２０１１年第２期 中学数学月刊 ・ ２５ ・ 讲透教材用好教辅是高考成败的关键 蔡玉书 （江苏省苏州市第一中学 ２１５００６） ２０１０年高考已经过去，数学试题被普遍认为 课本，低于课本．如２００８年高考第１Ｏ题：将全体正 “难”，但是２０１０的高考试题紧扣新教材，紧扣高考大 整数排成一个三角形数阵（图１）： 纲，没有偏题，没有怪题，没有超纲题，填空题和解答 按照以上排列的规律，第 行（，ｚ≥３）从左至右 题都具有很好的区分度．笔者所教的一个班级有３个 的第３个数为 ． 学生得分在１８０分上下，分别是１８１，１８０，１７９，近１Ｏ 此题出自课本选修２—２习题２．１的第１题和习 人超过１７０分，平均分超过１６０．笔者认为讲透教材， 题２．３的第８题，其中习题２．１的第ｌ题（２）：观察下 用好教辅资料是高考成败的关键，只有讲透教材，才 列等式，从中归纳出一般法则： 能让教师从题山里走出来，学生从题海来游出来． １—１ 。 １ 命制高考试题的一个基本原则是立足课本 ２＋３＋４＝３ ， 立足课本是各地高考命 １ ３＋４＋５＋６＋７—５ ， 题的一个基本原则，纵观近 ２ ３ ４＋５＋６＋７＋８＋９＋ｌｏ一７。， 三年的江苏省高考试题，都 ４ ５ ６ 有相当部分试题源于课本， ７ ８ ９ ｌＯ 习题２．３的第８题：将正整数作如下分组：（１）， 有些试题源于课本，不高于１１ １２ １３ １４ １５ （２，３），（４，５，６），（７，８，９，１ｏ），（１１，１２，１３，１４， 课本；有些试题源于课本，高 ………… １５），（１６，１７，１８，１９，２０，２１），…，分别计算各组包 于课本；甚至有些试题源于 ｌ 含的正整数的和如下，试用不完全归纳法猜测Ｓ ＋ 生１４：老师，我有个问题！是不是很多线性 通解通法，其一般的程序步骤是： 规划题目都能像题目１、题目２的解法３（待定系 第一步：待定系数法，即将目标函数用约束条 数法）那样做呢？ 件中某两个关于ｚ，Ｙ的式子线性表示．当约束条 师：那你怎么想的呢？能不能用你身边的题 件中的式子等于或多于３个时，线性表示时会面 目来验证你的疑问呢？（笔者在为自己赢得思考 临“选择”，即选择用哪两个式子来表示目标函数， 时间） 这将是一个难点，需要解题者根据所求的是“最大 生１４：我用复习案上的２０１０年安徽文科的线 值”还是“最小值”而去尝试； 性规划题来验证，是行的． 第二步：求最值，即根据第一步中用到的两个 师：很好．注意用待定系数法后要看取得等号 式子的范围，利用不等式的性质，得到目标函数的 成立时的值是否符合约束条件．下面，同学们能不 最值； 能用待定系数法来验证我们复习案上的另外的 第三步：求取得最值时的 ， 的值，并检验所 ２Ｏ１Ｏ年的线性规划题…… 得的ｚ， 值是否满足题设约束条件． 这时，下课铃声响了．课后课代表进行了合理 笔者也认真反思着这堂课： 的分组，并将复习案上的其余线性规划问题验证 给学生一个空间，让他们自己往前走；给学生 了一遍，结果令人惊喜． 一个条件，让他们自己去锻炼； 学生的题后总结：简单的线性规划问题，我们 给学生一些时间，让他们自己去安排；给学生 往往习惯于通解通法——图解法，然而，我们在 一个问题，让他们自己去找答案； 实施图解法的过程中，常常会伴随着“可行域画 给学生一个机遇，让他们自己去抓住；给学生 错”、“直线倾斜程度弄错”等问题的出现，这就是 一个冲突，让他们自己去讨论； 老师常说的“会而不对”现象．而通过上述探究， 给学生一个权利，让他们自己去选择；给学生 我们觉得待定系数法也是线性规划问题的另一种 一个题目，让他们自己去创造． ・ ２６ ・ 中学数学月刊 ２０１１年第２期 ｓ ＋Ｓ ＋…＋Ｓ。 。的结果，并用数学归纳法加以证 （单位：ｍ），使ａ与口之差较大，可以提高测量精确 明． 度．若电视塔实际高度为１２５ｍ，问ｄ为多少时，ａ一 Ｓ１—１，Ｓ 一２＋３—５，Ｓ。一４＋５＋６—１５，Ｓ 一 最大？ ７＋８＋９＋１０＝３４，Ｓ 一１１＋１２＋１３＋１４＋１５—６５， 此题取自苏教版必修４习题３．１（３）的探究．拓 Ｓ 一１６＋１７＋１８＋１９＋２０＋２１＝１１１． 展ｌ１：如图３，有一壁画，最高点 ２００８年试题２：若将一颗质地均匀的骰子（一个 Ａ处离地面４ｍ，最低点Ｂ处离 各面上分别标有１，２，３，４，５，６个点的正方体玩 地面２ｍ，若从离地面高１．５ｍ 具）先后抛掷两次，则向上点数之和为４的概率是 的Ｃ处观赏它，则离墙多远时， 视角最大？ 出自必修３第１１２页的复习题或第９５页例１，其 以上我们只是罗列了高考 图３ 中课本第１１２页的复习题为：连续抛掷一颗骰子２ 中由课本改编的部分试题，实 次，分别求抛出的点数和为２，３，４，…，１２时的概率． 际上根据课本改编的高考题还有很多，其实我们希 ２００８年第６题：在平面直角坐标系Ｉｚ０ 中，设Ｄ 望老师在进行高三复习时必须让学生多做课本习 是横坐标与纵坐标的绝对值均大于２的点构成的区 题，尤其是后面的“思考・运用”与“探究・拓展”． 域，Ｅ是到原点的距离不大于１的点构成的区域，向 ２ 高考复习必须回归课本 Ｄ中随机投一点，则落入Ｅ中的概率是 ． 高考试题除了源于课本，还有相当一部分的试 源于课本习题：用计算机产生的有序二元数组 题的结论和方法取自课本．新教材增加了许多研究 （ ， ）满足一１＜ｚ＜１，一１＜Ｙ＜１，对每个有序 性学习的材料，其中江苏教育版教材中的“思考・运 二元数组（ｚ， ），用计算机产生 ＋ｙ。的值，记Ａ 用”、“探究・拓展”应该成为高考复习的重点知识和 为事件“ ＋ｙ ＜１”．试求事件Ａ发生的概率． 内容． ２００８年第８题出自必修３第６４页例２，只是将学 例如：２００８年高考第１９题：（１）设ｎ ，ｎ ，…，ａ 生的睡眠时间改为老人的睡眠时间，增加了流程图． 是各项均不为零的ｎ（ｎ≥４）项等差数列，且公差ｄ ２００８年试题１３：满足条件ＡＢ一２，ＡＣ＝４５ＢＣ的 ≠０．若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来 三角形他Ｃ面积的最大值是 ．此题根据必修 ５第２４页第６题“如图，已知 Ａ为定角，Ｐ，Ｑ分别 的顺序）是等比数列，（ｉ）当 一４时，求 的数值； “ 在 Ａ的两边上，ＰＱ为定长，当Ｐ，Ｑ处于什么位置 （ｉｉ）求 的所有可能值． 时，△ＡＰＱ的面积最大？”改造，根据平面几何知 （２）求证：对于给定的正整数 （ｎ≥４），存在一 识，固定ＰＱ，则Ａ在以ＰＱ为弦的一个定圆上运动， 个各项及公差均不为零的等差数列ｂ ，ｂ ，…，ｂ ，其 命题者利用阿波罗圆将该题进行了一个外包装，其 中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列． 实质没有变化． 它与选修２—２的习题２．２第６题处理的方法完 ２００９年江苏省高考试题源于课本的试题有第１ 全一致：证明：１，√２，√３不可能是同一个等差数列 题到第７题等． 中的三项． ２０１０年根据课本改编的试题有第１题到第７ 例如，在数学中我们经常利用算两次的思想来 题．最典型的是第１７题：某兴趣小组测量电视塔ＡＥ 证明一些恒等式：如三角中两角和差的正弦、余弦公 的高度Ｈ（单位：ｍ），如示意图２，垂直放置的标杆 式的证明就采取向量的数量积的两种算法来证明， ＢＣ高度ｈ一４ ｍ，仰角ＡＡＢＥ—ａ，ＡＡＤＥ一 ． ２０１０年四川省的高考试题１９就直截了当地考查这 （１）该小组已测得一 个公式的证明：①证明两角和的余弦公式Ｃ ： 组ａ，８的值，算出了ｔａｎ口一 ｃｏｓ（ａ＋ｐ）一ｃｏｓ ｏ￣ＣＯＳ 一ｓｉｎ ａｓｉｎｐ；②由Ｃ州推导两 １．２４，ｔａｎ口一１．２０，请据此 角和的正弦公式Ｓ ＋／３：ｓｉｎ（ａ＋ ）一ｓｉｎ ａｃｏｓ ＋ 算出Ｈ的值； ＣＯＳ ａｓｉｎｐ． （２）该小组分析若干 苏教版选修２－３第４Ｏ页的探究拓展题：我们曾 测得的数据后，认为适当 图２ 用组合模型发现了两个组合恒等式：①Ｃ：一 ｛ 调整标杆到电视塔的距离 ②Ｃ？＋Ｃ ｎ —Ｃ ．这里我们使用的方法实际上是 ２０１１年第２期 中学数学月刊 ・ ２７ ・ 将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同构造 等式，这是一个常用的思想方法．对此，我们并不陌 生，如列方程时就是从两个不同的侧面列出同一个 这样的试题出现在课本上，高一初学时学生的 认知水平达不到一定的深度，需要我们教师在高三 第一轮或第二轮复习时，引领学生回归课本，重新讲 解或演练这些习题，只有充分挖掘课本的功能，才能 发挥教师的主导作用，达到事半功倍的效果． ３ 课本例题习题还有挖掘的空间 量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的 典范．再如，我们还可以用这种方法，结合二项式定 理得到很多组合恒等式，如由等式（１＋ｚ） 一（１＋ ） （１＋ ） 左边的 的系数为 ，而右边（１十 有的教师会问，前三年我省的高考命题课本上 的经典试题用了一些，还有挖掘的空间吗？回答是 ） （１＋－ｚ） 一（Ｃ：＋ｃ ｚ＋Ｃ Ｃ ＋Ｃ ｚ ＋…＋ｃ： ）， ＋…＋Ｃ： ）（ｃ ＋ 的系数为ｃ：Ｃ：＋ 肯定的．其实课本上有很多试题需要教师引导学生 Ｃ Ｃ：『 ＋Ｃ：Ｃ７ ＋…＋Ｃ Ｃ ＋Ｃ：ｃ：＝（Ｃ：） ＋（ｃ ） ＋（Ｃ：） ＋…＋（Ｃ：）。，由（１＋ｚ） 一（１＋ｚ）”（１＋ ） 恒成立可得（Ｃ：）。＋（Ｃ ） ＋（Ｃ：）。＋…＋（Ｃ：）。一 ｃ； ．你能用算两次的方法证明等式Ａ ＋ Ａ 删。一 Ａ 吗？你能通过算两次独立发现新的组合恒等式 吗？ 经过改造，命题者命制了２００８年第２３题：在等 式ｃｏｓ ２ｃｃ一２ｃｏｓ ～１（ ∈Ｒ）的两边求导，得 （ＣＯＳ ２ｚ） 一（２ｃｏｓ ｚ一１） ，由求导法则，得 （一ｓｉｎ ２ｘ）・２一－－４ｃｏｓ ｘｓｉｎ ｚ，化简得等式：ｓｉｎ ２ｘ一 ２ｓｉｎ ｚｃｏｓ，１７．（１）利用上题的想法（或其他方法），结 合等式（１＋ｚ） 一ｃ：＋ｃ １ｚ＋Ｃ ＋…＋Ｃ ｚ （ ∈ Ｒ，正整数 ≥２），证明：”［（１＋ ） ］一∑忌ｃ ｚ ． （２）对于正整数 ≥３，求证：（ｊ）∑（一１） 尼 —ｏ； （ｉｉ） （ ｋ ｃ 一０；（ｉｉｉ） 南ｃ 一 ２井 ～１ ’ ２０１Ｏ年江苏省理科附加题第２３题：已知△ＡＢＣ 的三边长为有理数． （１）求证：ＣＯＳ Ａ是有理数；（２）求证：对任意正 整数，ｚ，ＣＯＳ ｎＡ是有理数． 此题根据课本必修４最后一道复习题改编，这 道复习题是：（阅读题）由倍角公式ＣＯＳ ２ｘ＝２ｃｏｓ 一 １，可知ＣＯＳ ２ｓｏ可以表示为ＣＯＳ 的二次多项式．对于 ＣＯＳ ３ｘ，我们有ＣＯＳ ３ｘ＝ｃｏｓ（２ｘ＋ ）：ＣＯＳ ２：ｒｃｏｓ — ｓｉｎ ２ｃｃｓｉｎ ＝（２ｃｏｓ ．ＪＣ一１）ＣＯＳ工一２（ｓｉｎ ＸＣＯＳ ｚ）・ ｓｉｎ ＝（２ｃｏｓ。ｚ～１）ＣＯＳ ｚ一２（１一ＣＯＳ ｃｃ）ＣＯＳ ｚ一 ４ｃｏｓ。 一３ｃｏｓ ｚ．可见ＣＯＳ ３ｘ可以表示为ＣＯＳ ｚ的三 次多项式．一般地，存在一个 次多项式Ｐ （￡），使得 ＣＯＳ”ｚ—Ｐ （ＣＯＳ ｚ），这个多项式Ｐ （ ）称为切比雪 夫（Ｐ．Ｌ．Ｔｓｃｈｅｂｙｓｃｈｅｆｆ）多项式．请尝试求出 Ｐ （ ），即用一个ＣＯＳ 的四次多项式来表示ＣＯＳ ４ｘ． 去挖掘．首先，教师要做一个研究者，将课本的习题 自己亲自做几遍，著名的数学家和数学教育家波利 亚曾经告诫我们：数学教师要养成解题的好习惯，不 仅要解那些新题，更要解那些经典的习题，将它们加 以推广引申，看看你的解法是不是本质的，有没有更 简单的方法．教师解题不能像学生解题，只满足会 解，更要对方法进行归类总结，学会一题多解和一题 多变、多题一解． 例如我们在讲授新授课必修４ 时会布置学生做习题３．２的第１Ｏ 题：如图４，将矩形纸片的右下角折 起，使得该角的顶点落在矩形的左 边上，那么ｚ的长度取决于臼的大 小．探求ｚ， 之间的关系，并导出用０ 表示ｚ的函数表达式． 图４ 高一的学生做此题时只能根据图象求出ｌ，０之 间的关系，但是到高三讲解此题时，我们可以让学生 求折痕的最小值，讲最小值有哪些解法，怎样做最省 时间． 再如，在高三复习时讲必 修５解三角形一章的例４：如图 ５，半圆０的直径为２，Ａ为直径 延长线上的一点，ＯＡ＝２，Ｂ为 半圆上任意一点，以ＡＢ为一边 作等边三角形ＡＢＣ．求四边形 ０ＡＣＢ面积何时最大？到高三 图５ 复习时我们可以引导学生探究点Ｂ在什么位置时， 线段 长取到最大． 设 Ａ０Ｂ—ａ，记 ０ＡＢ一 ，则０＜ａ＜７ｃ，０＜ ０＜ ，在△ＡＯＢ中，由余弦定理得ＡＢ。＝ＯＡ。＋ ＯＢ。一２ ＯＡ・０ＢＣＯＳ口＝５—４ｃｏｓ口．在△Ａ０Ｂ中， 由正弦定理得 一 堡，所以ＡＢｓｉ ０一 ｉ ，从 ＳＩｎ ｓｌｎ ａ 而 ＡＢＣＯＳ ０ 一 ＡＢ 一ＡＢ ｓｉｎ ０ ＝ ・ ２８ ・ 中学数学月刊 ２０１１年第２期 ．、 －＝＝ 一 ５～４ＣＯＳ ｄ一１＋ＣＯＳ ＝ （２一ＣＯＳ ａ） 一２一ＣＯＳ ．在△Ａ０ｃ中由余弦定理 得ＯＣ ＝ＯＡ ＋ＡＣ 一２ ＯＡ・ＡＣｃｏｓ（０＋ ７Ｉ＂）：ＯＡ ０ ＋ＡＢ 一２ ＯＡ．ＡＢｃｏｓ（ ＋要）一４＋５—４ｃｏｓ 一 ２ＡＢｃｏｓ０＋２√ ＡＢｓｉｎ ０＝９—４ｃｏｓ ｄ一２（２一ＣＯＳ ａ） ， ＋２ ｓｉｎ ａ一５＋４（ ｓｉｎ ａ一 ｃｏｓ ａ）一５＋４ｓｉｎ（ａ 厶 厶 一罢）．因为０＜ａ＜ ，Ｏ 所以当 一等时，０ ∞取最大 值３． 当然，课本上能够深入挖掘的试题还有许多，这 些工作只能留给读者去开展了． 课本习题的教学不仅仅是高一与高二老师的 事，更应该是广大高三教师的事，要从题海战术中解 脱出来，其中一个有效的做法就是回归课本，讲透课 本，做透课本习题，不要整天做模拟试题，这样只能 事倍功半．其实，２０１０年文科高考考生大喊“数学 难”，与平时教师的教学赶进度有着很大的关系，现 在绝大多数学校文科考生从高二下学期就开始总复 习，如果我们广大教师在高一、高二按国家规定的要 求，认真搞好课本的教学，夯实基础，两年教完该教 的课程，也就是增加新授课的时间，减少复习的时 间，就不会出现这样的局面． ４ 好的教辅资料应该是课本型的 选择好的教辅资料也是高三数学复习成败的关 键，对于江苏的考生，这里我们最值得给大家推荐的 就是由苏州大学数学科学学院组织全省著名的特、 高级教师编写的第一轮和第二轮复习资料．书的作 者中有江苏省第一批和第二批教授级中学高级教师 多人，有的曾经参加过高考命题，有的曾经参加新教 材的编写，有的老师对高考有专门的研究．这两本书 中有许多试题与高考试题接近，该书贴近课本，是高 三复习的好教材． 例如，２００９年９月出版的《高中数学教学与测试 理科专题复习》数列专题１的第１Ｏ题与２０１０年高考 １９题就有着千丝万缕的联系． 专题１的第１Ｏ题：设｛ａ ｝是正项等差数列，它的 前，ｚ项和为Ｓ ，正整数ｍ，７／，Ｐ成等差数歹Ｕ，试比较Ｓ 与Ｓ Ｓ 的大小，并加以证明． ２０１０年高考１９题：设各项均为正数的数列｛口 ｝ 的前７／＂项和为ｓ ，已知２ａ 一ｎ ＋ｎ。，数列｛￣／ｓ ｝是 公差为ｄ的等差数列．①求数列｛口 ｝的通项公式（用 ／７，ｄ表示）；②设ｃ为实数，对满足ｍ＋ ＝３ｋ且ｍ≠ ”的任意正整数 ， ，ｋ，不等式ｓ ＋Ｓ ＞ 都成 立．求证：ｃ的最大值为÷． 实际上，将数列特殊化，将证明方法直接移植就 可以了． 再如２００８年第１３题：满足条件ＡＢ一２，ＡＣ一 √２ ＢＣ的三角形ＡＢＣ面积的最大值是 ．与《理 科专题复习》专题７例４如出一辙：等腰三角形腰上 的中线为定长ｚ，顶角ａ为何值时，三角形面积最 大？ ２００９年解答题第１６题处理的方法与《理科专题 复习》单元测试１的第９题一致．２００９年解答题第 １６题：设｛ａ ）是公差不为零的等差数列，Ｓ 为其前 项和，满足ａ；＋ａｉ—ａ：＋ａ：，Ｓ 一７．（１）求数列｛ａ ｝ 的通项公式及前 项和Ｓ ；（２）试求所有的正整数 ｍ，使得 为数列｛ａ ｝中的项．单元测试１的第 ａｍ＋２ ９题为：已知两个等差数列｛ａ ｝和｛ｂ ｝的前 项和分 别为Ａ 和Ｂ ，且 一 ７ｎ＋４５，则使得 为整数的 Ｄ．， 十０ Ｏ 正整数 的个数是 ． 苏大两轮资料与高考的吻合率一直很高，因为 这支写作队伍是许多其它复习资料不能比拟的，他 们的资料每年都要进行修订，根据新一年高考试题 的分析作３Ｏ％的修改，以便下届学生更好地使用． ５ 用好一份教辅资料 教师选好一份复习资料后，一定要像钻研教材 一样研究它，对它的例题和习题的配备要了如指掌， 认真备课．实际上，现在很多学校流行“集体备课”， 集体备课应该将苏大两轮资料作为重点内容，只要 作适当的补充就可以了，让学生做好一本教辅资料 就足够了，不要贪多，否则会“消化不良”．另外，教师 要从各个方面关心学生，经常抽出时间与他们交流， 必要时作业面批，下课后个别辅导，对易错的试题要 重点练习，对高考的冷、热点进行分析，有的放矢地 进行有效讲解，切实从题海中解放自己，也解放学 牛．