傅里叶变换的对称性证明

一． 序列的傅里叶变换（DTFT）的对称性

已知：

DTFT[x(n)]X(ej)

DTFT[x*(n)]X*(ej) DTFT[x*(n)]X*(ej)(由Z变换的性质可推出)

共轭对称序列：xenxe*n实部是偶对称序列，虚部是奇对称序列 共轭反对称序列: xonxo*n实部是奇对称序列，虚部是偶对称序列 任一序列总可以表示成共轭对称序列和共轭反对称序列之和：

1xnxnx*ne2xn1xnx*no2xnxenxon

1jXejX*ejXee2Xej1XejX*ejo2求证：

XejXeejXoej

DTFT[Re(x(n))]Xe(ej)IDTFT[Xe(ej)]Re(x(n)) or  jjDTFT[jIm(x(n))]Xo(e)IDTFT[Xo(e)]jIm(x(n))DTFT[xe(n)]Re(X(ej))IDTFT[Re(X(ej))]xe(n) or  jjDTFT[x(n)]jIm(X(e))IDTFT[jIm(X(e))]x(n)oo

证明：

Xeej1XejX*ej2Xoej1XejX*ej21*DTFTx(n)x(n) 21DTFT2Re(x(n))2DTFTRe(x(n))1*DTFTx(n)x(n) 21DTFT2jIm(x(n))2DTFTjIm(x(n))

xen11**xnxnxnxnxno2211j*jXejX*ejIDTFTXeXeIDTFT22

11IDTFT2ReXejIDTFT2jImXej22IDTFTReXejIDTFTjImXej

对实数序列xn

Re[xn]xn

Im[xn]0DTFT[Re(x(n))]Xe(ej)X(ej)则： jDTFT[jIm(x(n))]Xo(e)0即：实数序列的傅里叶变换具有共轭对称性（是共轭对称序列）

xen1*xnxn2 共轭对称序列变成偶对称序列

1xnxn21*xnxn2xon

1xnxn2共轭反对称序列变成奇对称序列

二． 离散傅里叶变换（DFT）的对称性

已知：

*xepnxnxNnNNRNn *xopnxnxNnNNRNn

Rexn1*xnx n21*jImxnxnxn2

N1**knknDFTxnxnWRkxnWNNNRNkn0n0N1Nkn*XkNRNkxnWNRNk

n0X*NkNRNk有时习惯上X**N1*NkNRNk 可写成X*Nk，但应该指出，当k0时，

X*Nk可得到X*N，但由于DFT的取值区间为0kN1，已超出该区间，因

而应当理解为X*NX*0。

DFTx*nN*knRNnxnRnWNNNn0N10knknxnNWNxnNWN n0nN1N1**N1xnNWNknX*kn0证明：

复序列实部的DFT等于序列DFT的圆周共轭对称分量：

*1DFTRexnDFTxnDFTx*n21*XkXNkNRNk2 1*XkXNkNNRNk2Xepk

复序列虚部乘以j的DFT等于序列DFT的圆周共轭反对称分量：

DFTjImxn1*DFTxnDFTxn21XkX*NkRNkN2

1*XkXRNkNkNN2Xopk

复序列的圆周共轭对称分量的DFT等于序列DFT的实部：

DFTxepn1*DFTxnxRNnNnNN21DFTxnDFTx*nNRNn 21*XkXk2ReXkor

IDFTXkRe1*IDFTXkIDFTXk2

1xnx*nRNNN21*xnxRNNNnNN2xepn

复序列的圆周共轭反对称分量的DFT等于序列DFT的虚部乘以j：

DFTxopn1*DFTxnxRNnNnNN21DFTxnDFTx*nNRNn 21*XkXk2jImXkor

IDFTXkjIm1*IDFTXkIDFTXk2

1xnx*nRNNN21*xnxRNNNnNN2xopn

***knknDFTxnxnWRkxnWNNNRNkn0n0N1Nkn*XkNRNkxnWNRNkn0X*NkNRNk*N1N1

根据频域抽样理论，对信号的连续频谱抽样，必然伴随着信号在时域的周期性延拓。为了使频域的样本能完全代表时域的信号，则必须要求信号是时限的，而且在周期延拓时不发生重叠。如果信号x(n)是一个长度为M的有限长序列，当我们对它的频谱在一个周期内等间隔抽样N点时，伴随着x(n)在时域将以N为周期延拓。

为了避免信号的重叠，显然必须有NM,也就是说至少要在一个周期内抽样M点。 如果x(n)是一个无限长序列（非时限），则无论对其频谱在一个周期内怎样抽样，都将不可避免地发生时域内信号的重叠，因而也不可能从周期延拓的信号中恢复出原信号。 这就是为什么DFT只对有限长序列而言的本质原因。

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）