数学建模之马尔可夫预测

马尔可夫过程是一种常见的比较简单的随机过程。该过程是研究一个系统的 状况及其转移的理论。它通过对不同状态的初始概率以及状态之间的转移概率的研究,来确定状态的变化趋势,从而达到对未来进行预测的目的。 三大特点： （1）无后效性

一事物的将来是什么状态，其概率有多大，只取决于该事物现在所处的状态如何，而与以前的状态无关。也就是说，事物第n期的状态，只与第n期内的变化和第n-1期状态有关,而与第n-1期以前的状态无关。 （2）遍历性

不管事物现在所处的状态如何，在较长的时间内马尔可夫过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。 （3）过程的随机性。

该系统内部从一个状态转移到另一个状态是，转变的可能性由系统内部的原先历史情况的概率值表示。 1.模型的应用， ①水文预测， ②气象预测， ③地震预测，

④基金投资绩效评估的实证分析， ⑤混合动力车工作情况预测， ⑥产品的市场占有情况预测。 2.步骤

①确定系统状态

有的系统状态很确定。如：机床工作的状态可划分为正常和故障，动物繁殖后代可以划分为雄性和雌性两种状态等。但很多预测中，状态需要人为确定。如：根据某种产品的市场销售量划分成滞销、正常、畅销等状态。这些状态的划分是依据不同产品、生产能力的大小以及企业的经营策略来确定的，一般没有什么统一的标准。在天气预报中，可以把降水量划分为旱、正常和涝等状态。

②计算初始概率Si0

用Mi表示实验中状态Ei出现的总次数，则初始概率为

SiFi0MiMi1ni1,2,in

③计算一步转移概率矩阵

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令由状态Ei转移到状态Ej的概率为PijPEj|Ei，则得到一步转移概率矩阵为：

p11pP21pn1p12p22pn2p1np2n pnn④计算K步转移概率矩阵

若系统的状态经过了多次转移，则就要计算K步转移概率与K步转移概率矩阵。

K步转移概率矩阵为：

p11pP(k)21pn1p12p22pn2p1np2npk pnnk⑤预测及分析

根据转移概率矩阵对系统未来所处状态进行预测，即：

SKp11pS021pn1p12p22pn2p1np2n pnnK例题：

设某企业生产洗涤剂为A型,市场除A型外,还有B型、C型两种。为了生产经营管理上的需要,某企业要了解本厂生产的A型洗涤剂在未来三年的市场占有倩况。为此,进行了两项工作,一是进行市场调查,二是利用模型进行预测。 市场调查首先全面了解各型洗涤剂在市场占有情况。年终调查结果:市场洗涤剂目前总容量为100万件,其中A型占40万,B型和C型各占30万。

再者,要调杏顾客购买各型洗涤剂的变动情况。调查发现去年购买A型产品的顾客,今年仍购A型产品24万件,转购B型和C型产品备占8万件,去年购买B型产品顾客,今年仍购B型产品9万件,转购A型15万件,转购C型6万件,去年购买C型产品的顾客,今年仍购C型产品9万件,转购A型15万件,转购B型6万件。计算各型产品保留和转购变动率。 模型的建立： ①计算初始概率

用Mi表示Ei型产品出现的总次数，则初始概率为

SiFi0MiMi1ni1,2,in （1）

②计算各类产品保留和转购变动率

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用1,2,3，分别表示A,B,C三种产品类型，令由Ei(i1,2,3)型产品转移到

Ej(j1,2,3)型产品的概率为PijPEj|Ei，则得到一步转移概率矩阵为：

p11pP21pn1p12p22pn2p1np2n （2） pnn③预测与分析

根据产品市场占有率的初始资料（1）和产品转移概率矩阵资料(2),预测未来各年度各型产品市场占有率。即：

SKp11pS021pn1p12p22pn2p1np2n （3） pnnK模型的求解

①计算初始概率

用概率向量S0表示各类产品市场占有的初始状态，由（1）得

S0(0.40.30.3)。

②计算各类产品保留和转购变动率 由（2）计算得一步转移概率矩阵为

0.60.20.2 P0.50.30.20.50.20.3③预测与分析

由（3）计算得到产品市场占有率的预测如下

SK0.60.20.2 (0.40.30.3)0.50.30.20.50.20.3K 令k=1得后续第l年各型产品币场占有率预测为

S10.60.20.2(0.540.230.22) (0.40.30.3)0.50.30.20.50.20.3其中A型产品市场占有率为54%。

令k=2得后续第2年各型产品币场占有率预测为

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S20.60.20.2(0.5540.2230.223) (0.40.30.3)0.50.30.20.50.20.32其中A型产品市场占有率为55.4%。

令k=2得后续第2年各型产品币场占有率预测为

S30.60.20.2(0.55540.22230.2223) (0.40.30.3)0.50.30.20.50.20.33其中A型产品市场占有率为55.54%。

这说明,某企业生产的A型洗涤剂今后三年的市场占有率为54%、55.4%、55.54%,比目前40%的市场占有率有不同程度的增长,市场容量日益增加。而其他企业的B型和C型产品在今后三年内均为23%、22.3%、22.23%,比目前市场占有率30%都低,市场容量逐渐下降。对比结果,A型产品在市场竞争中处于优势。以上仅仅根据三年的预测资料来说明的。今后怎样?如果市场顾客购买各型产品的流动倾向长期如此下去,各型产品市场占有率将稳定在一定水平。这时马尔可夫预测式中的K趋向∞,各型产品市场占有率将是

Skk0.60.20.2(0.50.250.25) lim(0.40.30.3)0.50.30.2k0.50.20.3k它表明A型产品可长期占有一半市场,而B、C型产品可稳占1/4市场。

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