复合函数求导及应用

课时作业4 复合函数求导及应用

时间：45分钟 分值：100分

一、选择题(每小题6分，共计36分)

1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( )

A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2

C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1

答案：A

12．函数y＝x＋5的导数为( )

x

1A．y′＝5x＋4

x11

B．y′＝5x＋41＋

4x

1C．y′＝5x＋4(1－x－2)

x1D．y′＝5x＋4(1＋x－2)

x

11解析：y′＝5x＋4·x＋′

xx

11

＝5x＋41－2.故选C.

xx

答案：C

3．函数y＝cos(1＋x2)的导数是( )

A．y′＝2xsin(1＋x2) B．y′＝－sin(1＋x2)

C．y′＝－2xsin(1＋x2) D．y′＝2cos(1＋x2)

解析：y′＝[cos(1＋x2)]′＝－sin(1＋x2)(1＋x2)′＝－2xsin(1＋x2)．故选C.

答案：C

4．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( )

A．y′＝ln(2x＋5)－

2x＋5

xB．y′＝ln(2x＋5)＋

2x＋5

2xC．y′＝2xln(2x＋5)

D．y′＝

2x＋5

x解析：y′＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x··(2x＋5)′＝

2x＋5

1

ln(2x＋5)＋.

2x＋5

2x答案：B

5．已知函数y＝ex－e－x，下列说法正确的是( )

A．y′＝ex－e－x B．y′＝2ex

C．y′>0恒成立 D．方程y′＝0有实数解

解析：由于y′＝(ex－e－x)′＝ex＋e－x>0，所以选项C正确．

答案：C

6．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )

A.5 B．25

C．35 D．0

解析：设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．

∵y′＝，∴y′|x＝x0＝＝2，解得x0＝1，

2x－12x0－1

22

∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．

∴切点(1,0)到直线2x－y＋3＝0的距离为

|2－0＋3|d＝＝4＋1

5，

即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是5.

答案：A

二、填空题(每小题8分，共计24分)

7．函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则实数a的值为________．

解析：y′＝[x(1－ax)2]′＝(1－ax)2＋x·[(1－ax)2]′

＝(1－ax)2＋x·2(1－ax)(－a)，

其中y′|x＝2＝(1－2a)2＋4(1－2a)·(－a)

＝4a2－4a＋1＋4a(2a－1)

＝12a2－8a＋1＝5，∵a>0，∴a＝1.

答案：1

8．f(x)＝ax2－1且f′(1)＝2，则a的值为________．

1

解析：∵f(x)＝(ax2－1) 2 ，

1－ 1

∴f′(x)＝(ax2－1) 2 (ax2－1)′＝

2

.

ax2－1

ax又f′(1)＝2，∴

aa－1

＝2，∴a＝2.

答案：2

9．已知函数f(x)＝

x－1x＋a＋ln(x＋1)，其中实数a≠－1.若a＝2，则曲线y＝f(x)在点(0，

f(0))处的切线方程为____________________．

x＋a－x－11a＋1

解析：f′(x)＝＋＝

x＋a2x＋1x＋a1

1

2＋1

2

2

＋

.当a＝2时，f′(0)＝

x＋10＋2

7117

＋＝，而f(0)＝－，因此曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－(－)＝(x0＋14224－0)，即7x－4y－2＝0.

答案：7x－4y－2＝0

三、解答题(共计40分)

10．(10分)求函数y＝asin＋bcos22x(a，b是实常数)的导数．

3

x

xaxxx解：∵asin′＝acos·′＝cos，

33333

11

又(cos22x)′＝＋cos4x′

22

1

＝(－sin4x)×4＝－2sin4x， 2

∴y＝asin＋bcos22x的导数为

3

x

xax2y′＝asin′＋b(cos2x)′＝cos－2bsin4x.

333

11．(15分)设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．确定a的值．

解：因为f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，

6

故f′(x)＝2a(x－5)＋. x

令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为1

y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.

2

12．(15分)一听汽水放入冰箱后，其摄氏温度x(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化满足关系：x＝4＋16e－2t.

(1)求汽水温度x在t＝1处的导数；

5

(2)已知摄氏温度x与华氏温度y之间具有如下函数关系x＝y－32.写出y关于t的函

9数解析式，并求y关于t的函数的导数．

解：x′＝－32e－2t.

32

(1)当t＝1时，x′＝－2. e

99

(2)y＝(x＋32)＝(16e－2t＋36)，

55

9×16288

－2ty′＝e×(－2)＝－e－2t. 55