统计量的概念

4.统计量的概念

样本是总体的代表和反映，也是统计推断的依据．为了对总体的分布或数字特征进行各种统计推断，还需要对样本作加工处理，把样本中应关心的事物和信息集中起来，针对不同的问题构造出样本的不同函数，这种样本的函数我们称其为统计量．

统计量的定义.由样本（X1, X2,…, Xn）所确定的函数f(X1, X2,…, Xn)称为统计量． 若(x1, x2,…, xn)是一个样本观测值，则称f(x1, x2,…, xn)是统计量f(X1, X2,…, Xn)的一个观测值．

显然，统计量不仅是一个随机变量，而且还不含有未知参数．

例3.6.4 设(X1，X2，X3)是由服从正态分布Ｎ(μ,σ2)的总体X中抽取的一个容量为3的样本，其中μ、σ是未知参数，因此(X1+X2+X3)/3-μ， (X1+X2+X3)/σ都不是统计量，而X1+X2+5， X12+X22都是统计量．

设（X1, X2,…, Xn）是总体X中的一个样本，下面是数理统计中常用的几个统计量及其观测值：

(1)样本均值. ;

它的观测值为：.

(2)样本方差.;

它的观测值为 .

(3)样本标准差. ;

它的观测值为 .

例3.6.5 为了了解某一课程自学考试的情况, 现从全体考生中抽查120名学生，记录

其成绩如下： 74 69 88 73 90 75 64 77 66 60 55 68 72 72 69 65 74 80 76 79

试按下列要求进行简单的统计分析.

(1)在区间[40,100]之间，将数据分成组距为5分的12组，在此条件下，求频数分布、频率分布、累计频率分布；

(2)求样本均值与样本方差；

(3)作图:修正后的频率直方图、累计频率直方图．

解. (1)根据已知数据，把频数分布、频率分布、累计频率分布列成表如下（(除了最后一组外，每组不包括上限)． 分组编号 1 3 545- 0-50 55 2 2 8 6.67 10.01 7 755650--6-770 0 5 9 211 17 3 19.147.9.1.150 17 7 6 2617406.0..5.8601 5 8 1 4 6 5 60-65 9 8750--880 5 118 6 1153..030 3 8758..031 4 8 10 12 11 985-0-95-100 90 95 7 6 5.00 99.17 1 46 50 87 58 51 83 59 79 81 93 64 72 74 92 62 56 59 78 86 79 74 62 86 69 64 72 73 78 94 42 77 63 75 67 62 98 72 79 79 55 76 90 50 84 72 74 54 77 74 68 69 74 82 94 58 84 69 82 54 70 68 54 67 57 56 68 78 84 72 64 66 73 62 74 76 83 68 82 68 73 54 89 88 74 76 79 82 84 63 73 72 68 44 83 83 85 84 82 45 54 组 限 40- 45 组频数 2 (fi) 组频率1.61.67 (%) 7 5.83 0.83 累计频率3.31.67 (%) 4 94.17 100 (2)样本均值和样本方差的观测值分别是

,

(3)根据取值区间及相应频率作修正后的频率直方图和累计频率直方图.

有了统计量的概念以后，下面我们再介绍几个在应用中有重要作用的常用的分布． 实验题：学习者可以随机抽取某科考试成绩进行如下统计推断. (1) 先把数据分组,在此条件下,求频数分布、频率分布、累计频率分布; (2) 求样本均值与样本方差;

(3) 画出频率直方图和累计频率直方图.