三角函数习题

（4）（2014课标Ⅰ）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M．将点M到直线

OP的距离表示成x的函数f(x)，则yf(x)在[0,]的图象大致为（ ）

（4）（2013江西）如图，已知l1l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令

ycosx，则y与时间t(0t1)的函数yf(t)的大致图象为（ ）

已知扇形的圆心角是，半径是R，弧长为l． （Ⅰ）若60，R10cm，求扇形的弧长l；

（Ⅱ）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，扇形的面积最大？ （1）已知扇形周长为10，面积为4，则扇形的圆心角为 ． （1）写出终边在直线y3x上的角的集合．

（1）在720~0范围内，所有与45终边相同的角为 ． （1）设角终边上一点P(4a,3a)(a0)，则sin ．

（1）sin(1200)cos1290cos(1200)sin(1050) ．

（2）已知tan(6)53，则tan() ．

63（1）sin(1071)sin99sin(171)sin(261)tan(1089)tan(540) ．

1，则tan(3) ． 27（2）已知sincos,(0,)，则tan ．

131（1）已知是第二象限角，tan，则cos ．

21（4）（2013课标Ⅱ）设为第二象限角，若tan()，则sincos ．

42（2）若tan()12．（2014山东日照）设函数f()3sincos，其中的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x,y)，且0．

（Ⅰ）若点P坐标为(,13)，求f()的值； 22xy1（Ⅱ）若点P为平面区域:x1上的一个动点，试确定的取值范围，并求f()的

y1最小值和最大值．

3．（2008上海）如图，某住宅小区的平面图为圆心角120的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟．若此人步行速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长．

4．已知0

，求证：sintan． 21．（2010课标Ⅰ）若cos,是第三象限角，则

451tan1tan2（ ）

211 B. C.2 D.2

2216．已知x0，sinxcosx．

25 A.（Ⅰ）求sinxcosx的值；

sin2x2sin2x（Ⅱ）求的值．

1tanx7．已知角的终边上有一点的坐标为(,集合为 ．

123)，若(2,2)，则所有的组成的23,),sin，则cos()（ ） 2254343 A. B. C. D.

55551．若(6．已知角和角的终边关于直线yx对称，且3，则sin（ ）

A.1133 B. C. D.

2222（2）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y2x上，则

cos2（ ）

3344A. B. C. D.

55553．已知角的终边上有一点M(3,m)，且sincos1，则m（ ） 5A.1 B.2 C.3 D.4

7．已知f()sin()cos(2)31，则f()（ ）

cos()tan31111A. B. C. D.

322319．满足cos的角的集合为 ．

213) ． 7．（2015浙江宁波）若sin，为第二象限角，则sin(5210．（2014安徽合肥）函数ylg(34sinx)的定义域为 ．

11．已知角的终边上有一点P(x,1)(x0)，且tanx，则sincos ．

25)252 ． 10．已知sin，则tan()55cos()2111．（2014江西九江）直线2xy10的倾斜角为，则 ． 22sincossin((1sincos)(sin（1）22cos1cos)22((0,))．

（2）(tan)(1tantan)．

22tan2【变式1】

12 ． （1）化简

2tan()sin2()441（2）化简sin2sin2cos2cos2cos2cos2 ．

22cos42cos2sin250 ． （4）

1sin10（1）

sin110sin20的值为（ ）

cos2115sin21151133 B. C. D.

2222 A.（2）已知(2,)，且sin2cos26． 2（Ⅰ）求cos的值；

（Ⅱ）若sin(),(（1）已知,(352,)，求cos的值．

3312,),sin(),sin()，则cos() ． 4544131（1）已知(0,),tan，则tan2 ，sin(2) ．

2231（4）（2015东北三校）已知sincos3，则sin2(4)（ ）

A.118 B.178218 C.9 D.9 【例题2】 （1）求3tan123sin12(4cos2122) ．

（2）tan20tan403tan20tan40 ． 【变式2】

（1）（2015河南洛阳）已知sin213，则cos2(4)（ ）

A.13 B.23 C.13 D.23

（3）cos2239cos9cos(9)（ ）

A.1118 B.116 C.16 D.8

4．若sinxcosxsinxcosx3,tan(xy)2，则tan(y2x) ．

5．设为锐角，若cos(6)45，则sin(212) ．

1．（2015河北衡水）

3cos101sin170（ ）

A.4 B.2 C.2 D.4

．2sin22351cos103sin10的值为（ ）

A.1 B.1 C.1 D.122 4．若(0,2),(132,0),cos(4)3,sin(42)3，则co(s)2（ A.33 B.3663 C.3 D.9

12．已知sincos355,(0,34),sin(4)5,(4,)． （Ⅰ）求sin2和tan2的值；

） （Ⅱ）求cos(2)的值．

11．已知0,cos(（Ⅰ）求sin2的值； （Ⅱ）求cos(14),sin()． 4354)的值．

（2）（2014广东）已知函数f(x)Asin(x（Ⅰ）求A的值； （Ⅱ）若f()f()4),xR，且f(53)． 12233,(0,)，求f()．

42210．已知tan,cos135,(,),(0,)，则tan() ，522 ．

9．设为第二象限角，且tan4,sincos，则cos ． 32229．化简

2tan(45)sincos ． 2221tan(45)cossin7．（2015黑龙江大庆）已知(2,),sin25，则tan ． 510．（2015东北三校）若cos(（1）已知f(x)(16)sin533，则sin() ．

651)sin2x2sin(x)sin(x)． tanx44（Ⅰ）若tan2，求f()的值； （Ⅱ）若x[,]，求f(x)的取值范围．

12233,cos)落在角的终边上，且[0,2)，则tan() ．7．已知点P(sin 434（1）已知函数y2sin(2x3)．

（Ⅰ）求它的振幅、周期、初相；

（Ⅱ）用“五点法”作出它在一个周期内的图象． （Ⅲ）说明y2sin(2x3)的图象可由ysinx图象怎样变换得到．

（1）如图是函数f(x)Asin(x)2(A,0)的部分图象，则下列正确的是（ ）

443 , B.A1,T,3346443 D.A1,TC.A1,T,,

3346A.A3,T（3）（2015河北高阳）已知函数f(x)cos(2x)2sin(x)sin(x)．

443（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数f(x)在区间[,]上的值域．

1221（3）（2013陕西）已知向量a(cosx,),b(3sinx,cos2x),xR，设函数f(x)ab．

2（Ⅰ）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求f(x)在[0,2]上的最大值和最小值．

（1）函数ysinxcosx的定义域为 ．

（3）（2015江西南昌）已知函数f(x)(sinxcosx)2cosx2． （Ⅰ）求f(x)的单调增区间； （Ⅱ）当x[22,]时，求函数f(x)的最大值和最小值．

44（1）函数y2log1xtanx的定义域为 ．

23（5）（2014福建）已知函数f(x)2cosx(sinxcosx)． （Ⅰ）求f(5)的值； 4（Ⅱ）求函数f(x)的最小正周期及单调区间．

（3）函数ysinxcosxsinxcosx的值域为 ．

（1）已知函数f(x)2sin(x关系是（ ）

)，设af(),bf(),cf()，则a,b,c的大小

7633 A.ca B.cb C.ba aba c D.bc（4）函数y|tanx|的单调增区间为 ． 6．已知a0，函数f(x)2asin(2x（Ⅰ）求常数a,b的值； （Ⅱ）设g(x)f(x )2ab，当x[0,]时，5f(x)1．622)且lgg(x)0，求g(x)的单调区间．

（1）设函数f(x)sin(2x3)323sinxcos2x． 33（Ⅰ）求f(x)的最小正周期及对称轴方程； （Ⅱ）将函数f(x)的图象向右平移的值域．

（1）（2014福建）将函数ysinx的图象向右平移列说法正确的是（ ）

个单位，得到函数g(x)，求g(x)在区间[,]上

633个单位，得到函数yf(x)，则下2A.yf(x)是奇函数 B.yf(x)的周期为 C.yf(x)的图象关于直线xD.yf(x)的图象关于点(2对称

2,0)对称

（3）已知函数f(x)Asin(x)(0,0（Ⅰ）求函数f(x)的解析式； （Ⅱ）求函数g(x)f(x2)的部分图象如图所示．

12)f(x12)的单调递增区间．

3．已知函数f(x)cos(3x3)，其中x[,m]，若f(x)的值域为[1,]，则m的

632取值范围是 ． 1．函数ysin(2x3)在区间[2,]上的简图是（ ）

5．（2015山西忻州）已知函数f(x)Asin(x)(A,0,||)在一个周期内的图

2象如图所示，若方程f(x)m在区间[0,]上有两个不同的实数解x1,x2，则x1x2（ ）

A3 B.424 C. D.或

33338．函数y2sin(2x并且取最大值时x的值为 ． )1,x[0,]的值域是 ，3311．已知函数f(x)Asin(x)(A,0,02)的部分图象如图所示，P是图象

的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为坐标原点．若OQ4,OP5,PQ13．

（Ⅰ）求函数yf(x)的解析式；

（Ⅱ）将函数f(x)的图象向右平移2个单位后得到g(x)的图象，当x[0,3]时，求函数

h(x)f(x)g(x)的值域．

12．已知函数f(x)Asin(x)(A,0)的最小正周期为2，且当x最大值为2．

（Ⅰ）求f(x)的解析式； （Ⅱ）在闭区间[说明理由．

7．（2014山东）函数y1时，f(x)的32123,]上是否存在f(x)的对称轴？若存在，求出其对称轴；若不存在，443sin2xcos2x的最小正周期为 ． 29．（2013课标Ⅱ）函数ycos(2x)(x)的图象向右平移

个单位后，与函数2ysin(2x)的图象重合，则 ．

32．（2015安徽合肥）为了得到函数ycos(2x3可将函数ysin2x的图象（ ） )的图象，

55个单位 B.向右平移个单位 6655个单位 D.向右平移个单位 C.向左平移121226．若函数f(x)sin(x)(0,||)在区间[,]上是单调递减函数，且函数

263A.向左平移

值从1减少到1，则f()（ ）

4 A.123 B. C. D.1 222，则f() ．

3328．函数ytanx的图象的相邻两支截直线y所得的线段长为，则(0)44f() ． 45)(0)的图象向右平移10．若将函数ysin(x个单位后，与函数63ysin(x)的图象重合，则的最小值为 ．

47．若函数f(x)3sin(x)的最小正周期为

第8讲 解三角形的应用举例

一．知识梳理 1．仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．

2．方位角

从正北方向顺时针转到目标方向线的角（如图②） 3．方向角

相对于某一正方向的角（如图③）

（1）北偏东：指从正北方向顺时针旋转到达目标方向． （2）东北方向：指北偏东45． 4．坡度

（1）定义：破面与水平面所成的二面角的度数． （2）坡比：破面的铅直高度与水平长度之比． 二．要点整合 1．辨明两个易误点

（1）易混方位角和方向角的概念，方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线的角，范围是[0,2)；方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，范围是[0,2)．

（2）解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的原始数据，少用间接求出的量．

2．解三角形应用的一般步骤

三．典例精析 1．测量距离 测量距离问题 （1）测量两个不可到达点之间的距离，一般把距离问题转化为应用余弦定理的三角形的边长问题． （2）测量一个可到达点和另一个不可到达点的距离问题，一般转化为已知两个角和一边的三角形问题，用正弦定理解决． 【例题1】

如图，隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距3千米的C,D两点，同时测得ACB75,BCD45,ADC30,ADB45（A,B,C,D在同一平面内），则两目标A,B间的距离为 ．

【变式1】

（2013广东茂名）为了在河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A,B（如图），要测量A,B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC50m,ABC105，

BCA45就可以计算A,B两点的距离为（ ）

A.502m B.50m3 C.252m D.252 2（2）如图，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸选取两点A,B，观察对岸的点C，测得CAB105,CBA45,100m． （Ⅰ）求sinCAB的值； （Ⅱ）求该河段的宽度．

2．测量高度 测量高度问题 （1）在测量高度时，分清仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是同一铅垂面内，视线与水平线的夹角． （2）理解题意，画出示意图，运用正余弦定理逐步求解． 【例题2】

（2014课标Ⅰ）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角MAN60,C点的仰角CAB45以及MAC75，从C点测得MCA60．已知山高BC100m，则山高MN ．

【变式2】

（1）（2015江西吉安）要测得底部不能到达的电视塔AB的高度，在点C测得塔顶A的仰角是45，在点D测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120,CD40m，则电视塔的高度为 m．

（2）如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB,的最大值为60．

（Ⅰ）求该人沿南偏西60方向走到仰角最大时，走了几分钟； （Ⅱ）求塔高AB．

3．测量角度 测量角度问题 （1）分清方位角和方向角的概念． （2）分析题意，画出示意图，尤其抓住时间和路程两个关键量，将问题转化为正余弦定理求解． 【例题3】

（1）在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦查艇发现在北偏东45方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦查艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东45的方向拦截蓝方小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦查艇所需的时间和角的正弦值．

【变式3】

（1）如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距20的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援，则cos（ ）

A.212132121 B. C. D. 7141428（2）如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？

四．针对训练

A.组 基础训练

1．两座灯塔A,B与海岸观测站C的距离相等，灯塔A在观测站南偏西40，灯塔B在观测站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的（ ）

A.北偏东10 B.北偏西10 C.南偏东80 D.南偏西80

2．（2015河南郑州）已知A,B两地相距10km,B,C两地相距20km，现测得ABC120，则A,C两地间的距离为（ ）

kmkmkm A.10 B.103 C.105 B.107 km3．如图，两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面，则建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为（ ）

A.30 B.45 C.60 D.75

4．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6km，一艘客船从码头A出发匀速行驶到河对岸码头B．已知AB1km，水的流速为2km/h，若客船从码头A行驶到码头B所用的最短时间为6min，则客船在静水中的速度为（ ）

A.8km/ h B.62km/hkm/h C.234 D.10 km/h5．（2014四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角为75,30，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC（ ）

A.240( B.180(21)m 3m1)C.120(31)m D.30(31)m

6．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱的水柱高度，某人在喷水柱正西方的点A测得水柱的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100m到达点B，在点B测得水柱的仰角为30，则水柱的高是（ ）

A.50m B.100m C.12m0 D.150m

7．一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75，距塔68海里的M处，下午2时到达灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为 ．

8．如同，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A,B望对岸的标记物C，测得CAB30，

CBA75,AB120m，则这条河的的宽度为_____________．

9．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60方向，行驶 4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为 km．10．（2015河南郑州）郑州市某广场有一块不规则的绿地如图，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为ABC，ABD，经测量

ADBD7m，BC5m,AC8m,CD，则AB ．

11．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里每小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B出发沿北偏东方向追赶乙船，刚好用2小时追上，此时到达C处． （Ⅰ）求甲船的速度； （Ⅱ）求sin的值．

B.组 能力提升

1．某同学骑电动车以24km/h每小时的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔测得电视塔S在电动车北偏东75方S在电动车北偏东30方向上，15min后到达点B处，向上，则点B与电视塔的距离是 ．

2．如图，航空测量组的飞机航线与山顶在同一平面内，已知飞机的飞行高度为10000m，

速度为50m/s．某一时刻飞机看山顶的俯角为15，经过420s后看山顶的俯角为45，则山顶的海拔高度为 m．（取21.4,31.7）

3．（2013江苏）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径，一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲乙两为游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min，在甲出发2min后，乙从

A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速

度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量cosA（Ⅰ）求索道AB的长；

（Ⅱ）问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上的距离与甲最短；

（Ⅲ）为使两位游客在C互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

123,cosC． 125

a1，b2,cosC（1）（2014北京）在ABC中，

1，则c ，sinA ． 4（3）在ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边． （Ⅰ）若c2,C3，且ABC的面积为3，求a,b的值；

（Ⅱ）若sinCsin(BA)sin2A，试判断ABC的形状．

6．在ABC中，且面积S满足Sa,b,c分别为内角A,B,C所对的边，（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若ab4，求ABC的周长的取值范围及面积的最大值．

（2）（2014陕西）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c．

32(ab2c2)． 4（Ⅰ）若a,b,c成等差数列，证明：sinAsinC2sin(AC)； （Ⅱ）若a,b,c成等比数列，求cosB的最小值．

（2）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，且basinC,cacosB，则

ABC的形状为 ．

（3）在锐角ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，且3a2bsinA0． （Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若ac5，且ac,b7，求ABAC的值．

（3）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c满足(2bc)cosAacosC． （Ⅰ）求A的值；

（Ⅱ）若a2，求ABC面积的最大值； （Ⅲ）若a2，求ABC周长的取值范围．

,c1,A2B（4）（2014江苏）设ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，且b3（Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求sin(A．

4)的值．

（2）（2015河南冀州）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，点(a,b)在直线

x(sinAsinB)ysinBcsinC上，则角C的值为（ ）

A.5 B. C. D.

66341，则47．在ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，若a2,bc7,cosBb ．

10．在ABC中，bccosA3asinC，则C的大小为 ． 在ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，若bsinA3acosB． （Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若b3,sinC2sinA，求a,c的值．

（3）函数f(x)Asin(x)(A,0||)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为 .

（1）（2013广东六校）已知f(x)sin(x3)(0)的图象与y1的图象相邻两交点

的距离为，要得到yf(x)的图象，只需把ycos2x的图象（ ）

个单位 B.向右平移个单位 121255个单位 D.向右平移个单位 C.向左平移1212A.向左平移

（1）（2014上海虹口）函数f(x)2sinx与函数g(x)之和为 ．

（2）（2011课标）在ABC中，B60,AC3，则AB2BC（2）函数f(x)tan(2x的最大值为 ．

3x1的图象所有交点的横坐标3)的单调递增区间是（ ）

kk5kk5,,](kZ) B.()k(Z )21221221221225 )C.(k,k)(kZ) D.[k,k](kZ631212A.[（2）函数ycos(42x)的单调减区间为 ．

6．函数ysinx(0)的部分图象如图所示，点A,B是最高点，点C是最低点，若ABC是直角三角形，则的值是（ ）

A. B. C. D. 2435．（2014安徽）设函数f(x),xR满足f(x)f(x)sinx，当0x时，f(x)0，则f(23)（ ） 6 A.113 B. C.0 D. 222函数f(x)2sin( A.1

x)(0x9)的最大值与最小值和为（ ）

63 B.1 C.0 D.23 3