概率论与数理统计教案设计

概率论与数理统计教案

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授课时间 授课方式 授课单元 要求与目的 理论课 第三章：多维随机变量及其分布 通过教学使学生了解二维随机变量的概念、分布律及其表示、分布函数、边缘分布，条件分布、独立性。掌握二维随机变量函数的分布。 重点与难点 (1) 重点是二维随机变量的概念、分布律及其表示、分布函数、课时数 边缘分布，条件分布、独立性 (2) 难点是二维随机变量函数的分布 主要内容 一、基本概念 联合分布函数，联合分布函数的性质、边缘分布函数 二、离散型二维随机变量 离散型二维随机变量的分布律、分布函数、边缘分布，条件分布、独立性 三、连续型二维随机变量 连续型二维随机变量的分布律、分布函数、边缘分布，条件分布、独立性 四、二维随机变量函数的分布 1.离散型随机变量函数的分布 2.连续型随机变量函数的分布 教学方法 参考资料 讲授式 讲练结合 《概率论与数理统计》余长安编，武汉大学出版社 《概率论与数理统计》吴传生编，高等教育出版社 思考题 文档

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第三章：多维随机变量及其分布

一、基本概念

1联合分布函数

设（X,Y）是二维离散型随机变量，x,y是任意实数，

F(x,y)P(Xx,YY)

二维随机变量（X,Y）的联合分布函数。 2.联合分布函数的性质

（1）单调性F(x,y)关于x(y)单调不减；

（2）0F(x,y)1,F(x,)F(,y)0,F(,)1； (3) F(x,y)关于x(y)右连续；

(4)P{x1Xx2,y1Yy2}F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)F(x2,y2) 3．边缘分布函数

设（X,Y）是二维离散型随机变量的联合分布函数为F(x,y)，则

FX(x)P{Xx}P{Xx,Y}F(x,)FY(y)P{Yy}P{X,Yy}F(,y)

二维随机变量（X,Y）的边缘分布函数。

，

二、离散型二维随机变量

1. 离散型二维随机变量的分布律

设(X,Y)是一个二维离散型随机变量，它们一切可能取的值为(ai,bj),i,j1,2, pij{X,YbbpijpPaia,2,j}ij),i,j1称(pij;i,j1,2,

,令

)是二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布.

二维联合分布的三个性质：

(1)pij0,i,j1,2,(2)pij1i1j1;文档

(3)P(ai)pijpij1实用标准文案

2. 离散型二维随机变量的分布函数 F(x,y)XxiYyjpij

3. 离散型二维随机变量的边缘分布

设二维随机变量（X,Y）的联合概率分布p{Xxi,Yyj}=pij(i,j1,2,固定的i关于j求和而得到

p{Xxi}p{Xxi,Y})中对

pj1ijpi.

p{Yyj}p{X,Yyj}pijp.j

i14. 离散型二维随机变量的条件

对于固定的j若，p{Yyj}p.j0，称

p{Xxi|Yyj}p{Xxi,Yyj}p{Yyj}pijp.j

为在Yyj的条件下，随机变量Xxi的条件概率. 同样定义p{Yyj|Xxi}变量Yyj的条件概率. 条件概率符合概率的性质

p{Xxi,Yyj}p{Xxi}pijpi.为在Xxi的条件下，随机

p{Xxi|Yyj}0

i1p{Xxi|Yyj}1

5. 离散型二维随机变量的独立性

设离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布列与边缘分布为：

P{Xxi,Yyj}pij，p{Xxi}pi. p{Yyj}p.j

定理1：离散型随机变量X,Y独立的充分必要条件是对于任意的i,j都有 pijpi. p.j

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例1 从1，2，3，4种任取一个记为X，在从1X种任取一个记为Y， (1)求二维随机变量（X,Y）的联合分布律

X\\Y 1 2 3 4 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12/ 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16 (2)求二维随机变量（X,Y）的边缘分布律。

23423411X~1/41/41/41/4 Y~25/4813/487/483/48

(3)求Y1的条件下，X的概率分布

1/412

25/48251/86p{X2|Y1}p12/p.125/4825 1/124p{X3|Y1}p13/p.125/4825 1/163p{X4|Y1}p13/p.125/4825 p{X1|Y1}p11/p.1(4) 随机变量X,Y独立吗？

p11(1/4)(1/4)(25/48)p1. p.1

X,Y不独立。

例2 X~0.50110，Y~0.40.6，且p{XY0}0.4，求随机变量（X,Y）0.5的联合分布律及p{XY}。

X Y 0 1 0 1 0.3 0.2 0.1 0.4 pi. 0.5 0.5 文档

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p.j 0.4 0.6 例3 已知X,Y独立，完成下表：

X Y 1 2 1 2 3 1 8pi. 1 86p.j 1 例4 已知（X,Y）的分布律为：

X Y 1 2 0 1 0.4 a b 0.1 已知{X0}与{XY1}独立，求a,b

三、连续型二维随机变量

1．定义与性质

如果联F(x,y)是一个合分布函数，若存在函数p(x,y)，使对任意的(x,y)，有 F(x,y)xyp(u,v)dudv

成立，则称F(x,y)是一个连续型的联合分布函数，并且称其中的p(x,y)是F(x,y)的联合概率密度函数或简称为密度.

如果二维随机变量(,)的联合分布函数F(x,y)是连续型分布函数，就称(,)是二维的连续型随机变量.

密度函数的性质：由分布函数的性质可知，任一二元密度函数p(x,y)必具有下述性质：

(1)p(x,y)0;(2)p(x,y)dxdyF(,)1

反过来，任意一个具有上述两个性质的二元函数p(x,y)，必定可以作为某个二维随机变量的密度函数.此外，密度函数还具有性质：

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（3）若p(x,y)在点(x,y)连续，F(x,y)是相应的分布函数，则有

2F(x,y) p(x,y)

xy（4）若G是平面上的某一区域，则 P(,)Gp(x,y)dxdy

G2．连续型随机变量的边缘分布

若（X,Y）联合分布函数已知，那么，它的两个分量X与Y的分布函数称为边际分布函数可由联合分布函数F(x,y)求得， 概率密度

fX(x)f(x,y)dy,　　fY(y)f(x,y)dx

3. 连续型随机变量条件分布

若（X,Y）概率密度为f(x,y)，边缘概率密度fY(y)0，称

fX|Y(x|y)

f(x,y)fY(y)

为在Yy的条件下，随机变量X的条件概率密度. 类似地，称fY|X(y|x)f(x,y) fX(x)0

fX(x)为在Xx的条件下，随机变量Y的条件概率密度.

设随机变量(X,Y)的联合分布为F(x,y)，如果对任意的x,y都 F(x,y)P{Xx,Yy}P{Xx}P{Yy}FX(x)FY(y) 则称X,Y是独立的

4.随机变量的独立性

设随机变量(X,Y)的联合分布为F(x,y)，如果对任意的x,y都 F(x,y)P{Xx,Yy}P{Xx}P{Yy}FX(x)FY(y) 则称X,Y是独立的

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定理2：如果(X,Y)是二维连续型随机变量，则X与也都是连续型随机变量，它们的Y密度函数分别为fX(x),fY(y)，这时容易验证X与Y独立的充要条件为：

f(x,y)fX(x)fY(y)几乎处处成立。

说明：(1)F(x,y)FX(x)FY(y)或f(x,y)fX(x)fY(y)点点成立，则X与Y独立。 (2)X与Y独立,则F(x,y)FX(x)FY(y)点点成立f(x,y)fX(x)fY(y)不一定点点成立。

(3)在个别点f(x,y)fX(x)fY(y)，则X与Y可能还独立；在一点

F(x,y)FX(x)FY(y)，则X与Y一定不独立。

例1：已知随机变两（X,Y）的概率密度为

Ae2xyf(x,y)0(1)求A

x0,y0其他

f(x,y)dxdy1

00Ae2xydxdy1A1,A2 2(2)求分布函数

当x0,y0时，

F(x,y) [1e2xxyf(u,v)dudv2xy2xyedudv 00][1ey]

其他，F(x,y)0

(1e2x)(1ey) F(x,y)0（3）求p{XY} p{XY}x0,y0其他

00x2e2xydxdy1 3 (4) 求边缘概率密度fX(x),fY(y)

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2xy2e2xx02edyx0 fX(x)f(x,y)dy0 other0other02xyeyy02edxy0 fY(y)f(x,y)dx0other0other0(5) 求条件概率密度fX|Y(x|y)

当y0时，fX|Y(x|y)不存在； 当y0时，

f(x,y)2e2xfX|Y(x|y)fY(y)0x0other

(6) 求p{X2|X2}

p{X2|Y2}p{X2,Y2}F(2,2)1e4

P{Y2}FY(2) (7)X,Y独立吗？f(x,y)fX(x)fY(y)点点成立，则X与Y独立。

例2：已知随机变量（X,Y）时区域D上的分布，D由x.y0,xy1围成，问X,Y是否独立？

2解：f(x,y)0 F(1,1)221212（x，y)D

其他2dxdy1 0021x2dy0x122x fX(x)f(x,y)dy0other0011321FX()fX(x)dx2[22x]dx

2043同理：FY(1)

24 F(1,1)FX(1)FY(1)

22220x1 other 所以X,Y不否独立。

例3：甲乙两人到达同一地点的时间X,Y服从[7,8]上的均匀分布，X,Y独立，求X，Y的差不超过

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1小时的概率。 4实用标准文案

fX(x)X,Y独立

107x81 fY(y)other07x8 other1f(x,y)fX(x)fY(y)07x8,7x8 other13p{XY}1dxdy

44D例4．若二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为

f(x,y)12121212(1)2[(x1)2e122(x1)(y2)12(y2)222]

（ x, y ）

2则称(X,Y)服从二维正态分布，记作 (X,Y)~N(1,2,12,2,)。

2说明：（1）二维正态分布的边缘分布是一维正态分布X~N(1,12)，Y~N(2,2 )；

（2）二维随机变量(X,Y)的边缘分布都是是一维正态分布，则(X,Y)不一定服从二维正态分布；

（3）cov(X,Y)122是相关系数，X,Y独立的充分必要条件是0；

（4）X~N(1,1)，Y~N(2,2)，且X,Y独立，则

2aXbY~N(a1b2,a212b22)

2 四、二维随机变量函数的分布

1.离散型随机变量函数的分布

例1．已知二维随机变量(X,Y)的分布为

X Y 1 2 1 1/4 1/3 2 1/6 1/4 求：(1)ZXY (2) Zmax{X，Y} (3) Zmin{X，Y} 解：(1)ZXY

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p{Z2}P{X1,Y1}1/4

p{Z3}P{X1,Y2}P{X2,Y1}1/2 p{Z4}P{X2,Y2}1/4

342 Z~ 1/41/21/4(2) Zmax{X，Y} Z~1/412 3/421(3) Zmin{X，Y} Z~3/41/4

2.连续型随机变量函数的分布

已知（X,Y）联合概率密度f(x,y)，求Zg(X,Y)的概率密度。这类问题主要通过分布函数法求解。具体过程如下：

(1)划出f(x,y)0的区域D； (2)作等值线g(x,y)z

(3)平行移动等值线，寻找等值线与D相交的关键点a,b。

(4)当za时，FZ(z)=0, 当zb时，FZ(z)=1, 当azb时 FZ(z)f(x,y)dxdy

D1'(5) f(z)FZ(z)

例2．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

1,0x1,0y2x,f(x,y)其他.0,

求： Z2XY的概率密度fZ(z).

解：令FZ(z)P{Zz}P{2XYz}， 当z0时，FZ(z)P{2XYz}0；

当0z2时，FZ(z)P{2XYz}

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=z12z; 4 3) 当z2时，FZ(z)P{2XYz}1.

0,z0,1即分布函数为： FZ(z)zz2,0z2,

4z2.1,10z2,故所求的概率密度为：fZ(z)12z,

其他.0,例3．X,Y独立且都服从[0,1]上的均匀分布，，求ZXY的概率密度。

1 解： fX(x)0X,Y独立，所以

0x11 fY(y)other00x1other

1f(x,y)fX(x)fY(y)00x1,0x1 other当z0时，FZ(z)P{XYz}0； 当0z1时，FZ(z)P{XYz}当1z2时，FZ(z)P{XYz}

1 =1(2z)2;

212z； 2当z2时，FZ(z)P{Yyz}1.

z0z1, fZ(z)2z1z2,

0other.例4．练习册P32 10题

例5．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)3x,0x1,0yx,

0,其他.求： ZXY的概率密度fZ(z).

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例6．设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为X~0.3度为f(y)，求随机变量Z=X+Y的概率密度.

12，而Y的概率密0.7解：FZ(z)P{XYz}

p{X1}p{XYz|X1}p{X2}p{XYz|X2} 0.3p{Yz1|X1}0.7p{Yz2|X2}

0.3p{Yz1}0.7p{Yz2} (因为X与Y独立) 0.3z1f(y)dy0.7z2f(y)dy

fZ(z)0.3f(z1)0.7f(z2) 例7 Zmax{X,Y},Zmin{X,Y}的分布

FZ(z)P{max{X,Y}z}P{Xz,Yz}；

FZ(z)P{min{X,Y}z}1P{min{X,Y}z}1P{Xz,Yz}；

设随机变量X与Y独立，FX(x),FY(y)分别是他们的分布函数，Zmin{X,Y}， 求FZ(z)

解：FZ(z)P{min{X,Y}z}1P{min{X,Y}z}1P{Xz,Yz} =1[1FX(z)][1FY(z)]=FX(z)FY(z)FX(z)FY(z)

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