几何证明选讲(二)

(二)直线与圆的位置关系

导学目标：1.理解圆周角定理，弦切角定理及其推论；2.理解圆的切线的判定及性质定理；3.理解相交弦定理，割线定理，切割线定理；4.理解圆内接四边形的性质定理及判定．

自主梳理

1．圆周角、弦切角及圆心角定理

(1)__________的度数等于其的对______的度数的一半．

推论1：________(或________)所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角__________相等．

推论2：半圆(或直径)所对的__________等于90°.反之，90°的圆周角所对的弧是________(或__________)．

(2)弦切角的度数等于其所夹孤的度数的____． (3)圆心角的度数等于它所对弧的度数． 2．圆中比例线段有关定理

(1)相交弦定理：______的两条____________，每条弦被交点分成的____________的积相等．

(2)切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的____________．

(3)割线定理：从圆外一点引圆的两条________，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．

温馨提示 相交弦定理，切割线定理，割线定理揭示了与圆有关的线段间的比例关系，在与圆有关的比例线段问题的证明、计算以及证明线段或角相等等问题中应用甚广．

3．切线长定理

从________一点引圆的两条切线，__________相等． 4．圆内接四边形的性质与判定定理

(1)性质定理：圆内接四边形的对角________．

推论：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内角的________． (2)判定定理：如果四边形的__________，则四边形内接于____．

推论：如果四边形的一个外角等于它的____________，那么这个四边形的四个顶点________．

5．圆的切线的性质及判定定理

(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的________．

推论1：经过________且________与垂直的直线必经过切点．

推论2：经过________且切线与垂直的直线必经过______________________________． (2)判定定理：过半径________且与这条半径________的直线是圆的切线． 自我检测

1．如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，D是AB上一点，且AD＝2DB，以D为圆心，DB为半径的圆与AC相切，则sinA＝________.

2．(2010·南京模拟)如图，AB是圆O的直径，EF切圆O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC长为________．

3．(2011·湖南)如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．

4．如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于点D，若AD＝32，CD＝18，则AB＝________.

5．(2010·揭阳模拟)如图，已知P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，PF＝12，PD＝43，则圆O的半径长为________、∠EFD的度数为________.

探究点一 与圆有关的等角、等弧、等弦的判定

1

例1如图，⊙O的两条弦AC，BD互相垂直，OE⊥AB，垂足为点E.求证：OE＝CD.

2

变式迁移1在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆O交BC于

1

点N；若AC＝AB，求证：BN＝3MN.

3

探究点二 四点共圆的判定

例2如图，四边形ABCD中，AB、DC的延长线交于点E，AD，BC的延长线交于点F，∠AED，∠AFB的角平分线交于点M，且EM⊥FM.求证：四边形ABCD内接于圆．

变式迁移2如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．

(1)证明：A，P，O，M四点共圆； (2)求∠OAM＋∠APM的大小．

探究点三 与圆有关的比例线段的证明

例3如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B，C，∠APC的角平分线分别与AB，AC相交于点D，E，求证：

(1)AD＝AE； (2)AD2＝DB·EC.

变式迁移3(2010·全国)

，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：如图，已知圆上的弧 AC＝BD(1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE×CD.

1．圆周角定理与圆心角定理在证明角相等时有较普遍的应用，尤其是利用定理进行等角代换与传递．

2．要注意一些常用的添加辅助线的方法，若证明直线与圆相切，则连结直线与圆的公

共点和圆心证垂直；遇到直径时，一般要引直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角是直角解决有关问题．

3．判断两线段是否相等，除一般方法(通过三角形全等)外，也可用等线段代换，或用圆心角定理及其推论证明． 4．证明多点共圆的常用方法：

(1)证明几个点与某个定点距离相等；

(2)如果某两点在某条线段的同旁，证明这两点对这条线段的张角相等； (3)证明凸四边形内对角互补(或外角等于它的内角的对角)．

5．圆中比例线段有关定理常与圆周角、弦切角联合应用，要注意在题中找相等的角，找相似三角形，从而得到线段的比．

(满分：75分)

一、填空题(每小题5分，共40分)

1．如图，已知AB，CD是⊙O的两条弦，且AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分

，②∠AOB＝∠COD，③OE＝OF，④中，正确别是E，F，则结论①AB＝CDAD＝BC的有________个．

2．(2010·湖南)如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A、B两点．已知PA＝2，点P到⊙O的切线长PT＝4，则弦AB的长为________．

3．(2010·陕西)

如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm,4cm，以AC为直径的圆

BD

与AB交于点D，则＝________.

DA

4．(2009·广东)如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积为________．

5．已知PA是圆O的切线，切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB＝1，则圆O的半径R＝________.

6．如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD＝27，

AB＝3.则BD的长为________．

7．(2011·天津)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．

8．(2010·天津)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.PB1PC1BC

若＝，＝，则的值为________． PA2PD3AD

二、解答题(共35分)

9．(11分)如图，三角形ABC中，AB＝AC，⊙O经过点A，与BC相切于B，与AC相交于D，若AD＝CD＝1，求⊙O的半径r.

10．(12分)(2009·江苏)如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD.

11．(12分)(2011·江苏)如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值．

学案74 几何证明选讲

(二)直线与圆的位置关系

自主梳理

1．(1)圆周角 弧 同弧 等弧 所对的弧 圆周角 半圆 弦为直径 (2)一半 2.(1)圆 相交弦 两条线段长

(2)等比中项 (3)割线 3.圆外 切线长 4.(1)互补 对角 (2)对角互补 圆 内角的对角 共圆

5．(1)半径 圆心 切线 切点 圆心 (2)外端 垂直 自我检测 11. 2

解析 设切点为T，则DT⊥AC，AD＝2DB＝2DT，

1

∴∠A＝30°，sinA＝.

2

2．23

解析 连接CB，则∠DCA＝∠CBA，

又∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴△ADC∽△ACB. ADAC∴＝. ACAB∴AC2＝AB·AD＝2×6＝12. ∴AC＝23. 233. 3

解析 如图，连接CE，AO，AB.根据A，E是半圆周上的两个三等分点，BC为直径，可得∠CEB＝90°，∠CBE＝30°，∠AOB＝60°，故△AOB为等边三角形，AD＝3，OD＝

BD＝1，∴DF＝

323，∴AF＝AD－DF＝. 33

4．40

解析 如图，连接BD，则BD⊥AC，由射影定理知，

AB＝AD·AC＝32×50＝1600，故AB＝40. 5．4 30°

解析 由切割线定理得PD2＝PE·PF，

2

PD16×3

∴PE＝＝＝4，∴EF＝8，OD＝4.

PF12

1

又∵OD⊥PD，OD＝PO，∠P＝30°，

2

∠POD＝60°＝2∠EFD，∴∠EFD＝30°. 课堂活动区

例1解题导引 (1)借用等弦或等弧所对圆周角相等，所对的圆心角相等，进行角的等量代换；同时也可借在同圆或等圆中，相等的圆周角(或圆心角)所对的弧相等，进行弧(或弦)的等量代换．

(2)本题的证法是证明一条线段等于另一条线段的一半的常用方法．

2

证明 作直径AF，连接BF，CF，则∠ABF＝∠ACF＝90°. 又OE⊥AB，O为AF的中点，

1

则OE＝BF. 2

∵AC⊥BD，

∴∠DBC＋∠ACB＝90°，

又∵AF为直径，∠BAF＋∠BFA＝90°， ∵∠AFB＝∠ACB，

∴∠DBC＝∠BAF，即有CD＝BF.

1

从而得OE＝CD. 2

变式迁移1证明 ∵CM是∠ACB的平分线， ACBC∴＝， AMBM

BM

即BC＝AC·，

AM

又由割线定理得BM·BA＝BN·BC，

BM

∴BN·AC·＝BM·BA，

AM1

又∵AC＝AB，∴BN＝3AM，

3

∵在圆O内∠ACM＝∠MCN， ∴AM＝MN，∴BN＝3MN.

例2解题导引 证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．

证明 连接EF，

因为EM是∠AEC的角平分线， 所以∠FEC＋∠FEA＝2∠FEM. 同理，∠EFC＋∠EFA＝2∠EFM. 而∠BCD＋∠BAD＝∠ECF＋∠BAD ＝(180°－∠FEC－∠EFC)＋(180°－∠FEA－∠EFA) ＝360°－2(∠FEM＋∠EFM) ＝360°－2(180°－∠EMF)＝2∠EMF＝180°， 即∠BCD与∠BAD互补． 所以四边形ABCD内接于圆．

变式迁移2 (1)证明 连接OP，OM， 因为AP与⊙O相切于点P， 所以OP⊥AP.

因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC. 于是∠OPA＋∠OMA＝180°，

由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补， 所以A，P，O，M四点共圆．

(2)解 由(1)得A，P，O，M四点共圆， 所以∠OAM＝∠OPM. 由(1)得OP⊥AP.

由圆心O在∠PAC的内部， 可知∠OPM＋∠APM＝90°， 所以∠OAM＋∠APM＝90°.

例3解题导引 寻找适当的相似三角形，把几条要证的线段集中到这些相似三角形中，再用圆中角、与圆有关的比例线段的定理找到需要的比例式，使问题得证．

证明 (1)∠AED＝∠EPC＋∠C，∠ADE＝∠APD＋∠PAB.

因PE是∠APC的角平分线，故∠EPC＝∠APD，PA是⊙O的切线，故∠C＝∠PAB. 所以∠AED＝∠ADE.故AD＝AE.

∠PCE＝∠PADECPC

⇒△PCE∽△PAD⇒(2)＝；

ADPA∠CPE＝∠APD

∠PEA＝∠PDBAEPA

⇒△PAE∽△PBD⇒＝.

DBPB∠APE＝∠BPD

PAPC

又PA是切线，PBC是割线⇒PA2＝PB·PC⇒＝.

PBPA

ECAE

故＝，又AD＝AE，故AD2＝DB·EC. ADDB

，所以∠BCD＝∠ABC. 变式迁移3证明 (1)因为AC＝BD又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC， 所以∠ACE＝∠BCD.

(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，

BCCD

所以△BDC∽△ECB，故＝，即BC2＝BE×CD.

BEBC

课后练习区 1．4

解析 ∵在同圆或等圆中，等弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对弦心距相等，，得，∴④正确． 故①②③成立，又由AB＝CDAD＝BC2．6

解析 连接BT，由切割线定理， 得PT2＝PA·PB，

所以PB＝8，故AB＝6. 163. 9

ADACAD3916BD16解析 ＝⇒＝⇒AD＝⇒BD＝(cm)，＝.

ACAB3555DA9

4．8π

解析 连接OA，OB， ∵∠BCA＝45°， ∴∠AOB＝90°.

设圆O的半径为R，在Rt△AOB中，R2＋R2＝AB2＝16，∴R2＝8.

∴圆O的面积为8π.

5.3

解析 如图，依题意，AO⊥PA，AB⊥PC，PA＝2，PB＝1，∠P＝60°， 在Rt△CAP中，有2OA＝2R＝2tan60°＝23， ∴R＝3. 6．4

解析 由切割线定理得：DB·DA＝DC2，即DB(DB＋BA)＝DC2，∴DB2＋3DB－28＝0，∴DB＝4.

77. 2

解析 设BE＝a，则AF＝4a，FB＝2a.

1

∵AF·FB＝DF·FC，∴8a2＝2，∴a＝，

2

17

∴AF＝2，FB＝1，BE＝，∴AE＝.

22

177

又∵CE为圆的切线，∴CE2＝EB·EA＝×＝. 224

7

∴CE＝.

268. 6

解析 ∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，

PBPCBC

∴△PCB∽△PAD.∴＝＝. PDPAAD

PB1PC1BC6∵＝，＝，∴＝. PA2PD3AD69.

解 过B点作BE∥AC交圆于点E，连接AE，BO并延长交AE于F， 由题意∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，(2分)

又BE∥AC，∴∠CAB＝∠ABE，则AB＝AC知，∠ABC＝∠ACB＝∠AEB＝∠BAE，(4分)

则AE∥BC，四边形ACBE为平行四边形． ∴BF⊥AE.又BC2＝CD×AC＝2，

14∴BC＝2，BF＝AB2－AF2＝.(8分)

2

14，x＋r＝2

设OF＝x，则

2x＋2＝r，

2

2

2

214

解得r＝.(11分)

7

10．证明 由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA，(3分) 故A、B、C、D四点共圆，(5分) 从而∠CAB＝∠CDB.(7分)

再由△ABC≌△BAD得∠CAB＝∠DBA， 因此∠DBA＝∠CDB，(10分) 所以AB∥CD.(12分) 11.

证明 如图，连接AO1并延长，分别交两圆于点E和点D.连接BD，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．(5分)

π

从而∠ABD＝∠ACE＝.(7分)

2

ABAD2r1r1

所以BD∥CE，于是＝＝＝.(10分)

ACAE2r2r2

所以AB∶AC为定值．(12分)