例说求函数的最大值和最小值的方法

例说求函数的最大值和最小值的方法

例1.设x是正实数，求函数

yx2x3x的最小值。

解：先估计y的下界。

y(x22x1)3(x1x2)5(x1)23(x1)2x55

又当x=1时，y=5，所以y的最小值为5。

说明 本题是利用“配方法”先求出y的下界，然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。是必不可少的，否则就不一定对了。例如，本题我们也可以这样估计：

y(x22x1)3(x1x2)7(x1)23(x1x)277

但y是取不到7的。即7不能作为y的最小值。

x2例2. 求函数

y2x32x22x1的最大值和最小值。 “举例”数学驿站 http://www.maths168.com

解 去分母、整理得：(2y1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0.

12时，这是一个关于x的二次方程，因为x、y均为实数，所以

当

y=[2(y+1)]24(2y1)(y+3)0, y2+3y-40,

所以 4y1

13时，y=4;x=2时，y=1.所以ymin=4，ymax=1.

又当

x说明 本题求是最值的方法叫做判别式法。

例3.求函数y2x5x1，x[0,1]的最大值

解：设x1tt[1,2]，则x=t21

y= 2(t21)+5t= 2t2+5t+1

5933,即x16时取最大值8 原函数当t=4例4求函数

yx13,x22x2x52的最小值和最大值

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1t12解：令x1=t ()

ytt241t4t

则

21,ymax5 ymin=17例5.已知实数x,y满足1x2+y24,求f(x)=x2+xy+y2的最小值和最大值

12(xy2)2

解：∵

xy∴

f(x,y)x2y2xy32(x2y2)6

又当xy2时f(x,y)=6，故f(x,y)max=6

1xy(x2y2)2又因为

∴

f(x,y)x2y2xy121(xy2)22

又当

x2211,y22时f(x,y)=2，故f(x,y)min=2

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x4x25y22(x1)例6.求函数的最大值和最小值

解：原函数即

y511222(x1)x1

令

t1x21 (019∴当x=3时，函数有最小值20，当x=0时，函数取最大值5

例7.求函数

f(x)|111[]|xx2的最大值

1111[]n,{}x2解：设x2，则

11n||2 f(x)=x|121由于 0<1,故f(x)2，又当x=2k1 (k为整数)时f(x)= 2,

1故f(x)max=2

4242yx3x6x13xx1的最大值 例8.求函数

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222222f(x)(x3)(x2)(x0)(x1)解：原函数即

在直角坐标系中，设点P(x,x2),A(3,2),B(0,1)，则

f(x)=|PA||PB||AB|=10

又当

x3716时，f(x)= 10

故f max (x) = 10

例9.设a是实数,求二次函数y=x24ax+5a23a的最小值m，当0a24a210中变动时，求m的最大值

解：y=x24ax+5a23a=(x2a)2+a23a

由0a24a210解得：2a26或26a6

故当a=6时，m取最大值18

xy(,)例10.已知函数f(x)=log2(x+1)，并且当点(x,y)在y=f(x)的图象上运动时，点32在y=g(x)的图象上

运动，求函数p(x)=g(x)f(x)的最大值。

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xyyx(,)g()3故 解 因为点(x,y)在y=f(x)的图象上，所以y=log2(x+1)。点32在y=g(x)的图象上，所以2x1g()log(x1),321g(x)log2(3x1)2

113x1log2(3x1)log2(x1)log222(x1)2

p(x)g(x)f(x)令

u3x13(x1)22313299u2()222x1x1488 (x1)(x1)(x1)， 则

13199xuumax3时，8，所以8 当x14，即

从而

pmax(x)19log228。

ax2bx6yx22的最小值是2，最大值是6，求实数a、b的值。 例11.已知函数

解：将原函数去分母，并整理得(ay)x2+bx+(62y)=0.

若y=a，即y是常数，就不可能有最小值2和最大值6了，所以y a。于是

b2=b24(ay)(62y)0,所以y2(a+3)y+3a80.

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由题设，y的最小值为2，最大值为6，所以(y2)(y-6)0, 即 y28y+120.

a38b2123a8由(1)、(2)得 解得：a5,b26

22f(x)8xx14xx48 的最小值和最大值。 例12.求函数

28xx014xx2480解 先求定义域。由 最6x8.

f(x)8x(xx6)68xxx6,x[6,8]

当x[6,8]，且x增加时，xx6增大，而8x减小，于是f(x)是随着x的增加而减小，即f(x)在区间[6，8]上是减函数。所以

fmax(x)=f(8)=0, fmin(x)=f(6)=023

xy2yz222zyz例13.设x,y,z是3个不全为零的实数，求的最大值

xy2yz222zyz分析：欲求的最大值，只须找一个最小常数k，使得xy+2yzk(x2+y2+z2)

∵ x2+y22xy (1)y2+z221yz

数学驿站 http://www.maths168.com ∴ x2+y2+z22xy+21yz 1令2=1,则=5

解：∵

x212244y,y2z2yz555xy5

∴

x2y2z225(xy2yz)

xy2yz52222 xyz即

xy2yz5222又当x=1,y=5，z=2时，上面不等号成立，从而zyz的最大值为2

当x是无理数时xf(x)p1p78当x,(p,q)1,0pq(,)qq例14.设函数f:(0,1)R定义为求f(x)在区间89上的最大值

78(,)解：(1)若x89且x是无理数，则

8f(x)=x<9

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p78x(,)q，其中(p,q)=1,07q8p7q18p7p88q1所以7q8p88q99 9p8q9p18q63q+964q8，∴q17

8q11pp18q88816f(x)f()9qqq9q99q17 因此

1516f()1717

781516(,)f()∴f(x)在区间89上的最大值1717

作业：

1.若3x2+2y2=2x,求x2+y2的最大值

22x2xyy2x2y60求u=x+y的最小值 2.设x,y是实数，且

3.已知x1,x2是方程x2(k2)x+k2+3k+5=0 (kR)的两个实数根，求x12+x22的最大值和最小值

22y2x3x4x2x的最小值 4.求函数