为了便于进行周期信号的分析与处理，常要把复杂的周期信号进行分解，即将周期信号分解为正余弦等此类基本信号的线性组合，通过对这些基本信号单元在时域和频域特性的分析来达到了解信号特性的目的。本文主要阐述了傅立叶级数的推演过程，从而得出周期信号的分解与合成的基本原理。
1 绪论
研究信号是为了对信号进行处理和分析，信号处理是对信号进行某些加工或变换，目的是提取有用的部分，去掉多余的部分，滤除各种干扰和噪声，或将信号进行转化,便于分析和识别。信号的特性可以从时间特性和频率特性两方面进行描述，并且信号可以用函数解析式表示（有时域的,频域的及变化域的），也可用波形或频谱表示.
系统分析的主要任务是分析系统对指定激励所产生的影响.其分析过程主要包括建立系统模型，根据模型建立系统的方程，求解出系统的响应,必要时对解得的结果给出物理解释。系统分析是系统综合与系统诊断的基础。
任何满足狄里赫利条件的周期信号都是由各种不同频率、幅度和初相的正弦波叠加而成的.对周期信号由它的傅立叶级数展开式可知，各次谐波为基波频率的整数倍。而非周期信号包括了从零到无穷大的所有频率成分，每一个频率成分的幅度均趋向无穷小，但其相对大小式不同的.
信号的分解与合成
周期信号的信号分解与合成
设有周期信号
，它的周期为T,角频率
，则
的三角傅里叶
级数表示的一般形式为
(2。2—1）
其中
可以写成更紧凑的和式为:
- 1 -
式（2.2—1）中的系数的分量(相对大小）；
为
、
称为傅里叶系数，
为
在函数
中
在函数中的分量，它可由式（2。1-7）求
得。为简便，式（2.1-7）的积分区间取为或.考虑到
正、余弦函数的正交条件(2.1-3），由式（2。1—7），可得傅立叶系数
（2。2—2）
周期信号也可分解为一系列余弦信号，即：
其中
方波信号的分解与合成
现以周期为T、幅值为1的方波信号为例 方波信号的分解与合成【12】 由式（2）可得
- 2 -
图1 周期为T的方波图
考虑到
，可得
将它们代入（1）式,可得图1所示的方波信号的傅立叶级数展开式为
它只含一、三、五、等奇次谐波分量。
方波信号的分解仿真 由周期T=1为例:
图2为周期为T=1的方波信号，经傅立叶级数分解以后而得到的基波到七次谐波的仿真图,左上角为基波图，它是一个非常正规的正弦波，幅值在1到1。5之间，要高于原方波的幅值。而且它的角频率与原方波信号相同。右上角为三次谐波图，其也是正弦波，明显，其幅值降到了0。5以下，但是三次谐波的频率是基波的1.5倍.其它图形依次为五次谐波，七次谐波。
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图2 周期为T=1方波信号的分解图
方波信号的合成仿真
图3为方波信号分解以后取有限次谐波的合成波形。左上方图是单独的基波，是正弦波,波身较为平滑，波峰和波谷尖锐。右上方是基波和三次谐波叠加而成的波,大体仍是正弦的形式，但是波身已经比单独的基波较为陡峭，波峰和波谷出现波动,已经趋向方波，有了方波的雏形。以下依次叠加起五次谐波，七次谐波的波形。
- 4 -
图3 周期为T=1方波信号的合成图
图4 偶次谐波与奇次谐波的对比
由图4可以看出，由于原方波信号经傅立叶级数分解后，偶次谐波不存在，所以在图中只能观察到奇次谐波.
- 5 -
方波信号的频谱图
图5 方波信号的频谱图
图5为周期信号的频谱图，在频谱图中,之间,6、7、
方波信号的误差分析
=1时，信号的幅值在1.2到1.4
=4、5、
=2时，信号的幅值为0，=3时,幅值在0.2到0.4之间， 时，幅值有起伏，但总体趋势是呈下降趋势。
方波信号的误差分析
表3—1 方波信号前七项合成的误差分析
前N之和 基波 基波+三次谐波 基波+三次谐基波+三次谐波+五次谐波 波+五次谐波+七次谐波 en(t） 0。9980 0。9960 0。9940 0。9920
- 6 -
图6 方波的误差分析图
由图6和表3-1知道，在信号合成时，其叠加的谐波次数越多，将产生的误差值将越小，说明,合成波形越加的向原三角波形靠近.
三角波信号的分解与合成
现以周期为T、幅值为1的三角波信号如图7进行信号分解与合成仿真为例
三角波的分解与合成【
以周期T=2的三角波为例：
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图10 三角信号与分解的前次谐波分解的对比图
图10为三角信号的分解图，左上角是分解后基波的图形，它的幅值接近0。5，而周期和原三角波的周期一样,是1。右上角是分解后的三次谐波的图形，其幅值接近于0。05，周期也减小，在0。3到0.4之间.后两幅分别为五次谐波和七次谐波分解出来的图形，明显它们的幅值依次减小，周期也依次减小.
3。2.3 三角信号的合成仿真
图11为三角波形分解合成的图形，左上角是单独基波的图形，明显，它是一个余弦波，周期是2,波峰和波谷比较平滑，右上角是基波与三次谐波叠加以后的波形，这时已经有了三角波的雏形,波峰和波谷已经明显的尖锐了。图12分别为基波
到五次谐波的叠加和基波到七次谐波的叠加,它们已经逐渐形成了三角波形,波峰和波谷更加尖锐。
图13分别为三角波奇次谐波与偶次谐波合成波形。可以看出,由于三角波信号经傅立叶级数分解后，偶次谐波不存在，所以在图中只能观察到奇次谐波。
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图11 周期三角信号的合成图
图12 周期三角信号与前七次谐波叠加的对比图
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图13 奇次谐波与偶次谐波叠加的对比图
3。2.4 三角信号的频谱
图14 三角信号的频谱图
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图14为周期三角信号的频谱图，在频谱图中，0。4到0.45之间，=2时，信号的幅值为0，间，
=4、5、6、7、
=1时，信号的幅值在
=3时，幅值在0。05到0.1之
时，幅值有起伏，但总体趋势是呈下降趋势
3.3结论
一、周期信号的频谱图有以下特点: （1）离散性。频谱图中的变量为
,由于n只能是整数（单边频谱中是
，所以周期
正整数），因而谱线是离散的而非连续的，谱线的间隔是信号的频谱是离散频谱。
(2）谐波性。由于n只取整数，因而谱线在频谱轴上的位置是基频倍。
的整数
（3）收敛性。幅度谱中各谱线的高度尽管不一定岁随谐波次数的增高作单调的减小，中间有可能有起伏，但总的趋势是随n的增高而减小的，当n为时，高度趋于零。
二、任何周期信号都可以由一系列的正弦（或余弦)波组成,随着谐波次数的增大，谐波的幅值越来越小,频率越来越大。
三、合成波形所包含的谐波分量越多时，除间断点附近外，它越接近与原波形信号。在间断点附近,随着所含有的谐波次数的增加，合成波形的波身越陡峭，波峰越靠近间断点,但尖峰幅度并未明显减小。在傅立叶级数的项数取得很大时，间断点出尖峰下的面积非常小以趋近于零，因而在均方的意义上合成波形同原波形的真值之间没有区别。
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