第2章一元二次函数、方程和不等式单元测试【解析版】

1．若a<0，－1ab>ab2 C．ab>a>ab2

B．ab2>ab>a D．ab>ab2>a

解析：由－1b2>0>b，由a<0，得ab>ab2>a. 11

2．若ab ba

C.a＋b<－2

11

解析：因为aA．{x|－14或x<－1} C．{x|x>1或x<－4} D．{x|－4解析：不等式4＋3x－x2<0可化为x2－3x－4>0，即(x＋1)(x－4)>0，解得x>4或x<－1.故不等式的解集为{x|x>4或x<－1}．

4．不等式𝑥(𝑥+2)<3的解集是（ ）．

A．{𝑥|−1<𝑥<3} B．{𝑥|−3<𝑥<1} C．{𝑥|𝑥<−1 ，或𝑥>3} D．{𝑥|𝑥<−3 ，或𝑥>1}

解析：由题意𝑥(𝑥+2)<3，∴𝑥2+2𝑥−3<0即(𝑥+3)(𝑥−1)<0，解得：−3<𝑥<1， ∴该不等式的解集是{𝑥|−3<𝑥<1}，故选B．

B．abb2

5．设x,yR,且

191,则xy的最小值为（ ） xyA．6 B．12

C．14 D．16

199xy16， 解析：因为xy(xy)()19xyyx等号成立当且仅当x4,y12，所以xy的最小值为16.选D. 6．下列结论正确的是

1的最小值为2 xA．当x2时，xB．当x0时，x12 x12 x1C．当0x2时，x无最大值

xD．当x0且x1时，

x115解析：对于A，x+在[2，+∞）上单调增，所以x=2时，x的最小值为，故A错误；

xx2对于B，当x＞0时，x12，当且仅当x=1时，等号成立，故B成立； x对于C，x11在（0，2]上单调增，所以x=2时，x取得最大值，故C不成立； xx对于D，当0＜x＜1时，lgx＜0，

1＜0，结论不成立；故选B lgx7．已知实数0a1，则（ )

a2A． 1aa aaa2B． 1a a1 aa2a ．Ca1 a2aa ．D a解析：0a1，0a21，

11，1a0， a12aaa2a由于0a1，在不等式上同时乘以得0aa，因此，a，故选：A.

8．如果二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2，3，且a<0，那么不等式ax2＋bx＋c>0的解集为( )

A．{x|x>3或x<－2} C．{x|－2B．{x|x>2或x<－3} D．{x|－3解析：选C.由二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2，3，且a<0，知不等式ax2＋bx＋c>0可化为a(x＋2)(x－3)>0，即(x＋2)(x－3)<0，方程(x＋2)(x－3)＝0的两根为x1＝－2，x2＝3，则不等式(x＋2)(x－3)<0的解集是{x|－2B．{x|3a≤x≤3a2} D．{x|x≤3a或x≥3a2}

解析：选A.因为010．若不等式ax2＋ax＋1>0的解集为R，则a的取值范围是( ) A．{a|0≤a<4} C．{a|a>4或a<0}

B．{a|0解析：选A.当a＝0时，原不等式等价于1>0，符合题意；当a≠0时，若原不等式的解集为

a>0

R，则，解得

Δ<0

011．某商场的某种商品的年进货量为10 000件，分若干次进货，每次进货的量相同，且每次

进货的运费为100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金之和最省，每次进货量应为( ) A．200件 C．2 500件

B．5 000件 D．1 000件

10 000x

解析：选D.设每次进货x件，一年的运费和租金之和为y元．由题意，y＝100·x＋2·2＝1 000 000

＋x≥2x

1 000 000

·x＝2 000，当且仅当x＝1 000 时取等号，故选D. x

xx

12．关于x的方程x－1＝的解集为( )

x－1A．{0} C．{x|0≤x＜1} 解析：选B.由题意，

B．{x|x≤0或x＞1} D．{x|x<1或x>1}

x

≥0，所以x≤0或x＞1， x－1

xx

所以方程x－1＝的解集为{x|x≤0或x＞1}．

x－1

13．已知关于x的不等式(m2＋4m－5)x2－4(m－1)x＋3>0对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为 .

解析：(1)当m2＋4m－5＝0，即m＝1或m＝－5时，显然m＝1符合条件，m＝－5不符合条件；

(2)当m2＋4m－5≠0时，由二次函数对一切实数x恒为正数，得

2

m＋4m－5>0，22Δ＝16m－1－12m＋4m－5

<0，

解得1综合(1)(2)得，实数m的取值范围为1≤m<19.

12

14．已知函数f(x)＝－a＋x，若f(x)＋2x≥0在x>0上恒成立，则a的取值范围是 .

1211解析：因为f(x)＋2x＝－a＋x＋2x≥0在x>0上恒成立，即a≤2x＋x在x>0上恒成立，



111

因为2x＋x≥4，当且仅当x＝1时等号成立．所以a≤4，解得a<0或a≥4.

15．不等式ax2ax20对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是_________． 解析：当a=0时，不等式等价于20，恒成立，所以a=0符合条件.

a0a0当a0时，不等式等价于，即2 ，解得：0a8，

0a8a0所以a的范围为0a8. 故答案为： 0a8.

16．有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为a，b，1，现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得长方体高的最大值为________； 解析：依题意ab2，设新长方体高为h，

222(a1)(b2)ab2ab242ab则(a1)(b2)h2，∴h221，当且仅当2ab时等号成立．

422ab422411∴h的最大值为．故答案为．

4417．若a∈R，则

a2＋14a＋5

2

的最小值为________．

a2＋14（a2＋5）＋992

解析：2＝＝a＋5＋≥2

a＋5a2＋5a2＋5＝

9

，即a＝±2 时等号成立．答案：6 a2＋5

a2＋5·

92

＝6，当且仅当a＋5a2＋5

18．若正数a，b满足a＋b＝1，则

11＋的最小值为________． 3a＋23b＋2

3b＋2＋3a＋2a＋b21117

＝(当解析：由a＋b＝1，知＋＝＝，又ab≤

43a＋23b＋2（3a＋2）（3b＋2）9ab＋102149

且仅当a＝b＝2时等号成立)，所以9ab＋10≤4，所以19．已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．

(1)若不等式的解集是{x|x<－3或x>－2}，求k的值； (2)若不等式的解集是R，求k的取值范围．

解：(1)因为不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，所以－3，－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根且k<0.



由根与系数的关系得

2

解得k＝－5.

(2)因为不等式的解集为R，

k<0，k<0，

所以即66Δ＝4－4k·6k<0，k>或k<－66.

－3－3

×－2＋

－2

＝6，

744

≥7. 答案：7

9ab＋10

2＝k，

6

所以k<－6.

6

即k的取值范围是k<－6.

20．已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.

(1)若a＝2，试求函数y＝

f

x

x(x>0)的最小值；

(2)对于任意的x∈{x|0≤x≤2}，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．

解：(1)依题意得y＝

f

x2－4x＋1x1＝＝x＋xxx－4.

1

因为x>0，所以x＋x≥2.

1

当且仅当x＝x，即x＝1时，等号成立． 所以y≥－2. 故当x＝1时，y＝

f

x

x的最小值为－2.

(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，所以要使得“任意的x∈{x|0≤x≤2}，不等式f(x)≤a成立”，只要“x2－2ax－1≤0在0≤x≤2上恒成立”．不妨设g(x)＝x2－2ax－1，

则只要g(x)≤0在0≤x≤2上恒成立． g所以

g

02≤0，

0－0－1≤0，

即 ≤0，4－4a－1≤0，

3

解得a≥4.

3

所以a的取值范围是a≥4.

321．已知关于x的不等式2kx2kx0．

8（1）若不等式的解集为{𝑥|−<𝑥<1}，求实数k的值；

2（2）若不等式的解集为R，求实数k的取值范围．

3

33

解：（1）若关于x的不等式2kx2kx0的解集为{𝑥|−<𝑥<1}，

28333则和1是2kx2kx0的两个实数根，由韦达定理可得3，

182822k1求得k．

82k03（2）若关于x的不等式2kx2kx0解集为R，则k0，或， 28k3k0求得k0或3k0，

故实数k的取值范围为−3<𝑘≤0． 22．设f(x)ax2(1a)xa2．

（1）若不等式f(x)2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式f(x)a1（aR）．

解：（1）由题意，不等式f(x)2对于一切实数x恒成立，等价于ax2(1a)xa≥0对于一切实数x恒成立．

当a0时，不等式可化为x0，不满足题意；

a0a01a当a0时，满足，即，解得． 22301a4a0（2）不等式f(x)a1等价于ax2(1a)x10．

当a0时，不等式可化为x1，所以不等式的解集为{x|x1}； 当a0时，不等式可化为(ax1)(x1)0，此时所以不等式的解集为{x|x1}； 当a0时，不等式可化为(ax1)(x1)0， ①当a1时，11，不等式的解集为{x|x1}； a1a11， a②当1a0时，111，不等式的解集为xx或x1；

aa③当a1时，111，不等式的解集为xx1或x．

aa23．某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起，包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞收入50万元．

(1)问捕捞几年后总利润最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后平均利润最大，最大是多少？ 解：(1)设该船捕捞n年后的总利润为y万元．则

n（n－1）

y＝50n－98－12×n＋×4

2＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102.

所以当捕捞10年后总利润最大，最大是102万元． y

(2)年平均利润为n＝ 49n＋－20≤－2(2－2n

4949

n·n－20)＝12，当且仅当n＝n，即n＝7时等号成立．

所以当捕捞7年后平均利润最大，最大是12万元． 24．设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.

解：(1)当a＝0时，不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}． 1

(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－a.

111

①当a<－2时，解不等式得－a1

②当a＝－2时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；

111

③当－2④当a>0时，解不等式得x<－a或x>2，即原不等式的解集为xx <－a 或x>2. 