b + c + d = 2a b c + d + 2c d a + b －4abcda + bc + d + c + d－a－bcd－ababc + abd + bcd + acd  2ab－cd[abc + d －cda + b ]

= ab－cd{[abc + d－cda + b]a + b + c + d + c + d－a－b[abc + d + cda + b]}  2abc + d －2cda + b

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

= abc + da + b + abc + d 2－cda + b 2－cdc + b + abc + d 2－a + babc + d + cda + bc + d－cda + b 2  2abc + d －2cda + b = 2abc + d －2cda + b .得证． 06 双心四边形ABCD.AC∩BD = E.内、外心为I、O．求证I、O、E三点共线．

2

2

2

2

. .

证：

引理：圆外切四边形ABCD.切点为M、N、K、L.则AC、BD、MK、NL四线共点． 引理的证明：设AC∩KM = G.LN∩KM = G.由正弦定理得

sin ∠GMCCM

GCsin ∠CGHCMsin ∠GMCsin ∠AGKCM = sin ∠AKG = = ． AGAK AKsin ∠AKGsin ∠CGMAK

sin ∠AGKNAKG( )G'BL同理 GCCLGCCLCMCG = ．∴ = = = 即G = G． AGANAGANAKAGDMC故AC、NL、KM三线共点．同理BD、KM、LN三线共点.引理得证．

回到原题：切点仍记为K、L、M、N.由引理KM∩LN = E．

以I为中心.⊙KNM为反演圆作反演.A、B、C、D分别为KLMN四边中点． 由BC∥KM∥AD, AB∥NL∥DC知ABCD为平行四边形．

而A、B、C、D共圆知A、B、C、D共圆.ABCD必为矩形.其中心设为Q.且有KM⊥LN． 由反演性质知Q、I、O三点共线．设LN、KM中点为P、R.则 →1→→→→ IQ = IA + IB + IC + ID 

4

1→→→→1→→ = IK + IL + IM + IN  = IR + IP  ． 42→→→由垂径定理知PIRE为矩形．从而IR + IP = IE ．

DA●KA'●BB'●L●●N●PE●RID'C'CM. .

→1→∴ IQ = IE . 即I、Q、E三点共线.从而O、I、E三点共线．

2

平面几何中两个重要定理

引理1:凸四边形ABCD有内切圆当且仅当

ABCDADBC,当且仅当FCAEECAF,

当且仅当BEBFDEDF.（图１）

引理2:凸四边形ABCD在角C有旁切圆当且仅当

BCBADCDA,当且仅当EBEDFBFD.（图２）

题目1:已知A,B,C,D为平面上四点,其中 任意三点不共线,且CB-CA=DA-DB.设线段

AD与线段BC相交于G,分别过A,B作AE//BD, BF//AC交直线BC,AD于点E,F.

证明:EB-EA=FA-FB.

证明一:设BAa,ACb,CGc,GBd,

BDe,DGf,GAg.

因为BFG～CAG,AEG～DBG,所以 FGFBd(gb), c. .

EGEAgf(de). 要证FAFBEBEA,即证

dc(gb)ggf(de)d.

由余弦定理知,

c2g2b22cgcosDGBf2d2e2cosCGA2df,即 c2g2b2f2d2e2(cgb)(cgb)(f2cg12df12cgde)(fde)2df. 已知条件CB-CA=DA-DBcdbfgecbgfde0.故

cgbfde111cgdfgcg(gb)d1df(de) dc(gb)ggf(de)d.

证明二:记GAB,GAC,

GBA,GBD. 由正弦定理知,已知条件等价于

. .

CBCADADBCACBDADB ABABABABsinsin()sin()sinsin()sin() 2sincos2sincos22222sincos2sincos222222222222 coscoscoscos22222222 coscoscoscos222222coscoscoscos.

2222由正弦定理知,要证明的结论等价于

sinsinsinsin

FAFBEAEB ABABABABsin(())sinsinsin(())

sinsinsinsin2cos22sinsin22cos2sin22 sin. .

cos22cos2cos22cos.

2 因此,命题成立.

证明三:设CADBQ,AEBFP.

CBCADADB ACADBCBD

凸四边形GCQD在角G有旁切圆(引理2)

CQCGDQDG(引理2) (AQAC)CG(BQBD)DG

BPAGAP(AGACBDCGDG)

(平行四边形AQBP中,AQBP,BQAP)

BPAGAP(DABDACCG)AP(BCACACCG)APBG1)AFAEBFBE(引理1) EBEAFAFB.

凸四边形

PAGB有内切圆(引理

题目2:已知ABC,记为ABC的边BC的旁切圆.任意选取一条平行于BC的直线l,分别交线段AB,AC于点D,E.记ADE的内切圆为1.过点D,E作的切线(不过点A)交于点P;过B,C作1的切线(不过点A)交于点Q.证明: 无论如何选取直线l,直线PQ总过定点.

题记:本题是2009年捷克波兰斯洛伐克数学竞赛题3(见2010年中等数学增刊).利用引理1和2,可以简洁给出证明.

. .

证明:设

DE1M,BCN.切点

为X,Y,DXEYP,PXBCU,PYBCV.

凸四边形ADPE在角P处有旁切圆 DADPEAEP(引理2).

又

AEDMEMAD,故

边上的旁切圆的切点.

DPDMEPEM.因此,点M也是EPD在DE

易知:点N是VPU在UV边上的旁切圆的切点. EPD与VPU关于点P位似(DE//CB),且点M和点N是该位似变换下的对应点,故点M,N,P共线.①

切点为I,J,BIDEK,CJDEL,BICJQ. 由引理1知,ABCQACBQ. 又ACCNABBN,故

CQCNBQBN,因此,点N也是CQB易知:点M是LQK在KL边上的旁切圆的切点. N是该位似变换下的对应点,故点M,N,Q共线.②

由①和②知.直线PQ过定点N.

在BC边上的旁切圆的切点.

CQB与LQK关于点P位似(LK//CB),且点M和点

. .