高中数学同步学案 函数y=asin(ωx+φ)的图象及变换

第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

预习课本P49～,思考并完成以下问题

(1)将y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图象怎样变换,能得到y＝sin x的图象？

(2)函数y＝Asin x,x∈R(A＞0且A≠1)的图象,可由正弦曲线y＝sin x,x∈R怎样变换得到？

(3)函数y＝sin ωx,x∈R(ω＞0且ω≠1)的图象,可由正弦曲线y＝sin x,x∈R怎样变换得到？

[新知初探]

1．φ对函数y＝sin(x＋φ),x∈R的图象的影响

2．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响

3．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响

[点睛] (1)A越大,函数图象的最大值越大,最大值与A是正比例关系． (2)ω越大,函数图象的周期越小,ω越小,周期越大,周期与ω为反比例关系． (3)φ大于0时,函数图象向左平移,φ小于0时,函数图象向右平移,即“加左减右”.

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”,错误的打“×”)

π(1)由函数y＝sinx＋的图象得到y＝sin x的图象,必须向左平移．( )

3

(2)把函数y＝sin x的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝sin 3x的图象．( ) (3)将函数y＝sin x图象上各点的纵坐标变为原来的A(A＞0)倍,便得到函数y＝Asin x的图象．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√

2．将函数y＝sin x的图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍,横坐标不变,则所得图象对应的函数为( )

A．y＝3sin x C．y＝sin 3x 答案：A

3．为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象,只需把函数y＝sin x的图象上所有的点( ) A．向左平行移动1个单位长度 B．向右平行移动1个单位长度 C．向左平行移动π个单位长度 D．向右平行移动π个单位长度 答案：A

1

4．将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得________的图象．

4答案：y＝sin 4x

“五点法”作图 31π[典例] 用“五点法”作出函数y＝sinx－的简图．

233

32π1π[解] 函数y＝sinx－的周期T＝＝6π,先用“五点法”作它在长度为一个周期上的图

3213

3象．列表如下：

x 1πx－ 3331πsinx－ 323描点、连线,如图所示, π 0 0 5π 2π 23 24π π 0 11π 23π 23－ 27π 2π 0 1

B．y＝sin x

31

D．y＝sin x

3

31π

利用该函数的周期性,把它在一个周期上的图象分别向左、右扩展,从而得到函数y＝sinx－的

323简图(图略)．

(1)“五点法”作图的实质 利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象,实质是利用函数的三个零点,两个最值点画出函数在一个周期内的图象． (2)用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤 第一步：列表. ωx＋φ x f(x) 第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点,形成图象． [活学活用]

π用“五点法”作出函数y＝2sin2x＋在[0,π]上的图象．

4解：列出x,y的对应值表：

x π2x＋ 4y 描点,连线,如图所示． －π 8π 8π 22 3π 8π 0 5π 83π 2－2 7π 82π 0 0 －φ ωπ 2πφ－ 2ωωA π πφ－ ωω0 3π 23πφ－ 2ωω－A 2π 2πφ－ ωω0 0 0 0

函数图象的平移变换 π[典例] (山东高考)要得到函数y＝sin 4x－的图象,只需将函数y＝sin 4x的图象( ) 3π

A．向左平移个单位

12π

B．向右平移个单位

12π

C．向左平移个单位

3π

D．向右平移个单位

3

πππ[解析] 由y＝sin4x－＝sin 4x－得,只需将y＝sin 4x的图象向右平移个单位即可,故选31212B.

[答案] B

平移变换的策略 (1)先确定平移方向和平移的量． (2)当x的系数是1时,若φ＞0,则左移φ个单位；若φ＜0,则右移|φ|个单位． φ|φ|当x的系数是ω(ω＞0)时,若φ＞0,则左移个单位；若φ＜0,则右移个单位． ωω [活学活用]

ππ1．将函数y＝sin2x－向左平移个单位,可得到函数图象是( )

66A．y＝sin 2x πC．y＝sin2x＋

6

πB．y＝sin2x－

6πD．y＝sin2x－ 3

πππy＝sin2x＋－＝sin2x＋的图

666

π解析：选C y＝sin 2x－的图象

6象．

π2．将函数y＝sin x的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位长度后,得到函数y＝sinx－的图象,

6

则φ＝________.

解析：因为φ∈[0,2π),所以把y＝sin x的图象向左平移φ个单位长度得到y＝sin (x＋φ)的图

11π＝sinx＋11π－2π＝sin x－π,即φ＝11π.

象,而sinx＋6666

11π

答案：

6

函数图象的伸缩变换 π[典例] 说明y＝－2sin2x－＋1的图象是由y＝sin x的图象经过怎样变换得到的． 6[解] [法一 先伸缩后平移]

各点的纵坐标伸长到原来的2倍各点的横坐标缩短到

y＝sin x的图象――――――――――――――→y＝－2sin x的图象―――――――――→y＝－2sin 2x且关于x轴作对称变换1

原来的

2的图象的图象．

[法二 先平移后伸缩]

各点的纵坐标伸长到原来的2倍

y＝sin x的图象――――――――――――→y＝－2sin x的图象且关于x轴作对称变换

y＝－

π向上平移1个单位长度2x－π＋1

y＝－2sin2x－的图象――――――――→y＝－2sin 66

π各点的横坐标缩短到向上平移1个单位长度π2sinx－的图象――――――――――→y＝－2sin2x－的图象――――――――――→y＝－ ―661原来的

2π2sin2x－＋1的图象． 6

由函数y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤

[活学活用]

xπ为了得到函数y＝2sin＋,x∈R的图象,只需把函数y＝2sin x,x∈R的图象上所有的点( )

36

π1

A．先向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)

63π1

B．先向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)

63π

C．先向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)

6π

D．先向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)

6

ππ解析：选C 先将y＝2sin x,x∈R的图象向左平移个单位长度,得到函数y＝2sinx＋,x∈R的

66

xπ图象,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到函数y＝2sin＋,x∈R的图

36

象．

层级一 学业水平达标

π1．为了得到函数y＝sinx－的图象,只需把函数y＝sin x的图象( )

3

π

A．向左平移个单位长度

3π

B．向右平移个单位长度

3π

C．向上平移个单位长度

3π

D．向下平移个单位长度

3

解析：选B 将函数y＝sin x的图象向右平移

π

个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y＝3

πsinx－.

3

π

2．将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数是( )

2A．奇函数 B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：选A y＝sin 2x

πy＝sin2x－＝sin(2x－π)＝－sin(π－2x)

2

＝－sin 2x.

由于－sin(－2x)＝sin 2x,所以是奇函数．

1

3．把函数y＝cos x的图象上的每一点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的,然后将图象沿x轴负

2π

方向平移个单位长度,得到的图象对应的解析式为( )

4

A．y＝sin 2x πC．y＝cos2x＋ 4

πB．y＝cos2x＋

2

1πD．y＝cosx＋ 42

1

解析：选B y＝cos x的图象上每一点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到y＝cos 2x的图象；

2πππ再把y＝cos 2x的图象沿x轴负方向平移个单位长度,就得到y＝cos 2x＋＝cos2x＋的图

424象．

ππ4．函数y＝sin2x－在区间－，π上的简图是( )

32

3π解析：选A 当x＝0时,y＝sin－＝－<0,

23

πππ故可排除B、D；当x＝时,sin2×－＝sin 0＝0,排除C. 636

π

5．把函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到

31

原来的(纵坐标不变),得到的图象所对应的函数是( )

2

πA．y＝sin2x－ 3πC．y＝sin2x＋ 3

xπB．y＝sin＋

26

2πD．y＝sin2x＋ 3

ππ解析：选C 把函数y＝sin x的图象上所有点向左平行移动个单位长度后得到函数y＝sinx＋的

33

π1图象,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的,得到函数y＝sin2x＋的图象． 32

π6．将函数y＝sinx－图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的5倍,可得到函数

3

__________________的图象．

图象上各点的纵坐标不变π1x－π的图象．

解析：y＝sinx－的图象横坐标伸长为原来的―――――――――――→y＝sin55倍33

1π答案：y＝sinx－

35

π117．函数y＝sin2x－的图象可以看作把函数y＝sin 2x的图象向________平移________个单位422长度得到的．

π11π解析：∵y＝sin2x－＝sin 2x－, 4282

π1π1

∴由y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度便得到y＝sin2x－的图象．

4282答案：右

π

8

π8．将函数y＝sin2x－图象上所有点的横坐标保持不变,纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)4π为原来的________倍,将会得到函数y＝3sin2x－的图象．

4

π解析：A＝3＞0,故将函数y＝sin2x－图象上所有点的横坐标保持不变,纵坐标伸长为原来的3倍4π即可得到函数y＝3sin2x－的图象．

4

答案：伸长 3

π9．y＝cosx＋的图象如何变换得到y＝sin x的图象？

35πππ解：cosx－＋＝cosx－＝sin x, 632

5ππ所以将y＝cosx＋的图象向右平移个单位长度便可得到y＝sin x的图象．

36

10．已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得的图象沿π1

x轴向左平移个单位长度,这样得到的图象与y＝sin x的图象相同,求f(x)的解析式．

22

1

解：反过来想,y＝sin x

2

1πy＝sinx－22

y＝

1

2

ππ1

sin2x－,即f(x)＝sin2x－.

222

层级二 应试能力达标

ππ1．设g(x)的图象是由函数f(x)＝cos 2x的图象向左平移个单位得到的,则g等于( )

36A．1 C．0

1

B．－

2D．－1

ππx＋解析： 选D 由f(x)＝cos 2x的图象向左平移个单位得到的是g(x)＝cos2的图象,则33

πππg＝cos2＋＝cosπ＝－1.故选D.

663

ππ2．把函数y＝sin5x－的图象向右平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的

241

倍,所得函数图象的解析式为( ) 2

3πA．y＝sin10x－ 43πC．y＝sin10x－ 2

7πB．y＝sin10x－

27πD．y＝sin10x－ 4

7ππππ解析：选D 将原函数图象向右平移个单位长度,得y＝sin5x－－＝sin5x－的图象,

42447π7π1再把y＝sin5x－的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍得y＝sin10x－的图象．

442

3．下列命题正确的是( )

π

A．y＝cos x的图象向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象

2π

B．y＝sin x的图象向右平移个单位长度得到y＝cos x的图象

2

C．当φ＜0时,y＝sin x的图象向左平移|φ|个单位长度得到y＝sin(x＋φ)的图象 ππD．y＝sin 2x＋的图象可以由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到 33

解析：选A A中,y＝cos x的图象

πy＝cosx－＝sin x的图象；

2

πx－y＝sin＝－cos x的图象；

2

B中,y＝sin x的图象

C中,y＝sin x的图象D中,y＝sin 2x的图象

y＝sin(x＋|φ|)＝sin(x－φ)的图象； 2ππy＝sin 2x＋＝sin2x＋的图象.

33

π4．为了得到函数y＝sin2x－的图象,可以将函数y＝cos 2x的图象( )

6π

A．向右平移个单位长度

6π

B．向左平移个单位长度

6π

C．向右平移个单位长度

3π

D．向左平移个单位长度

3

ππ2ππ2π解析：选C 由于y＝sin2x－＝cos －2x－＝cos －2x＝cos2x－＝cos 66332

2x－π,为得到该函数的图象,只需将y＝cos 2x的图象向右平移π个单位长度．

33

ππ5．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，－≤φ≤图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵

22ππ坐标不变,再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象,则f＝________.

66

ππ解析：将y＝sin x的图象向左平移个单位长度可得y＝sinx＋的图象,保持纵坐标不变,横坐标

66π1π1ππ1ππ变为原来的2倍可得y＝sinx＋的图象,故f(x)＝sinx＋,所以f＝sin×＋＝sin664226266＝2

. 2答案：

2 2

xxπ6．要得到y＝sin＋的图象,需将函数y＝cos 的图象上所有的点至少向左平移________个单位223长度．

xxπxπ解析：cos ＝sin＋,将y＝sin＋的图象上所有的点向左平移φ(φ＞0)个单位长度得y＝

22222φππxφπsin＋＋的图象．令＋＝2kπ＋,

223222

π

∴φ＝4kπ－,k∈Z.

3

11π

∴当k＝1时,φ＝是φ的最小正值．

311π答案：

3

π7．函数f(x)＝5sin2x－－3的图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？ 3

ππ解：先把函数y＝sin x的图象向右平移个单位,得y＝sinx－的图象；再把所得函数图象上所

33π1有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),得y＝sin2x－的图象；然后把所得函数图象上所有点的

32π纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得函数y＝5sin2x－的图象,最后将所得函数图象向下平移3个3π单位长度,得函数y＝5sin2x－－3的图象．

3

1π8．已知函数f(x)＝3sinx－,x∈R.

42

π9π(1)利用“五点法”画出函数f(x)在一个周期，上的简图．

22

π

(2)先把f(x)的图象上所有点向左平移个单位长度,得到f1(x)的图象；然后把f1(x)的图象上所有点

2的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到f2(x)的图象；再把f2(x)的图象上所有点的纵坐标缩短到1

原来的倍(横坐标不变),得到g(x)的图象,求g(x)的解析式．

3

解：(1)列表取值：描出五个关键点并用光滑连线连接,得到一个周期的简图.

x 1πx－ 24f(x)

π 20 0 3π 2π 23 5π 2π 0 7π 23π 2－3 9π 22π 0

π1ππ1π(2)将f(x)＝3 sinx－图象上所有点向左平移个单位长度得到f1(x)＝3sinx＋－＝

2442221

3sinx的图象．

2

11

把f1(x)＝3sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到f2(x)＝3sinx的图

24111

象,把f2(x)＝3sinx的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)得到g(x)＝sinx的图象．

434

所以g(x)的解析式g(x)＝sin1

4x.