第２９卷第２期 ２０１３年２月 科技通报 ＢＵＬＬＥＴＩＮ ＯＦ ＳＣＩＥＮＣＥ ＡＮＤ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ Ｖｏ１．２９ Ｎｏ．２ Ｆｅｂ．２０ｌ３ 牛顿环实验的误差理论分析及控制 黄兴奎 （荆楚理工学院数理学院，湖北荆门４４８０００） 摘要：为克服传统物理实验比较盲目的缺陷，以牛顿环实验为例，预先进行不确定度分析和误差来源 分析，改进后的实验进程减小了实验误差，提高了测量精度，也能方便地引入设计性和探究性元素，以 达到不同的实验目的。 关键词：牛顿环实验；不确定度分析；误差来源分析；误差控制 中图分类号：０４３６．１；Ｏ４—３３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００１—７１１９（２０１３）０２—００１０—０３ Ｔｈｅ Ｅｒｒｏｒ Ｔｈｅｏｒｙ Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ Ｎｅｗｔｏｎ Ｒｉｎｇ Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ Ｈｕａｎｇ Ｘｉｎｇｋｕｉ ｆＳｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｊｉｎｇｃｈｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｊｉｎｇｍｅｎ ４ｄ４８０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｎｅｗｔｏｎ Ｒｉｎｇ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ａｓ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｔｏ ｏｖｅｒｃｏｍｅ ｂｌｉｎｄ ｄｅｆｅｃｔｓ ｏｆ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ， ｔｈｅ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ｄｅｇｒｅｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｅｒｒｏｒ ｓｏｕｒｃｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｒｅ ｂｅ ｔａｋｅｎ ｔｏ ａｄｖａｎｃｅ ｔｏ ｔｈｅ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｐｒｅｖｉｅｗ ｓｔａｇｅ，ｔｈｅ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｐｒｏｃｅｓｓ ｒｅｄｕｃｅｓ ｔｈｅ ｅｒｒｏｒ ａｎｄ ｉｍｐｒｏｖｅｓ ｔｈｅ ｍｅａｓｕｒｉｎｇ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ，ａｌｓｏ ｃａｎ ｅａｓｉｌｙ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ｄｅｓｉｇｎ— ｉｎｇ ａｎｄ ｅｘｐｌｏｒｉｎｇ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ａｃｈｉｅｖｅ ｄｉｆｅｒｅｎｔ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｐｕｒｐｏｓｅｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｎｅｗｔｏｎ ｒｉｎｇ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ；ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ｄｅｇｒｅｅ ａｎａｌｙｓｉｓ；ｅｒｒｏｒ ｓｏｕｒｃｅ ａｎａｌｙｓｉｓ；ｅｒｒｏｒ ｃｏｎｔｒｏｌ ０ 引言 牛顿环实验是大学物理实验中的一个基本实验， 完成实验比较容易，但实验结果往往不如人意，相对误 差常达到５％左右。这种现象应该引起实验者的反思， 入研究，分析实验中可能产生哪些误差，并研究如何减 小和消除误差。实验者应通过方案的选择、参数的设 计、器具的校准、条件的控制和测量结果的修正等方 式，尽量消除已定系统误差，减小未定系统误差Ｉｌ１。随机 误差则通过统计方法来处理。 必须重新审视实验全过程，提高对实验结果的预测能 力，才能得到比较可靠和精确的结果。 传统实验分为准备、操作、总结３个环节。实验总结 时才计算测量值的不确定度，才对测量精度进行数量 级估计，而在实验准备时不对误差进行理论分析，操作 过程中不对误差进行控制，既不知道在实验给定的条 件下测量的精度和相对误差应该在什么范围内，也不 知道测量的结果是否达到了实验的要求。如果测量结 １ 牛顿环实验的不确定度分析和误 差来源分析 不确定度分析是为了计算不确定度和估计测量精 度的数量级；误差来源分析是探讨可能引起误差的所有 因素，思考如何消除各种误差并找到相应的解决办法。 １．１测量平凸透镜半径的不确定度分析 由逐差法求得透镜半径 ＝ 二 ｜＾ 果不符合要求，只能被动地分析原因并重做实验，既浪 费了时间，又达不到培养科学实验素养的目的。 为克服传统实验的上述弊端，就要预先分析间接 测量值的不确定度，确定测量值相对误差的大致范围， 明确实验目标；还要通过对实验原理和实验内容的深 收稿日期：２０１２—０６—１９ ，Ｄ 、 为第 斗＼ｍ－ｎ ｍ，几个暗环直径且相互独立，Ａ为钠黄光的波长，透镜 曲率半径的标准不确定度为１２］： ）： ２２／３２…Ｕ２（ ）＋（Ｄ ＋Ｄ＝ 基金项目：湖北省教育科学“十一五”规划课题（２０１０Ｂ０８２）。 作者简介：黄兴奎（１９６７一），男，土家族，湖北省恩施市人，硕士，副教授，主要从事大学物理和大学物理实验教学研究。 第２期 黄兴奎．牛顿环实验的误差理论分析及控制 径， 表示叉丝实际移动的距离（即第ｉ个暗条纹直径）。 此时，此时Ｄ Ｌ 一Ｄ２ ＿Ｌ ２一 无叉丝原因弓Ｉ起的误差。 ２）叉丝交点不通过圆心 如图１所示，横线平行于标尺但叉丝交点不通过暗 斑中心，此时图中Ｄｉ、Ｒ 分别表示第ｉ个暗条纹直径和半 径，Ｌ 表示叉丝实际移动的距离（实际测量的是弦长），ｄ 表示叉丝横线与其平行直径的间距，由几何关系，则有： 图１叉丝平行但交点不通过圆心 Ｆｉｇ．１ Ｆｏｒｋ ｓｉｌｋ ｐａｒａｌｌｅｌ ｂｕｔ ｔｈｅ Ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ ｎｏｔ ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｃｅｎｔｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｉｒｃｌｅ 图３叉丝不平但交点通过圆心 Ｆｉｇ．３ Ｆｏｒｋ ｓｉｌｋ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｐａｒａｌｔｅｌ ａｎｄ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ ｎｏｔ ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｃｅｎｔｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｉｒｃｌｅ ＝ …２ …２一 ２ 本实验中，取ｍ—ｎ＝８，则“ （ ）＝０．６４、／ ，实验开 始时先测量几组的数值Ｄ ，Ｄ 代人上式即可估计不确 定度的大致数值。设 ０为平凸透镜曲率半径的标称值， 相对误差与 ／３［Ｏ 应为同一数量级。如果测量精度与 此相差太多，就应及时分析原因并重新测量。 １．２牛顿环实验的误差来源分析 １．２．１条纹的定位精度 判断叉丝竖线是否与条纹相切，取决于操作人员 的经验与操作水平，属于系统误差中的人员误差，一般 认为定位误差在条纹宽度的１／５至１／１０，可以通过对多 级条纹的数据进行逐差法处理以减小定位精度对结果 的影响ｆ３】。 １．２．２叉丝横线与标尺平行 １）叉丝交点通过暗斑中心（圆心） 为实验调节的理想状态。设 表示第 个暗条纹直 Ｒ￣＝（Ｄ／２） ＝（ ／２） ＋ ： ＋４ ～ －Ｌ２ 一 可见，只要横线平行于标尺，无论叉丝交点是否通 过圆心，都不存在因叉丝位置而带来的误差。实验中正 是由于暗斑中心难以确定，才采取了测暗条纹直径而 不是测半径的方法。根据上述分析，实验时只要调节叉 丝横线与标尺平行、交点大致对准暗斑中心即可，不必 试图让叉丝交点精确对准暗斑中心。 １．２．３叉丝横线与标尺不平行 （１）叉丝交点通过圆心。 如图２所示，叉丝移动方向与标尺方向成ａ角， 仍 为标尺移动的距离，但并不是弦长。显然： Ｄ ＝Ｌ￣ｃｏｓａ Ｄ２ Ｌ２ ｕｓ２ｎ ～ ＝（ 一 ：）ｃｏｓＺａ 此时测量值与实际值并不相等，误差大小取决于ａ 的大小。 （２）叉丝交点不通过圆心 如图３所示， 表示叉丝移动的距离 ，厶意义同前， 为叉丝横线移动方向与标尺方向之间的夹角。此时： Ｈ ＝Ｌ，ｃｏｓ卢 ＝ ｃｏｓ 一爿 ＝（ 一 ：）ｃｏｓ￣ 图中 与 （弦长）平行，则有： Ｄ：一Ｄ：＝ — 一 ＝ 一 ＝（ ２一 ２）ｃｏｓｊＢ 此时误差大小取决于 的大小。 综合１）、２）两点，只要叉丝横线与标尺不平行，用实 际测量值厶代替 ，必然带来测量误差，当然这种误差 从理论上来说是可以修正的，前提是能准确地测量减 ，但精确测量夹角的难度往往大于调节叉丝横线平行 于标尺的难度，即便能对结果进行修正，其效果也不理 想。因此实验调节的重点应放在如何调平叉丝横线上。 ２实验结果及讨论 经过分析，实验前已经明确实验测量值的精度和 误差的主要来源，测量数据之前应重点调节叉丝横线 与标尺平行，先通过目测大致确定叉丝横线的位置，再 ｌ２ 科技通报 第２８卷 微调横线位置使之与标尺较精确地平行。在工作台面 上放置与标尺平行的钢直尺，通过平移钢直尺同时调 在此基础上，可以将设计性元素引入实验。如测量 重力加速度是一个典型的基础型实验，很容易改造成 设计型实验，具体要求如下：（１）测定本地区重力加速 节读数显微镜使叉丝横线与钢直尺边缘恰好重合，左 右移动测微鼓轮，仔细判断叉丝竖线与钢直尺刻度线 度值，测量结果至少有３位有效数字，并要求百分误差 小于ｌ％；（２）自行设计方案，选择实验室提供的仪器 （提供仪器及相关参数清单），完成实验要求；（３）试比 较各种实验测量方法的优缺点。讨论各种实验测量方 法中，哪些可测得精确？哪些不易测准，并说明如何减 小或消除影响精确测量的各种因素等。自行设计实验 方案并分析设计原理的可行性和误差要求的可行性。 是否能重合，通过多次微调，尽可能地保持叉丝横线与 标尺平行，以避免叉丝横线不平带来的误差。实测数据 如表１所示，数据处理采用逐差法既简单又能得到较理 想的结果 。 瓣２ ２＝１６．２７７ ｍｍ２，Ｄ一ｍ＝６．０２３ ｍｍ，．Ｄ一＝４．４５７ ｍｉｌｌ Ｒ：＿（ ２ ２ｕｃ（Ｒ）＝Ｏ．６４＼ ７．４９３＝４．８ ｍｍ ＝＝ １ ６．２丽７７＝８６３１ ｍｍ ．进一步引入一些值得研究的问题可将实验拓展成 ＝０．６４＂Ｘ／６．Ｏ２３２＋４．４５７ｚ＝０．６４ｘ 为探究型实验，如用单摆法测重力加速度时，可进一步 研究周期与摆角、摆球大小、空气阻力等因素之间的关 系 （８６３．１＋４．８）ｒａｍ Ｒｏ＝８５５．１ ｍｍ 绝对误差ＡＲ＝Ｒ—Ｒｏ７－－８６３．．１—８５５．１＝８．０ ｍｌ／ｌ ，，…￣ｔ Ｅ．．Ｒ虬－Ｒｏ一＝ ＝Ｏ．９４％。 ３结论 以牛顿环实验为例，预先研究间接测量值的不确 定度和误差来源，促使实验者在实验过程中由被动变 为主动，实验效果也从碰运气的低水平提升到可以预 见的较高水平，对同类型实验的误差分析和误差控制 具有参考价值，也为基础型实验向设计型和探究型实 验自然过渡准备必要的条件。 ｃ＿ｌ 器ＪＩ ＝Ｊ Ｉ器ｌ可ｌ ＝ ８．０＝１ ３√ 实验测量达到了预期的目的捌。 实验成功的原因主要有：实验前运用实验理论深 入分析测量值的不确定度和误差来源，争取了实验的 主动；实验中能迅速分析判断数据的精度是否符合要 求，如有不妥能及时分析原因并作出调整；实验后的总 结能够有的放矢，切中要害。 此例的方法对任何间接测量物理量的实验具有普 参考文献： ［１］ 钱锋，潘人培．大学物理实验（修订版）［ＭＩ．北京：高等教 育出版社，２００５：２１０—２１５． 遍意义，如物体密度的测定、液体表面张力的测定、转 动惯量的测定、材料弹性模量的测定、重力加速度的测 ［２】 何禧佳．牛顿环实验标准不确定度的２种简化计算【Ｊ］＿云 南大学学报：自然科学版，２００８，３２（￥２）：３４４—３４５． 定等，这类实验在基础物理实验中占有相当大的比例。 采用本例的方式，养成在每次实验前分析误差来源和 初步估计不确定度的良好习惯，一方面有助于突破不 确定度这个理论难点，提高对实验结果的预测能力；另 一【３１ 周希尚，杨之昌．牛顿环实验综述［Ｊ】＿物理实验，１９９３，１３ （２）：６７—６８． 【４】 候秀梅．牛顿环实验中数据处理方法及结果的评价ＩＪ１ ＿物理实验，１９９７，１７（３）：１１４—１１６． 【５］ 杨述武，赵立竹．做实验的主人——写给学习物理实验 的学生『ＪＩ＿物理实验，２００６，２６（６）：２３—２４． 方面，通过误差来源的预分析和制定消除措施，可以 有效地提高科学实验的能力，培养良好的科学实验素 养。