双曲线的几何性质.直线与双曲线位的相交.抛物线标准方程.抛物线的简单几何性质

1.对称性：

1）几何法

观察双曲线的形状，可以发现双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形 2）代数法

1）将方程的x用一x代替，方程不变，双曲线关于y轴对称 2）将方程的y用一y代替，方程不变，双曲线关于x轴对称

3）将方程的x和y分别用一x和一y代替，方程不变，双曲线关于原点对称

坐称轴是双曲线的对称轴 原点是双曲线的对称中心 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心 2.渐近线：

1）渐近线的含义

x2y2对于双曲线 941，经过A1（-3，0），A2（3，0）作y轴的平行线 x3，经过B1（0，-2），B2（0，2）作x轴的平行线 y   2 。四条直线围成一个矩形，矩形的

2x2y2yx。两条对角线所在直线的方程是 也可以看到，双曲线   1的各支向外延伸时，

394与这两条直线逐渐接近. 2）渐近线的求法 22bxy双曲线 2  2  1 的渐近线的方程是 yaxab双曲线 y 2 x 2 的渐近线的方程是 yax212bab

3.双曲线的渐近线方程

x2y2对于双曲线，2  2  1 (a  0 , b  0 )

ab2 x y 2  0 或 x  y  0 或 y   b x.22ababa把方程右边的“1”换成“0”，得双曲线渐近线方程为

y B2 0 B1

c2b2a2

4. 离心率e2的双曲线是等轴双曲线几何意义 A1 A2 x

直线与双曲线位的相交

一、直线与双曲线位置关系及交点个数

相交: 两个交点、一个交点 相切: 一个交点 相离: 0个交点

一个交点包括了两种位置关系:

相切和相交 ( 特殊的相交 ) , 那么是否意味着判别式等于零时 , 即可能相切也可能相交 ?

显然,这条直线与双曲线的渐进线是平行的,也就是相交.把直线方程代入双曲线方程,看看

bx2y2y : 2判别式如何? l : x  m , c  2  1 根本就没有判别式 !

aab当直线与双曲线的渐进线平行时 , 把直线方程代入双曲线方程 , 得到的是一次方程 , 根本得不到一元二次方程 , 当然也就没有所谓的判别式了 。

结论：判别式依然可以判断直线与双曲线的位置关系 ！

抛物线标准方程

1.定义：在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.

2.标准方程

右开口抛物线：y2=2px 左开口抛物线:y2= -2px 上开口抛物线：x2=2py， y=ax2（a0下开口抛物线:x2= -2py， y=ax2（a0）[p为焦准距（p>0）] 3.特点

在抛物线y2=2px中，焦点是(p/2，0），准线的方程是x= -p/2，离心率e=1，范围：x≥0； 在抛物线y2= -2px 中，焦点是( -p/2，0），准线的方程是x=p/2，离心率e=1，范围：x≤0；在抛物线x2=2py 中，焦点是（0，p/2），准线的方程是y= -p/2,离心率e=1，范围：y≥0； 在抛物线x2= -2py中，焦点是（0，-p/2），准线的方程是y=p/2，离心率e=1，范围：y≤0；4.四种方程的异同

抛物线四种方程的异同： 共同点：

①原点在抛物线上； ②对称轴为坐标轴； ③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4

不同点：

①对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2；

②开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。

抛物线的简单几何性质

y1.离心率：e=1（恒为定值，抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。）

P(x,抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P越大,开口越开阔 y) 2.焦点:(p/2，0) poF(,0)x23.准线方程l:x=-p/2

4.顶点：(0，0) 抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。

5.通径：2P ；定义：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于 两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。

6. 焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径 焦半径公|PF|=x0+p/2 7.定义域：对于抛物线y2=2px，p>0时，定义域为x≥0，p<0时，定义域为x≤0；对于抛物线x2=2py，定义域为R。

8.值域：对于抛物线y2=2px，值域为R，对于抛物线x2=2py，p>0时，值域为y≥0，p<0时，值域为y≤0。