基本初等函数讲义(超级全)

2②顶点式：f(x)a(xh)k(a0)

2③两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0) （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便． （3）二次函数图象的性质

fxax2bxca0 a0 a0 精选

xb2a 精选 xb2a 定义域 , xb 2a对称轴 顶点坐标 b4acb2, 2a4a4acb2, 4ab,递减 2a值域 4acb2, 4ab,递增 2ab,递减 2a单调区间 b,递增 2a2①.二次函数f(x)axbxc(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为xb,顶2ab4acb2,) 点坐标是(2a4a②当a0时，抛物线开口向上，函数在(,bb]上递减，在[,)上递增，当2a2a4acb2bb时，fmin(x)；当a0时，抛物线开口向下，函数在(,x]上递

4a2a2a4acb2bb增，在[时，fmax(x)． ,)上递减，当x4a2a2a三、幂函数 （1）幂函数的定义

一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数． （2）幂函数的图象 精选

过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)． 四、指数函数

（1）根式的概念：如果xa,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根． （2）分数指数幂的概念

①正数的正分数指数幂的意义是：a指数幂等于0．

 mnmnnnam(a0,m,nN,且n1)．0的正分数

②正数的负分数指数幂的意义是：a的负分数指数幂没有意义． （3）运算性质

①aaarsrs1m1()nn()m(a0,m,nN,且n1)．0aa(a0,r,sR) ②(ar)sars(a0,r,sR)

精选

③(ab)ab(a0,b0,rR) （4）指数函数 函数名称 定义 xrrr指数函数 函数ya(a0且a1)叫做指数函数 a1 yyax 0a1 yaxyy1 (0,1)y1(0,1) 图象 O xO x 定义域 值域 R (0,) 过定点 奇偶性 单调性 图象过定点(0,1)，即当x0时，y1． 非奇非偶 在R上是增函数 在R上是减函数 ax1(x0)函数值的 变化情况 ax1(x0)ax1(x0) ax1(x0)ax1(x0) ax1(x0)a变化对图象的影响 五、对数函数 在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低． 精选

（1）对数的定义

x①若aN(a0,且a1)，则x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做底数，N叫做真数． ②负数和零没有对数．

③对数式与指数式的互化：xlogaNaxN(a0,a1,N0)． （2）几个重要的对数恒等式

loga10，logaa1，logaabb．

（3）常用对数与自然对数

常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN（其中e2.71828…）．

（4）对数的运算性质 如果a0,a1,M0,N0，那么

①加法：logaMlogaNloga(MN) ②减法：logaMlogaNlogan③数乘：nlogaMlogaM(nR) ④aM NlogaNN

⑤logabMnnlogaM(b0,nR) blogbN(b0,且b1)

logba⑥换底公式：logaN（5）对数函数

函数 对数函数 名称 定义 图象 函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数 a1 0a1 精选

yx1ylogx 1axy ylogax (1,0)O (1,0)xO x 定义域 (0,) 值域 R 过定点 图象过定点(1,0)，即当x1时，y0． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在(0,)上是增函数 在(0,)上是减函数 log(x1)log函数值的 ax0ax0(x1)logax0(x1) logax0(x1) 变化情况 logax0(0x1)logax0(0x1)a变化对 图象的影响 在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高． (6)反函数的概念 设函数yf(x)的定义域为A，值域为C，从式子yf(x)中解出x，得式子

x(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x(y)，x在A中都有唯一确定

的值和它对应，那么式子x(y)表示x是y的函数，函数x(y)叫做函数yf(x)的反函数，记作xf1(y)，习惯上改写成yf1(x)．

精选

（7）反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式yf(x)中反解出xf1(y)；

③将xf1(y)改写成yf1(x)，并注明反函数的定义域．

（8）反函数的性质

①原函数yf(x)与反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称．

1②函数yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf(x)的值域、定义域．

1③若P(a,b)在原函数yf(x)的图象上，则P(b,a)在反函数yf'(x)的图象上．

④一般地，函数yf(x)要有反函数则它必须为单调函数． 例题

一、求二次函数的解析式

例1.抛物线yx24x4的顶点坐标是（）

A．（2，0） B．（2，-2） C．（2，-8） D．（-2，-8）

例2．已知抛物线的顶点为（1，2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（）

A．y3x12 B．y3x12

22C. y3x12 D.y3x12

222x例3.抛物线y=2mxm2的顶点在第三象限，试确定m的取值范围是（ ）

A．m＜－1或m＞2 B．m＜0或m＞－1 C．－1＜m＜0 D．m＜－1

例4.已知二次函数fx同时满足条件：（1）f1xf1x；（2）fx的最大值为15；（3）fx0的两根立方和等于17求fx的解析式

精选

二、二次函数在特定区间上的最值问题

例5. 当2x2时，求函数yx2x3的最大值和最小值．

例6．当x0时，求函数yx(2x)的取值范围．

215例7．当txt1时，求函数yx2x的最小值(其中t为常数)．

22

精选

三、幂函数

例8.下列函数在,0上为减函数的是（）

13223Ａ．yx Ｂ．yx Ｃ．yx Ｄ．yx

例9.下列幂函数中定义域为xx0的是（）

23322332Ａ．yx Ｂ．yx Ｃ．yx25 Ｄ．yx

例10.讨论函数y＝x的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．

精选

例10．已知函数y＝415－2x－x2． （1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．

四、指数函数的运算

1例11.计算(2)22的结果是（ ）精选

A、2B、C、—2 D、—

44121236a963a9等于（ ） 例12.

16842aaaaA、 B、C、 D、

例13.若38,35，则3五、指数函数的性质

aba2b3＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

xM{y|y2},P{y|yx1}，则M∩P（） 例14.

A.{y|y1} B. {y|y1} C. {y|y0} D. {y|y0} 例15.求下列函数的定义域与值域：

4x4（1）y2

（2）y()|x|

23例16.函数yax23a0且a1的图像必经过点 ( )

A．(0，1) B．(1，1) C．(2，3) D．(2，4)

2x1例17求函数y=x的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.

21

精选

五、对数函数的运算

例18.已知32，那么log382log36用a表示是（ ）

2A、a2 B、5a2 C、3a(1a) D、3aa

2a例19.2loga(M2N)logaMlogaN，则

M的值为（ ） NA、

1B、4 C、1 D、4或1 412例20.已知log7[log3(log2x)]0，那么x等于（ ）

A、

1111B、C、D、 323223321，则a的取值范围是（ ） 3例21.logaA、0,22222U1,,,10,U,B、C、 D、 33333五、对数函数的性质

例22.下列函数中，在0,2上为增函数的是（ ）

精选

A、ylog1(x1)B、ylog2x21 2C、ylog12xD、ylog21(x4x5) 2例23.函数ylg21x1的图像关于（ ） A、x轴对称B、y轴对称C、原点对称D、直线yx对称 例23.求证函数f(x)lgx21x是（奇、偶）函数。

课下作业

1.已知二次函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的( yyyy

O1xO1xO1xO1x B ACD

精选

) 222(x2)2(x2)2.对抛物线y=－3与y=－＋4的说法不正确的是（）

A．抛物线的形状相同 B．抛物线的顶点相同 C．抛物线对称轴相同 D．抛物线的开口方向相反

2x2x1图像的顶点在（） 3. 二次函数y=

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2axbx的图像是（） 4. 如图所示，满足a＞0,b＜0的函数y=

5．如果抛物线y=x6xc的顶点在x轴上，那么c的值为（）

A．0 B．6 C．3 D．9

6.一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )

2

b7.在下列图象中，二次函数y=ax2＋bx＋c与函数y=(a)x的图象可能是

（）

精选

8．若函数f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1是偶函数，则在区间[0，＋∞)上f(x)是( )

A．减函数 B．增函数 C．常函数

D．可能是减函数，也可能是常函数

9．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )

A．[1，＋∞) B．[0,2]C．[1,2] D．(－∞，2] 10、使x2＞x3成立的x的取值范围是（ ）

A、x＜1且x≠0 C、x＞1

a

b

cB、0＜x＜1 D、x＜1

d11、若四个幂函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝x在同一坐标系中的图象如右图，则a、b、

c、d的大小关系是（ ） A、d＞c＞b＞a B、a＞b＞c＞d C、d＞c＞a＞b D、a＞b＞d＞c

12．若幂函数

fxxm1在(0，+∞)上是减函数，则 ( )

C．m=l

D．不能确定

A．m>1 B．m<1

13．若点

Aa,b在幂函数

yxnnQ的图象上，那么下列结论中不能成立的是

精选

a0a0a0a0b0b0b0b0 A． B．Ｃ． D．14．若函数f(x)＝log1(x2－6x＋5)在(a，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是( )

2A．(－∞，1] B．(3，＋∞) C．(－∞，3) D．[5，＋∞)

x2S{y|y3,xR},T{y|yx1,xR}，则SIT是（） 15、设集合

A、 B、T C、S D、有限集

16、函数

y2log2x(x≥1)的值域为（）

A、

2, B、,2 C、2, D、3,

y14,y280.90.4817、设

1,y321.5，则（）

A、

y3y1y2 B、

y2y1y3 C、

y1y3y2 D、

y1y2y3

18、在

blog(a2)(5a)中，实数a的取值范围是（）

A、a5或a2 B、2a3或3a5 C、2a5 D、3a4

22(lg2)(lg5)2lg2•lg5等于（） 19、计算

A、0 B、1 C、2 D、3 20、已知

alog32，那么

log382log36用a表示是（）

223a(1a)3aa1 5a2a2A、 B、 C、 D、

精选

21、已知幂函数f(x)过点（2，2），则f(4)的值为（）

2A、 B、 1 C、2 D、8 二、填空题

1.抛物线y＝8x2－(m－1)x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝________.

122.函数3.设

yx32的定义域为___________.

，如果fx是正比例函数，则m=____ ,如果fx是反比例函数，

fxm2xm1则m=______,如果f(x)是幂函数，则m=____． 4.若(x1)14有意义，则x___________．

5.当3x5y时，25y230xy9x2___________．

xxy6.若5525，则y的最小值为___________．

27、若loga2m,loga3n,a2mn。

8、函数ylog(x-1)(3-x)的定义域是。

lg50(lg2)。 9、lg25lg2gx10.不等式622x21的解集是__________________________.

111.不等式3x2832x的解集是__________________________.

xy103,104，则10xy__________________________. 12.若

(x0)log3x，1f(x),则f[f()]13、已知函数x(x0)9的值为 2，14、函数f(x)lg(3x2)2恒过定点

精选

三、简答题

1.求下列各式中的x的值

1(1)ln(x1)1 (2)3

2、已知幂函数f（x）＝x13p2p221x20

（p∈Z）在（0，＋∞）上是增函数，且在其定义域内是

偶函数，求p的值，并写出相应的函数f（x）、

x23.已知函数f(x3)lg2，(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性。

x62

精选

xa2a2(xR)，试确定a的值，使f(x)为奇函数。 4.设aR，f(x)x21

精选

15. 已知函数f(x)log1[()x1]，（1）求f(x)的定义域； （2）讨论函数f(x)的增减性。

22

精选