5.连续性方程的推导

连续性方程可由四种方法得到，分别为拉格朗日法下对有限体积和体积元应用质量守恒定律、在欧拉法下对有限体积应用质量守恒定律及在直角坐标系中直接应用质量守恒定律。 1.1 L法有限体积分析

取体积为，质量为m的一定流体质点团，则有：

mdDmDDDD d0ddd0 （1）DtDtDtDtDtdivv1Dd （2）

dDt因为速度散度的物理意义是相对体积膨胀率及密度随体导数，即：

Duvwv （3） Dttxyzt代入式（1）得

DD dd((v)divv)d(div(v))d0 （4）

DtDttt运用奥高定理

(SSuvw)dudydzvdzdxwdxdySxyz （5）

(ucosvcoswcos)dSvndSvndSS得

(div(v))ddvndS0 （6）

Stt上式即是连续性方程的积分形式。

假定被积函数连续，而且体积是任意选取的，由此可知被积函数必须等于零，即：

vDDdivv0i0 （7） DtDtxi或

(vi)div(v)00 （8） ttxi在直角坐标系中连续性方程为：

(u)(v)(w)0 （9） txyz或

Duvw() （10） Dtxyz连续性方程（10）表明，密度变化（随时间和位置）等于密度和体积变形的乘积[2]。 1.2 L法体积元分析

考虑质量为dm的体积元d，对其用拉格朗日观点，根据质量守恒定律有：

DDdm0(d)0 （11） DtDtDDD(d)dd0 （12） DtDtDt两边同除以d，得

1D1Dd0 （13）

dDtDt或写成

divv1D0 （14）

Dt上式表明要维持质量守恒定律，相对体积变化率必须等于负的相对密度变化率。 1.3 E法有限体积分析

为控制体。着眼坐标空间，取空间中以S面为界的有限体积，则称S面为控制面，

n为外法线方向的单位矢量。取外法线方向为法线的正方向，考虑该体积内流体质量的变化，

该变化主要以下两方面原因引起。第一，通过表面S有流体流出或流入，单位时间内流出流入变化的总和为：

SvndSnvdSS奥高公式div(v)d （15）

第二，由于密度场的不定常性（注意，欧拉观点下空间点是固定的，密度的变化只由场的不定常性刻画），单位时间内体积的质量将变化，变化量为：

上述两者应相等，即

d （16） td （17） tdiv(v)d由于体积是任意的，且被积函数连续，则

div(v)0 （18） t1.4 E法直角坐标系分析

单位时间内通过表面EFGH的通量

为：udydz

通过表面ABCD的通量为：

(u)udxdydz x其他三对表面类似，另外，该控制体内质量的变化率为：

则

dxdydz t(u)(v)(w)0（19） txyz特殊情况下的连续性方程：

0div(v)0 tD（2） 不可压缩流体：0divv0

Dt下面将写出它在曲线坐标下的形式.

（1） 定常态：

因为divaa1H2H3a2H3H1a3H1H21

H1H2H3q1q2q3(20)

所以divvv1H2H3v2H3H1v3H1H21 （21）

H1H2H3q1q2q3dmddtdtdivv0得到曲线坐标下连续性t将（21）式代入

方程的形式为：

v1H2H3v2H3H1v3H1H210 tH1H2H3q1q2q3

（22）