一、本章主要内容：
本章的主要内容是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用。通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形；认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形；理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理；探索并掌握等腰三角形的判定定理；探索等边三角形的性质定理及等边三角形的判定定理；能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念，激发学习兴趣．
二、教学目标： 1、知识与技能
①、通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂
直平分的性质
②、了解线段垂直平分线的概念，探索并掌握其性质；了解等腰三角形、等边三角的有关概念，探索并掌握它们的性质以及判定方法
2、过程与方法
通过大量的现实生活右的图形来认识轴对称图形及轴对称的概念，让学生体验轴对称在现实生活中的广泛应用，在具体教学过程中，可在教材的基础上适当拓展，使内容更为丰富。
3、情感与价值观
通过本节学习，能初步应用本章所学的知识解释生活中的轴对称现象及解决简单的实际问题， 在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念，提高思维能力，培养学生体会数学美 感的价值观。
三、教学重点：
轴对称的性质、等腰三角形的性质和判定。
四、教学难点：
运用轴对称的思路分析识认复杂图形，进行推理论证。
五、教学的几个建议：
1、教学中要注意联系实际。
2、教学中要注意通过对比加深概念的理解。
3、满足学生多样化的学习需求，为学生提供个性化学习的时间和空间 4、重视现代信息技术工具的应用
六、教具准备：
课件、电子白板、运程教育资源网 七、课时安排：
本章教学时间约需14课时，具体分配如下：
13.1 轴对称------------------------------------------- 3课时 13.2 画轴对称图形---------------------------------- 2课时 13.3 等腰三角形 ------------------------------------5课时 13.4 课题学习 最短路径问题-------------------- 2课时 数学活动
复习与小结------------------------------------------- 2课时
精选
13.1 轴对称（1）
一、教学目标：
1、知识与技能：
①、感受生活中对称现象的普遍性和对称美。
②、掌握轴对称图形、关于直线对称的概念。 ③、会识别关于直线对称，并能找出对称轴。 2、过程与方法：
①、通过学习轴对称图形和关于直线对称，进一步认识几何图形的本质特征。
②、通过学习轴对称图形和关于直线对称的区别和联系，进一步发展学生抽象概括能力。 3、情感与价值观;
通过学习轴对称图形和关于直线对称，体会他们在现实生活中的应用，激发学生的学习欲望，主动参与数学学习活动，提高学生的学习能力和审美能力。
二、教学重点：
掌握轴对称图形和关于直线轴对称的概念。
三、教学难点：
比较观察得到轴对称图形和关于直线对称的区别和联系。
四、教具准备：
课件、电子白板、运程教育资源网。
五、教学程序：
（一）欣赏图片 观察思考
1、车标设计：
2、图案欣赏：
【通过展示图片，让学生初步感受轴对称，体会轴对称与现实生活的紧密联系，激发学生的学习欲望，提高他们的学习积极性。】
（二）动手操作 探索新知
1、观察动画 合作交流（课件）：
轴对称图形定义：如果________ 沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够_________,这个图形就叫做____________.这条直线就是它的__________.这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2、新知应用 提高能力
①、下面这些图形是不是轴对称图形？
②、下面四幅图中是轴对称的有几个？
精选
③、画出下面每个轴对称图形的对称轴
④、下面是几家银行的标志,其中是轴对称图形的是？
⑤、想一想：0-9十个数字中，哪些是轴对称图形？（抢答）
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
⑥、猜字游戏: 在艺术字中,有些汉字是轴对称的，你能猜一猜下列是哪些字的一半吗？ （图形参课件）
⑦、把一圆形纸片两次对折后，得到右图，然后沿虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是( )
3、动手操作探讨对称轴条数 【动手操作填写下表】
A
B C
D
图形 长方形 正方形 形状 是否轴对称图形 对称轴的数量(条) 平行四边形 等腰三角形 圆形 4、合作交流 归纳提高
（1）有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。
（2）对称轴通常画成虚线，是直线，不能画成线段。
精选
（三）观察探索 研究新知：
1、观察 下面的每对图形有什么共同特点?
【学生通过观察、思考、合作交流，认识两个图形轴对称的本质特征，鼓励学生善于思考、勇于发现，培养合作意识。】
2、两个图形成轴对称的定义：
把_______沿着某一条直线折叠,如果它能够与_____图形____,那么就说这两个图形______________或者说这两个图形成轴对称。这条直线叫做_____.折叠后重合的点是对应点,叫做______.
3、新知应用 反馈提高
①、下面给出的每幅图形中的两个图案是轴对称吗?如果是,试着找出它们的对称轴,并找出一对对应
点。【图形参课件】
②、判断：成轴对称的两个图形全等吗?( )
如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形全等吗?( )这两个图形对称吗?( )
③、想一想：一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，你能确定该车车牌的号码吗？ （四）课堂小结 归纳比较：
1、如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴。
2、把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对称点。 3、区别概念： 名称 区 别 联 系 把轴对称的两个图形看成一个整体，它就是轴对称图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条直线轴对称。 (五)课堂练习 应用提高
1、有两条对称轴的轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
精选
轴对称图形 一个图形 一个具有特殊形状的图形 关于直线对称 两个图形 两个具有特殊位置关系的图形 图形个数 图形的特殊性
2、图案，对称轴有（ ）
A．2条 B．4条 C．8条 D．无数条 3、等边三角形有三条对称轴，其中一条是（ ）
A．一边上的高线 B．一个角的平分线C．一边上的中线 D．一边上的高所在直线 4、下列图案中，不是轴对称的是（ ）
5、两个图形关于直线对称的是（ ）
（六）布置作业：
1、课本64页1、2、3题。 2、练习册
板 书 设 计 13.1 轴对称 一、轴对称图形、关于直线对称的定义。 二、轴对称图形与关于直线对称的区别于联系。 教学后记：
13.1 轴对称（2）
一、教学目标：
1、知识与技能：
①、掌握线段垂直平分概念。
②、通过探究掌握两个图形关于直线对称的性质。
③、掌握并会运用线段垂直平分线的性质和判定。 2、过程与方法：
①、通过对轴对称图形的研究理解轴对称的性质，进一步培养学生的抽象能力。
精选
②、通过类比角平分线的性质、判定与线段垂直平分线的性质、判定，加深对两者的理解，使学深感受类比的好处。 3、情感与价值观;
通过轴对称性质的学习加强学生对事物内在联系，增强学生创造美好生活的信心。
二、教学重点：
轴对称的性质、线段垂直平分线的性质与判定。
三、教学难点：
线段垂直平分线的性质及判定的描述。
四、教具准备：
课件、电子白板、运程教育资源网。
五、教学程序：
（一）创设情境 引入新课
问题情境：一节课我们共同研究了轴对称的定义，那么轴对称具有什么性质？与对称轴有关的知识有哪些呢？
1、如果一个图形沿着一条直线 ，两侧的图形能够 ，这个图形就是轴对称图形。 2、折痕所在的这条直线叫做______
3、 把一个图形沿着某一条直线 ,如果它能够 ,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做 （二）合作交流 探究新知
探究一：线段的垂直平分线的概念、轴对称的性质：
1．如图，ABC与ABC关于直线MN对称，点A,B,C分别是
A,B,C的对称点.试写出图中所有相等的线段和相等的角(不添字母)； 2．说明线段AA,BB,CC与MN有什么关系？.
3．猜想：什么叫做线段的垂直平分线？关于直线对称的两个图形有什么性质？ 归纳：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线
4、轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 探究二：线段的垂直平分线的性质
1、如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请猜想点P1， P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系． 问题1：你能用不同的方法验证这一结论吗？ A 问题2：你能用文字语言叙述这一结论吗？ 2、归纳：
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 线段垂直平分线的判定：
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 【学生通过证明、比较准确掌握线段垂直平分线的性质、判定。】 （三）课堂练习 应用提高
练习1、 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线 交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等 于______．
练习2 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，
A
PPP
B
l
A
B
D E
C
AC，CE 的长
A
精选
M B D C E
度有什么关系？
AB+BD与DE 有什么关系
练习3 如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？ （四）动手操作 发散思维
1、尺规作图：如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线的垂线？ 1、如图，过点P 画∠AOB 两边的垂线，并和 同桌交流你的作图过程． O （五）课堂小结 反馈提高： （1）本节课学习了哪些内容？
（2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？ 两者之间有什么关系？ （3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？ （六）课堂练习 应用新知
1．已知点C垂直于线段AB，且CA＝CB，则点C是线段AB的（ ）
A．中点 B．延长线上的点 C．垂线上的点 D．垂直平分线上的点
2．下列说法中错误的是（ ）
A P B
A．线段的对称轴是它的垂直平分线 B．线段垂线上的点到线段两端点的距离相等
C．到线段两端距离相等的点都在一条直线上 D．轴对称图形的两个对称点到对称轴的距离相等 3．如图，△ABC中，BC=10，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E， 则△ADE的周长为_______.
4．如图，AB的垂直平分线DE交BC于E，D是垂足，若AD=6㎝，△ACE 的周长为16㎝，则△ABC的周长为________.
5．如图，已知∠MON＝450，角的内部有一点P，设点P关于OM的对称点为A，点P关于ON的对称点为B，（1）求证：OA⊥OB；
（2）若AB交OM于E，交ON于F，且AB=8cm，求△PEF的周长.
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，BD=BC。 过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F。问BE垂直平分CD吗？为什么？
（七）布置作业
1、教材第65页习题第4、10题。 2、练习册。
板 书 设 计
精选
13.1 轴对称 一、段垂直平分线定义。 二、例题 轴对称性质。 线段垂直平分线定义： 性质： 判定： 教学反思：
13.1
一、教学目标：
轴对称（3）
1、知识与技能：
①、会用“尺规作图”作线段的垂直平分线.
②、会作图形成轴对称或对称图形的对称轴. 2、过程与方法：
通过对对称轴画法的研究，进一步培养学生的动手能力。 3、情感与价值观;
通过轴对称性质的学习加强学生对事物内在联系，增强学生创造美好生活的信心。
二、教学重点：
线段的垂直平分线的画法
三、教学难点：
对称轴的画法
四、教具准备：
课件、电子白板、运程教育资源网。
五、教学程序：
（一）、创设情境 复习引入
问题：1、轴对称的性质是什么？
2、如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？
3、有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？
（二）探究新知 培养能力
探究1、如图，点A 和点B 关于某条直线成轴对称， 你能作出这条直线吗？ 作法：如图．
（1）分别以点A，B 为圆心，以大于 AB的长为半径 作弧，两弧相交于C，D 两点； （2）作直线CD．
CD 就是所求作的直线．
问题：这种作法的依据是什么？这种作图方法还有哪些作用？ 探究2、如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？
【如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．】 探究3、你能作出这个五角星的其他对称轴吗？它共有几条对称轴？
精选
（三）新知应用 发散思维
练习1、作出下列图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？
练习2、 如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 练习3、 如图，与图形A 成轴对称的是哪个图形？画出它的对称轴．
练习4．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′和△A′′B′′C′′关于直 线EF对称．
（1）画出直线EF；
（2）直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB′′与直线MN、EF所夹锐角α的数量关系．
拓展思维：
如图，两个图形关于直线对称.如果只能用直尺和圆规两 种画图工具，你能画出对称轴吗？在图1中画出，保留痕迹， 并 说明你的依据；如果要求只能用直尺一种画图工具，你还能画 对称轴吗？在图2中画出，保留痕迹，说明这次画图的依据。 （四）课堂小结 归纳提高：
1、谈谈本节课的主要收获
2、会轴对称图形、关于直线对称的对称轴的画法。
（五）布置作业：
1、课本66页9、12、13题 2、练习册
板书设计 13.1 轴对称 一、轴对称的画法。 三、拓展思维题的解析过程。 二、探究一解析过程。 教学反思：
精选
13.2 画轴对称图形 (1)
一、教学目标：
1、知识与技能：
①、会作出图形经过一、两次轴对称的图形. ②、体会成轴对称图形全等，对称线段相等. ③、体会对称点所连线段被对称轴垂直平分.
④、会利用作轴对称图形进行简单图案设计. 2、过程与方法：
经历对称的变换的画图、观察、交流等活动理解其基本性质。 3、情感与价值观;
通过利用轴对称作图和图案设计，发展实践能力。
二、教学重点：
利用轴对称作图
三、教学难点：
利用对称变换设计图案
四、教具准备：
课件、电子白板、运程教育资源网。
五、教学程序：
（一）、创设情境 引入新知
问题1．在纸的左边部分，画出左手印，把这张纸左右对折后描图，打开对折的纸进行观察，这两个手印成轴对称吗？你知道对称轴是什么吗？
问题2．在纸上画一个ABC，在旁边任意画一条直线l，分别作出顶点A,B,C到直线l的垂线段，然后将纸沿直线l对折，描出ABC及顶点到l的垂线段，打开对折的纸进行观察。你能从中悟出怎样作一个图形关于某直线对称的对称图形吗？ （二）、探究新知 培养能力
探究1、下列三幅图是怎样得到的？ （图形参课件）【这些图形都可以看作是以它的一部分作为基础,经轴对称变换扩展而来.】 轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称图形的过程. 探究2、利用轴对称变换设计美丽图案（图形参课件） 观察思考：你有什么发现？
1、对称轴的方向和位置发生变化,得到图形的方向和位置也会发生变化. 2、轴对称变换的特征:
①.由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小_______； ②新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的_______ ③.连接任意一对对应点的线段被对称轴______
④成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过___________后得到。 ⑤ 一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经___________扩展而成的。 （三）、自我尝试 动手操作
1、已知对称轴 l 和一个点A，你能作出点A关于l 的对称点 A´吗？ 2、如何画线段AB关于直线l 的对称线段A′B′?
3、课本67例1：如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形。 拓展：如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形。 【教师通过电子白板展示图案，学生观看图片。学生先观察图形找出关键点，再作出它们的对称点，并连接。教师指导学生画图。】
4、小结：作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步聚:
精选
找点：确定图形中的一些特殊点
画点：画出特殊点关于已知直线的对称点 连线：连接对称点 （四）、课堂练习 应用提高
1、小强从镜子中看到的电子表的读数如下图 ，则电子表的实际读数是________
2、右面的数据是某个时间经过轴对称变换而得来的，请问它表示的时间是多少？
3、下列各图中，画△ＡˊＢˊＣˊ，使△ＡˊＢˊＣˊ 与△ＡＢＣ关于直线ＭＮ成轴对称图形。
A Ｍ A Ｍ A Ｍ （1）
C Ｎ 4、课本68页练习1、2题
（2）
C B Ｎ
B （3）
C Ｎ 【学生通过观察、思考、动手、合作交流，培养学生的合作意识和思维能力。】 （五）、课堂小结 归纳提高
通过今天的学习，你有什么收获与体会？ 1、轴对称变换的定义； 2、轴对称变换的特征；
3、画已知图形关于已知直线的对称图 轴对称变换的特征:
1、由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；
2、新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点； 3、连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 （六）、布置作业 练习册
板书设计 13.2 画轴对称图形 一、对称点的作法。 二、例题解析。 对称线段的作法。 对称图形图形的作法。 精选
教学反思：
13.2 画轴对称图形 (2)
一、教学目标：
1、知识与技能：
①、会由一点求关于坐标轴对称的点坐标.
②、掌握两点关于坐标轴对称的坐标规律. 2、过程与方法：
在找两点关于坐标轴对称的坐标规律.的过程中，培养学生的语言表达能力、观察能力、归纳能力、养成良好的自觉探索的习惯，体会数形结合的思想。 3、情感与价值观;
再找点、描点的过程中让学生体会数形结合的思想，激发学生学习数学的乐趣。
二、教学重点：
会由一点求关于坐标轴对称的点坐标.
三、教学难点：
找两点关于坐标轴对称的坐标规律.
四、教具准备：
课件、电子白板、运程教育资源网。
五、教学程序：
（一）、创设情境 引入新知
思考：如图，是一副老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的。如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y 轴建立平面直角坐标系，根据如图所示的东直门的坐标，你能找到西直门的坐标吗？
观察:图中两个圆脸与y轴有什么位置关系？
（二）、探究新知 培养能力
BC探究1：如图，你能在平面直角坐标系中画出点A、B、C关于y轴的对称点吗?
（图形参课件）
· · · AD· · · · A D B C 1、思考：关于y轴对称的点的坐标具有怎样的关系？ 关于y轴对称的点的坐标的特点是:横坐标互为相反数,纵坐标相等. 2、练习：
①、点P(-5, 4)与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为__________. ②、点M(a, -2)与点N(-3, b)关于y轴对称，则a=_____, b =_____.
探究2：如图，在平面直角坐标系中你能画出点A、B、C关于x轴的对称点吗?
1、思考：关于x轴对称的点的坐标具有怎样的关系？ 关于x轴对称的点的坐标的特点是:横坐标相等,纵坐标互为相反数. 2、练习：
①、点P(-4, 5)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为__________. ②、点M(a, -3)与点N(-2, b)关于x轴对称，则a=_____, b =_____.
交流合作:小结：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称
精选
的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.
点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为______.点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为_______. （三）、应用新知 提高能力
1、完成下表
已知点 (2,-3) (-1,2) (-6,-5) (0.5,1) (4, 0)
关于x轴的对称点
关于y轴的对称点
2、已知点P(6, b+2)与点P’(a+b, -3a).
若点p与点p’关于x轴对称，则a=_____ b=_______. 若点p与点p’关于y轴对称，则a=_____ b=_______. 3、如图，四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为
A（-5，1），B（-2，1），C（-2，5），D（-5，4）， 分别画出与四边形ABCD 关于x 轴和y 轴对称的图形．
4、讨论归纳：画一个图形关于x 轴或y 轴对称的图形的方法和步骤.
D A C y B O x （1）求特殊点的坐标；（2）描点；（3）连线．
5、学生练习：已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，5),B(- 4，1),C(-1，3)，作出△ABC关于y
轴对称的图形。
（四）、课堂小结 归纳提高
谈谈本节课的收获：这节课你学到了什么？
1、点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为______.点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为_______. 2、在平面直角坐标系中一个图形关于x轴或y轴的对称图形的画法。
【先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的对应点的坐标,描出并连接这些点,就可以得到这个图形的轴对称图形.】 （五）、课堂思考 发散思维
如图,分别作出点P,M,N关于直线x=1的对称点, 你能发现它们坐标之间分别有什么关系吗? （图形参课件） （六）布置作业
1、课本71页2、3、5、7题。 2、练习册。 13.2 画轴对称图形 一、两点关于坐标轴对称的坐标规律。 二、例题： 教学反思：
13.3 等腰三角形（1）
精选
一、教学目标： 1、知识与技能：
①、掌握等腰三角形“等边对等角”的性质.
②、掌握等腰三角形“三线合一”的性质. ③、归纳证明两个角相等的常用方法. 2、过程与方法：
①、通过实践、观察、证明等腰三角形的性质，培养学生推理能力。
②、通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题，提高运用知识和技能解决问题的能力。 3、情感与价值观;
引导学生对图形的观察、发现、激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的信心。
二、教学重点：
等腰三角形的性质及应用。
三、教学难点：
等腰三角形的性质证明。
四、教具准备：
课件、电子白板、运程教育资源网。
五、教学程序：
（一）、创设情境 引入新知
学生都是操作，观察所得三角形的形状， （二）探究新知 培养能力
1、问题：将等腰ABC沿AD对折再展开，重复几次，观察图形 ①．图中有哪些相等的角？有哪些相等的线段？ ②．等腰ABC是不是轴对称图形？对称轴是什么？
③．等腰ABC除两腰相等外，它的角有什么性质？用语言描述等腰三角形的这条性质并给与证明。 ④．等腰ABC中，AD有几种角色？各是什么？用语言描述等腰三角形的这条性质并给与证明。 2、有关结论：
①、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. 3、学生练习：
①、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是 ；
②、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是 ；
③、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是 4、思考：等腰三角形是轴对称图形吗？
【学生讨论交流得出】等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线。 5、等腰三角形的性质
性质1 ： 等腰三角形的两个底角相等。即等边对等角.
精选
性质2 ：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
即等腰三角形三线合一
【学生通过观察、思考、描述、证明，鼓励学生善于思考、勇于发现，大胆尝试。培养学生的语言表达能力、观察能力、归纳能力、养成良好的自觉探索几何命题的习惯。】 （三）课堂练习 应用新知
判断题：1、等腰三角形的顶角一定是锐角。
2、等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以。 3、等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边。 4、等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。 5、等腰三角形底边上的中线一定平分顶角
解答题：1、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△
ABC各角的度数。
2、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30。求∠１和 ∠ADC的度数．
（四）课堂小结 归纳提高
本节课学习了等腰三角形的那些知识： 1、轴对称图形
2、两个底角相等，简称“等边对等角”
3、顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高互相重合，简称“三线合 一” 4、解决等腰三角形问题时常用的辅助线
5、学习的数学思想及方法:分类讨论和一题多解。
（五）布置作业
1、课本77页练习2、3题；81页1、2题。
板书设计 13.3 等腰三角形（1） 一、等腰三角形的性质。 三、、例题解析。 1. 等边对等角。 2.三线合一 二、证明两个角相等的常用方法。 1.全等（两个三角形） 2.等边对等角。（一个三角形） 教学反思：
13.3 等腰三角形（2）
一、教学目标：
1、知识与技能：
①、掌握并会运用“等角对等边”判定等腰三角形. ②、归纳证明两条线段相等的常用方法. 2、过程与方法：
通过推理证明等腰三角形的判定定理，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问题的能力。
精选
体会解决等腰三角形问题的常用辅助线. 3、情感与价值观;
引导学生观察、发现等腰三角形的判定方法，让学生从观察中获得成功，在这个过程中体验学习的兴趣.。
二、教学重点：
等腰三角形的判定定理。
三、教学难点：
等腰三角形判定定理的证明.。
四、教具准备：
课件、电子白板、运程教育资源网。
五、教学程序：
（一）、创设情境 复习引入 1、等腰三角形的性质是什么？
（1）等腰三角形的两个底角相等。（可以简称：等边对等角）
（2）等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合(等腰三角形三线合一) 2 、等腰三角形的对称轴是什么？
3、等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（ 简写成“三线合一” ）
①、∵AB=AC，BD=CD（已知）
∴∠BAD=∠CAD，
AD⊥BC（三线合一）
②、∵AB=AC，∠BAD=∠CAD （已知）
∴ BD=CD ，AD⊥BC（三线合一） ③、∵AB=AC， AD⊥BC （已知）
∴ BD=CD ，∠BAD=∠CAD （三线合一）
（二）探究新知 培养能力
1、探究思考：我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等。反过来，如果一
个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
如果一个三角形 有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等. 已知：⊿ABC中，∠B=∠C 求证：AB=AC 证明略
2、等腰三角形的判定：如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.
(简称为:等角对等边)
思考：等腰三角形的性质与判定有区别吗?
性质是:等边 等角 判定是:等角 等边
（三）讲解例题 发散思维
1、例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。
已知：如图，∠CAE是⊿ABC的外角，AD平分∠CAE ， AD∥BC。 求证：△ABC是等腰三角形
拓展一： 已知：∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC ，且 AD∥BC． 求证：AB=AC
拓展二：已知：∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC 求证：AB=AC
2、例3 已知等腰三角形底边长为a ，底边上的高的 长为h ，求作这个等腰三角形. 【学生通过观察、思考、动手、合作交流，培养学生的合作意识和严密的思维能力。】
精选
（四）应用新知 解决问题
A D 1、已知：如图，AD ∥BC，BD平分∠ABC。 求证：AB=AD B C 2、如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合 的部分是一个等腰三角形吗？为什么？
3、已知：如图，⊿ABC中， ∠ A=∠B=∠C 求证：AB=AC=BC
【学生通过观察、思考、证明、归纳等腰三角形的判定定理，培养学生的证明能力。体会解决等腰三角形问题的常用辅助线是作对称轴。】 （五）综合训练 拓展思维
1、如图△ABC中，AB=AC，∠B=36°，D、E分别是BC边上两点，且∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中等腰三角形有（ ）个
2、在△ABC中,已知AB≠AC ,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB.过点O作直线EF//BC交AB于E,
A交AC于F.
（1）请问图中有多少个等腰三角形?说明理由 EF0（2）线段EF和线段EB,FC之间有没有关系?若有是什么关系? BC3、已知在等腰△ABC中，∠A=36°，∠ B=72°，∠C=72°，请同学们想
一想，如何添一条线，将等腰△ABC分成两个等腰三角形？成功后，如何再添一条线，多得到一个等腰三角形？还可以继续吗？
4、动手画一画：如图,在△ABC中,AB=AC, ∠A=36°,你能把△ABC分成三个等腰三角形吗?(提供两中以上不同的作图方案)
5、在正方形ABCD内找一点P，使△PAB、△PBC、△PCD、△PAD都是等腰三角形这样的P点有几个？在正方形ABCD外呢？（图形参课件） （六）课堂小结 归纳提高
1、等腰三角形的判定定理是什么？
2、等腰三角形的判定方法有下列几种： ①定义 ②判定定理 3、等腰三角形的判定定理与性质定理的区别是条件和结论刚好相反。 4、运用等腰三角形的判定定理时， 应注意在同一个三角形中 （七）布置作业
课本82页5、6、7题。
E
A B
G
C
D
板书设计 13.3 等腰三角形（2） 一、等腰三角形的判定。 例题 例题 二、证明两条线段相等的常用方法。 1.全等 2.等角对等边。 教学后记 13.3 等边三角形（1）
精选
一、教学目标：
1、知识与技能：
①、掌握并会运用等边三角形的性质 ②、掌握并会运用等边三角形的判定.
2、过程与方法：
经过应用等边三角形的性质与判定的过程培养学生分析问题、解决问题的能力.
3、情感与价值观;
经过应用等边三角形的性质与判定的过程增强学生挑战困难的勇气，体会成功的喜悦，增强学习的信心。
二、教学重点：
等边三角形的性质和判定。
三、教学难点：
等边三角形的性质的应用.。
四、教具准备：
课件、电子白板、运程教育资源网。
五、教学程序：
（一）、创设情境 引入新知
在一次探究活动中，老师给同学们出了一道题目：“如果等腰三角形有一个角是60°，那么这个三角形的三边有什么关系？”。
小明假设底角为60°，得出了三个角都是60°，小亮假设顶角为60°，也得出了三个角都是60°，根据“等角对等边”，最后得出结论：三边都相等.
老师告诉他们“这种三条边都相等的叫做等边三角形”。小明、小亮也发表了自己的看法，小明认为“三条边都相等的三角形是等边三角形，而不是等腰三角形”；小亮认为“等边三角形也还是等腰三角形，只是比一般的等腰三角形特殊而已”.， 小明、小亮谁说的有道理呢？学完这节课就能见分晓。 （二）、合作交流 探究新知 1、观察下列图形变换：
一般三角形 等边三角形 等腰三角形
2、等边三角形定义：定义：三条边 都相等的三角形叫做等边三角形。 3、探究一：等边三角形的内角都相等吗?
性质1：等边三角形的三个内角都相等并且每一个内角都等于60。 4、探究二：等边三角形有“三线合一”的性质吗?为什么? 5、探究三：等边三角形是轴对称图形吗?有几条对称轴?
【通过观察、思考、证明、归纳，培养学生的语言表达能力、观察能力、归纳能力、养成良好的自觉探索几何命题的习惯。】 6、等边三角形的性质： (1) 、三条边相等
(2)、等边三角形的内角都相等,且等于60 °
(3)、.等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一. (4)、等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 7、思考：一个三角形满足什么条件就是等边三角形?
精选
判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
判定2：有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形。 【学生相互交流、相互讨论解决问题。】
8、学生讨论：等边三角形是一种特殊的等腰三角形，你能述说等边三角形与等腰三角形在定义，性质
和判定的异同吗? 定义 性质 判定 等 腰 有二条边 1、两个底角相等 1、定义 三 角 形 相等 2、三线合一 2、等角对等边 3、对称轴一条 等 边 有三条边 1、三个角都相等 1、定义 三 角 形 相等 2、三线合一 2、三个角都相等 3、对称轴三条 3、等腰三角形有 一个角是600
A （三）、讲解例题 拓展思维：
1、例1 如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC, 分别交AB，AC 于点D，E．
求证：△ADE 是等边三角形 E D 变式1 若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？
C B 变式2 若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然
成立吗？ （四）、课堂小结 归纳提高：
谈谈学生本节课的主要收获
1. 掌握等边三角形的性质。 2. 掌握等边三角形的判定。 （五）、发散思维 培养能力：
如图，延长ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连 接D、E、F，得到DEF为等边三角形。 求证：（1）AEF≌CDE
（2）ABC为等边三角形. （六）、布置作业
1、课本82页10、11、12题。 2、练习册
板书设计 13.3 等边三角形（1） 一、等边三角形的性质。 三、、例题解析。 二、等边三角形的判定。 四、拓展思维 教学反思：
精选
13.3 等边三角形（2）
一、教学目标：
1、知识与技能：
①、掌握含30°角的直角三角形的边角性质。 ②、了解直角三角形边角性质定理的逆定理。 ③、会用上面性质证明简单的线段倍分问题。 2、过程与方法：
通过探究30°角直角三角形的性质，增强学生对特殊直角三角形的认识，培养分析问题、解决问题的能力。 3、情感与价值观;
通过学习30°角直角三角形的性质，了解等边三角形与30°角直角三角形相互转化的事实，培养学生用发展变化的思想看问题的价值观。
二、教学重点：
含30°角的直角三角形的性质。
三、教学难点：
含30°角的直角三角形性质的推导。
四、教具准备：
课件、电子白板、运程教育资源网。
五、教学程序：
（一）、创设情境 引入新知
问题： 已知△ABC 中，∠A =60°,（ ）.请你在括号内补充一个条件，使△ABC 能成为等边
三角形.
活动： 用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？请说
说你的理由．
问题： 你能借助这个图形，找到含30°角的直角 △ABC 的直角边BC 与斜边AB 之间有什么数量
关系吗？
（二）、探究新知 培养能力
猜想： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
问题： 请说一说你猜想的命题中，条件和结论分别是什么？并结合图形，用符号语言表述出来. 思考： 这个命题是真命题吗？请进行证明．
A 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A = 30°.
求证：BC = AB． 证明：在△ABC 中，
∵ ∠C =90°，∠A =30°, ∴ ∠B =60°．
C B D 延长BC 到D，使BD =AB，连接AD，
则△ABD 是等边三角形．
【通过观察、思考、猜测、证明、归纳，培养学生的语言表达能力、观察能力、归纳能力、养成良好的自觉探索几何命题的习惯。】
【考察学生队30°角的直角三角形性质的掌握，学生体会特殊形状的三角形通过角的关系可
以转化为边的关系，同样通过边的关系也可以转化为角的关系。】
结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么 它所对的直角边等于斜边的一半. 符号语言：
∵ 在Rt△ABC 中，
∠C =90°，∠A =30°，
精选
∴ BC =
1AB 2C
（三）、课堂练习 巩固新知
练习1 如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A = 30°，AB =10，则 A BC 的长为
B C
练习2 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是 高， B ∠A =30°，AB =4．则BD = .
D
A 练习3 例题 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB
的中点，立柱BC、DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？
练习4 Rt△ABC 中，∠C =90°，∠B =2∠A，∠B 和∠A 各是多少度？边AB 与BC 之间有什么
关系？
【考察学生对30°角的直角三角形性质的掌握，学生通过画图、计算、培养学生培养学生动手能力、画图能力、分析问题、解决问题的能力。】 （四）、课堂小结 归纳提高
（1）本节课学习了哪些内容？
（2）在应用含30°角的直角三角形的性质时，能解决 哪些问题？需要注意哪些问题？ （五）、拓展思维 培养能力
1、如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F. 求证：B F = 2 C F .
2、如图所示，一艘轮船以15海里/时的速度由南向北航行，在A 处测得小岛P在北偏西15°方向上，两小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上，已知在小岛周围18海里内有暗礁，若轮船继续向前航行有无触礁的危险？ （六）、布置作业
1、课本83页13、14、15题 2、练习册
板书设计：
教思：
13.3 等边三角形（2） 一、30°角的直角三角形的边角性质： 三、拓展思维解析： 二、例题解析： 学反
精选
13.4 课题学习 最短路径问题（2课时）
一、教学目标：
1、知识与技能：
①、掌握直线同侧两点到线上一点距离和最小问题。 ②、进一步熟练求作点的对称点，线段的对称线段。 2、过程与方法：
通过对轴对称作图学习体会轴对称在现实生活中的应用。
通过利用轴对称变换把同侧点问题转化为异侧点问题体会数学的转化思想。.
3、情感与价值观;
通过対异侧点问题的探究活动，培养学生的探究问题、分析问题、解决问题的能力。
二、教学重点：
利用轴对称解决实际问题。
三、教学难点：
确定最短距离的点及理论说明。
四、教具准备：
课件、电子白板、运程教育资源网。
CA① D② ③ EB五、教学程序：
（一）、创设情境 引入新知
F问题1：如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，
你会选走哪条路最近？你的理由是什么？
问题2：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
问题3： 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他
所走的路线全程最短？
（二）、合作交流 探究新知
探究1、已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小.
练习:如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短． 探究2：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A 到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 作法：1、将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E
2、连接AE交河对岸与点M,
3、过点M作MN垂直于河岸交河岸于点N 4、连接NB
探究3:如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点
探究4：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
精选
探究5：如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
探究6：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
探究7：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
【学生分组讨论，画出不同的行走路径，再通过测量来比较哪条路径最短。】
【教师引导学生发现本题与问题2的区别与联系，并指出学生画出的路径哪条是最短。】 【通过观察、思考、合作交流，鼓励学生善于思考、勇于发现，大胆尝试，培养合作意识。】
（三）、课堂小结 归纳提高
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。
(1) 两点在一条直线同侧。 (2)一点在两相交直线内部。 (3)两点在两相交直线内部。
（三）、布置作业
练习册
板书设计
13.4 课题学习 最短路径问题 一、解决直线同侧两点到线上一点距离和 二、例题解析。 最小问题的方法及其证明方法。
教学反思
《轴对称》复习与小结（2
课时）
一、教学目标
1、知识与技能：
总结出轴对称、轴对称变换、用坐标表示轴对称、等腰三角形、等边三角形的相
关知识点；通过轴对称的特征来解决几何图形的轴对称问题。 2、过程与方法：
以小组讨论的形式对本章的知识进行系统梳理，总结出本章的知识点。 3、情感态度价值观：
体会出知识点之间的紧密联系，数学与实际生活的紧密联系。 二、教学重点
① 轴对称和等腰三角形的性质及判定。
②通过轴对称的特征来解决几何图形的轴对称问题。 三、教学难点：
通过轴对称的特征来解决几何图形的轴对称问题。
四、教具准备：
课件、电子白板、运程教育资源网。
精选
五、教学程序：
（一）、本章知识结构; （参课件） （二）、本章知识点;
1、轴对称图形的定义：
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。 折痕所在的这条直线叫做______
2、把一个图形沿着某一条直线折叠，如果 它能与另一个图形重合，那么我们就说这两个图形__________________
3、中垂线定义：经过线段的中点且与之垂直的直线就叫______
4、轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对称点的连垂直平分线分线
即：对称点的连线被对称轴垂直且平分.
3、如何利用坐标法画轴对称图形：
【只要先求出已知图形中的一些特殊点（如多边形的顶点）的对称点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形。】 4、等腰三角形的性质：
(1)等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
(2)等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高相互重合（等腰三角形三线合一） 5、等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。简写成：等角对等边 6、等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60 ° 7、等边三角形的判定：
判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
判定2：有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。
8、定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 9、如何画轴对称图形的对称轴呢？ 10、对称图形（对称点）的坐标关系； （三）、练习题： 填空题：
1. 在⊿ ABC中，已知AB=AC，且∠B=80° ，则∠C= 度，∠A= 度。
2、在⊿ABC中，已知AB=AC，且∠ A=50° ，则∠B= 度，∠C= 度.
3.在.等腰⊿ ABC中，如果AB=AC，且一个角等于70° ，求另两个角的度数为 4.在⊿ABC中，AB=5cm,BC=12cm ,DE是AC的垂直平分线，交BC于点E,⊿ABE的面积为 5、如图：点B、C、D、E、F在∠MAN的边上， ∠A=15°，AB=BC=CD＝DE=EF，求∠ MEF的度数。
6、已知：在△ABC中，AB＝AC＝2a，∠ABC＝∠ACB＝15°，CD是腰AB上的高．求：CD的长．
7、在△ ABC中∠A=60 °AB=AC，点D是AC的中点CE=CD。 求证：（1）BD=DE.
A （2）若DFBC于点F，则BF与EF有何关系？
8、如图，P、Q是△ABC边上的两点，BP=PQ=QC=AP=AQ， 求∠BAC的度数。 C B Q P
9、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°， 点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，过点B 作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF，
精选
（1）求证：AD ⊥CF
（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由。
10如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线。
EA求证：BE=BD。
BDC
11、如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC
于点F，DF=EF，BD=CE。
DA求证：△ABC是等腰三角形。（过D作DG∥AC交BC于G）
12、如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将△BCD 绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED．若BC=10，BD=9，求 △AED的周长。
（四）、讲评练习册和长江作业中的问题： （五）、本章测试
BCFE精选
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