初中数学中考垂径定理(含答案解析)

垂径定理

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 如图，⊙𝑂的直径𝐶𝐷=20，AB是⊙𝑂的弦，𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，垂

足为M，OM：𝑂𝐶=3：5，则AB的长为( )

A. 8 B. 12 C. 16 D. 2√91

AB为⊙𝑂的直径，𝐵𝐸=4，2. 如图，弦𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于E，已知𝐶𝐷=16，

则⊙𝑂的直径为( )

A. 8 B. 10 C. 15 D. 20

3. 如图，⊙𝑂的直径CD为26，弦AB的长为24，且𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，垂足为M，则CM的

长为

A. 25 B. 8 C. 5 D. 13

4. 如图，⊙𝑂的直径CD为26，弦AB的长为24，且𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，垂足为M，则CM的

长为

A. 25 B. 8 C. 5 D. 13

5. 下列语句，错误的是( )

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A. 直径是弦

C. 弦的垂直平分线一定经过圆心

B. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 平分弧的半径垂直于弧所对的弦

6. 如图，在⊙𝑂中，AB是弦，半径𝑂𝐶⊥𝐴𝐵，垂足为𝐷.要使四边

形OACB为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是( )

A. 𝐴𝐷=𝐵𝐷 B. 𝐴𝐶=𝑂𝐶 C. ∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐵𝐷 D. ∠𝑂𝐶𝐴=∠𝑂𝐶𝐵

7. 如图，AB是⊙𝑂的直径，若沿着AB将⊙𝑂折叠，圆上点

C与点D是对应点，连接CD与AB交于点M，则𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，下列结论不成立的是( )

A. 𝐶𝑀=𝐷𝑀 B. 𝐶𝐵⌢

=𝐷𝐵⌢

C. 𝐴𝐶⌢

=𝐴𝐷⌢

D. 𝑂𝑀=𝐵𝑀

8. 如图所示，⊙𝑂的半径为13，弦AB的长度为24，

𝑂𝑁⊥𝐴𝐵，垂足为N，则ON的长为( )

A. 5 B. 7 C. 9 D. 11

9. 如图，AB是⊙𝑂的直径，𝐴𝐵=10，弦𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点E，

若𝑂𝐴:𝑂𝐸=5:3，则弦CD的长为( )

A. 3 B. 4 C. 6 D. 8

10. 如图，AB是⊙𝑂的直径，弦CD交AB于点P，𝐴𝑃=2，

𝐵𝑃=6，∠𝐴𝑃𝐶=30°，则CD的长为( )

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A. √15 B. 2√5 C. 2√15 D. 8

二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）

11. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，

过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是______．

12. 如图，在平面直角坐标系中，⊙𝑂的半径为4，弦AB的

长为3，过点O作𝑂𝐶⊥𝐴𝐵于点C，则OC的长度是________；⊙𝑂内一点D的坐标为(−2,1)，当弦AB绕点O顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是________．

13. ⊙𝑂的直径为10cm，弦𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵=8𝑐𝑚，𝐶𝐷=6𝑐𝑚，则AB和CD的距离是

______cm．

14. 已知⊙𝑂的半径为10cm，AB，CD是⊙𝑂的两条弦，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵=16𝑐𝑚，𝐶𝐷=

12𝑐𝑚，则弦AB和CD之间的距离是______cm． ⏜，某同学要15. 如图，舞台地面上有一段以点O为圆心的𝐴𝐵

⏜的中点C的位置上．站在𝐴𝐵于是他想：只要从点O出发，⏜上，⏜的中点 𝐶.沿着与弦AB垂直的方向走到𝐴𝐵就能找到𝐴𝐵老师肯定了他的想法．

(1)请按照这位同学的想法，在图中画出点C； (2)这位同学确定点C所用方法的依据是______． 16. 如图，AB是⊙𝑂的直径，弦CD交

AB于点P，𝐴𝑃=2，𝐵𝑃=6，∠𝐴𝑃𝐶=30°，则CD的长为____．

第3页，共14页

𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于E，17. 如图，在⊙𝑂中，若∠𝐵𝐴𝐷=30°，且𝐵𝐸=2，

则𝐶𝐷=______．

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：连接OA，

∵⊙𝑂的直径𝐶𝐷=20，OM：𝑂𝐶=3：5， ∴𝑂𝐶=10，𝑂𝑀=6， ∵𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，

∴𝐴𝑀=√𝑂𝐴2−𝑂𝑀2=√102−62=8， ∴𝐴𝐵=2𝐴𝑀=16． 故选：C．

连接OA，先根据⊙𝑂的直径𝐶𝐷=20，OM：𝑂𝐶=3：5求出OC及OM的长，再根据勾股定理可求出AM的长，进而得出结论．

本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

2.【答案】D

【解析】解：连接OC，

∵𝐴𝐵为⊙𝑂的直径，弦𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于E， ∴𝐶𝐸=𝐶𝐷=8，

21

设⊙𝑂的半径为r，则𝑂𝐶=𝑂𝐵=𝑟， ∵𝑂𝐶2=𝑂𝐸2+𝐶𝐸2，即𝑟2=82+(𝑟−4)2 解得𝑟=10，

∴⊙𝑂的直径=2𝑟=20， 故选：D．

连接𝑂𝐶.根据垂径定理和勾股定理求解．

此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．

3.【答案】B

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【解析】 【分析】

本题主要考查垂径定理和勾股定理．

连接OA，根据垂径定理可知𝐴𝑀=2𝐴𝐵，在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝑀中，利用勾股定理求出OM，即可求得答案． 【解答】 解： 连接OA，

1

∵𝐶𝐷为⊙𝑂的直径，且𝐴𝐵⊥𝐶𝐷， ∴𝐴𝑀=𝐵𝑀=2𝐴𝐵=12， 在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝑀中，由勾股定理可得： 𝑂𝑀=√𝐴𝑂2−𝐴𝑀2=√132−122=5， ∴𝐶𝑀=𝑂𝐶−𝑂𝑀=13−5=8， 故选B．

1

4.【答案】B

【解析】 【分析】

此题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．

连接OA，由垂径定理得到M为AB中点，求出AM的长，在直角三角形AOM中，利用勾股定理求出OM的长，即可解答． 【解答】 解：连接OA．

第6页，共14页

∵直径𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，𝐴𝐵=24，𝐶𝐷=26， ∴𝐴𝑀=𝐵𝑀=12，𝑂𝐴=𝑂𝐶=13， 在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝑀中，𝑂𝐴=13，𝐴𝑀=12， 根据勾股定理得：𝑂𝑀=√132−122=5， 则𝐶𝑀=𝑂𝐶−𝑂𝑀=13−5=8， 故选：B．

5.【答案】B

【解析】解：直径是弦，A正确，不符合题意；

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误，符合题意； 弦的垂直平分线一定经过圆心，C正确，不符合题意； 平分弧的半径垂直于弧所对的弦，D正确，不符合题意； 故选：B．

根据圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，圆的有关概念判断即可．

本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，掌握圆的有关概念、垂径定理是解题的关键．

6.【答案】B

【解析】 【分析】

此题主要考查了菱形的判定以及垂径定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．

先证明△𝐴𝑂𝐶是等边三角形，得出𝐷𝑂=𝐶𝐷，利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，进而求出即可． 【解答】

解：𝐴𝐶=𝑂𝐶.理由如下：

∵在⊙𝑂中，AB是弦，半径𝑂𝐶⊥𝐴𝐵， ∴𝐴𝐷=𝐷𝐵， ∵𝐴𝐶=𝑂𝐶=𝑂𝐴， ∴△𝐴𝑂𝐶是等边三角形， ∴𝐷𝑂=𝐶𝐷，

∴𝐴𝐷=𝐵𝐷，𝐷𝑂=𝐶𝐷，𝐴𝐵⊥𝐶𝑂，

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∴四边形OACB为菱形， 故选B．

7.【答案】D

【解析】 【分析】

⏜的本题考查垂径定理，由𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，利用垂径定理得到M为CD的中点，点B为劣弧𝐶𝐷⏜的中点，可得出A，B，C选项成立，而OM不一定等于BM，得中点，点A为优弧𝐶𝐴𝐷出选项D不成立． 【解答】

解：∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，弦𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，垂足为M， ∴点M为CD的中点，即𝐶𝑀=𝐷𝑀，选项A成立； ⏜的中点，即𝐶𝐵⏜=𝐵𝐷⏜，选项B成立； 点B为劣弧 𝐶𝐷

⏜的中点，即𝐴𝐶⏜=𝐴𝐷⏜，选项C成立； 点A为优弧𝐶𝐴𝐷

而OM与BM不一定相等，选项D不成立． 故选D．

8.【答案】A

【解析】 【分析】

本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题． 根据⊙𝑂的半径为13，弦AB的长度是24，𝑂𝑁⊥𝐴𝐵，可以求得AN的长，从而可以求得ON的长． 【解答】 解：由题意可得，

𝑂𝐴=13，∠𝑂𝑁𝐴=90°，𝐴𝐵=24， ∴𝐴𝑁=12，

∴𝑂𝑁=√𝑂𝐴2−𝐴𝑁2=√132−122=5， 故选A．

9.【答案】D

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【解析】 【分析】

𝐴𝐵=10，本题主要考查的是垂径定理，勾股定理的有关知识，根据AB是⊙𝑂的直径，得到𝐴𝑂=5，根据𝑂𝐴:𝑂𝐸=5:3得到OE的值，然后利用勾股定理求出CE，进而求出CD． 【解答】

解：∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝐴𝐵=10， ∴𝐴𝑂=2𝐴𝐵=2×10=5， ∵𝑂𝐴：𝑂𝐸=5：3， ∴𝑂𝐸=3，

在𝑅𝑡△𝑂𝐶𝐸中，𝐶𝐸2=𝑂𝐶2−𝑂𝐸2， ∴𝐶𝐸=√𝑂𝐶2−𝑂𝐸2=√52−32=4， 则𝐶𝐷=2𝐶𝐸=2×4=8， 故选D．

1

1

10.【答案】C

【解析】 【分析】

本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．

作𝑂𝐻⊥𝐶𝐷于H，连结OC，如图，根据垂径定理由𝑂𝐻⊥𝐶𝐷得到𝐻𝐶=𝐻𝐷，再利用𝐴𝑃=2，𝐵𝑃=6可计算出半径𝑂𝐴=4，则𝑂𝑃=𝑂𝐴−𝐴𝑃=2，接着在𝑅𝑡△𝑂𝑃𝐻中根据含30度的直角三角形的性质计算出𝑂𝐻=2𝑂𝑃=1，然后在𝑅𝑡△𝑂𝐻𝐶中利用勾股定理计算出𝐶𝐻=√15，所以𝐶𝐷=2𝐶𝐻=2√15． 【解答】

解：作𝑂𝐻⊥𝐶𝐷于H，连结OC，如图，

1

∵𝑂𝐻⊥𝐶𝐷，

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∴𝐻𝐶=𝐻𝐷， ∵𝐴𝑃=2，𝐵𝑃=6， ∴𝐴𝐵=8， ∴𝑂𝐴=4，

∴𝑂𝑃=𝑂𝐴−𝐴𝑃=2， 在𝑅𝑡△𝑂𝑃𝐻中， ∵∠𝑂𝑃𝐻=30°， ∴∠𝑃𝑂𝐻=60°， ∴𝑂𝐻=𝑂𝑃=1，

21

在𝑅𝑡△𝑂𝐻𝐶中， ∵𝑂𝐶=4，𝑂𝐻=1， ∴𝐶𝐻=√𝑂𝐶2−𝑂𝐻2=√15， ∴𝐶𝐷=2𝐶𝐻=2√15． 故选C．

11.【答案】(2,1)

【解析】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是(2,1)． 故答案为：(2,1)．

根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．

本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分线”．

55√55

12.【答案】√2−√5 2

【解析】 【分析】

本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．连接OB，根据垂径定理求出BC，根据勾股定理计算求出OC，根据勾股定理求出OD，求出点D到AB的距离的最小值．

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【解答】 解：连接OB， ∵𝑂𝐶⊥𝐴𝐵， ∴𝐵𝐶=𝐴𝐵=，

22

由勾股定理得，𝑂𝐶=√𝑂𝐵2−𝐵𝐶2=√，

255

1

3

当𝑂𝐷⊥𝐴𝐵时，点D到AB的距离的最小， 由勾股定理得，𝑂𝐷=√22+12=√5， ∴点D到AB的距离的最小值为√55−√5，

2

故答案为：√；√

2

5555

2

−√5．

13.【答案】7或1

【解析】解：分两种情况考虑：

当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示， 过O作𝑂𝐹⊥𝐴𝐵，交AB于点F，交CD于点E，连接OA，OC， ∵𝐴𝐵//𝐶𝐷， ∴𝑂𝐸⊥𝐶𝐷，

∴𝐹、E分别为AB、CD的中点，

∴𝐴𝐹=𝐵𝐹=𝐴𝐵=4，𝐶𝐸=𝐷𝐸=𝐶𝐷=3，

2

2

1

1

在𝑅𝑡△𝐶𝑂𝐸中， ∵𝑂𝐶=5，𝐶𝐸=3， ∴𝑂𝐸=√52−32=4，

在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐹中，𝑂𝐴=5，𝐴𝐹=4， ∴𝑂𝐹=√52−42=3， ∴𝐸𝐹=𝑂𝐸−𝑂𝐹=4−3=1；

当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得𝐸𝐹=4+3=7， 综上，弦AB与CD的距离为7或1． 故答案为：7或1．

分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作𝑂𝐸⊥𝐶𝐷，交CD于点E，交AB于点F，连接OA，OC，由𝐴𝐵//𝐶𝐷，得到𝑂𝐸⊥𝐴𝐵，利用垂径定理得到

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E与F分别为CD与AB的中点，在直角三角形AOF中，利用勾股定理求出OF的长，在三角形COE中，利用勾股定理求出OE的长，由𝑂𝐸−𝑂𝐹即可求出EF的长；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理由𝑂𝐸+𝑂𝐹求出EF的长即可．

本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．

14.【答案】2或14

【解析】 【分析】

本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【解答】

解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，

∵𝐴𝐵=16𝑐𝑚，𝐶𝐷=12𝑐𝑚， ∴𝐴𝐸=8𝑐𝑚，𝐶𝐹=6𝑐𝑚， ∵𝑂𝐴=𝑂𝐶=10𝑐𝑚， ∴𝐸𝑂=6𝑐𝑚，𝑂𝐹=8𝑐𝑚， ∴𝐸𝐹=𝑂𝐹−𝑂𝐸=2𝑐𝑚；

②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，

∵𝐴𝐵=16𝑐𝑚，𝐶𝐷=12𝑐𝑚， ∴𝐴𝐹=8𝑐𝑚，𝐶𝐸=6𝑐𝑚， ∵𝑂𝐴=𝑂𝐶=10𝑐𝑚， ∴𝑂𝐹=6𝑐𝑚，𝑂𝐸=8𝑐𝑚， ∴𝐸𝐹=𝑂𝐹+𝑂𝐸=14𝑐𝑚．

∴𝐴𝐵与CD之间的距离为14cm或2cm．

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故答案为2或14．

15.【答案】解：(1)如图所示，点C即为所求．

(2)这位同学确定点C所用方法的依据是：垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧．

【解析】本题主要考查作图−应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握垂径定理及线段中垂线的尺规作图．

(1)连接AB，作弦AB的垂直平分线即可得； (2)根据垂径定理可得．

16.【答案】2√15

【解析】解：作𝑂𝐻⊥𝐶𝐷于H，连结OC，如图， ∵𝑂𝐻⊥𝐶𝐷， ∴𝐻𝐶=𝐻𝐷， ∵𝐴𝑃=2，𝐵𝑃=6， ∴𝐴𝐵=8， ∴𝑂𝐴=4，

∴𝑂𝑃=𝑂𝐴−𝐴𝑃=2，

在𝑅𝑡△𝑂𝑃𝐻中，∵∠𝑂𝑃𝐻=30°， ∴∠𝑃𝑂𝐻=60°， ∴𝑂𝐻=2𝑂𝑃=1，

在𝑅𝑡△𝑂𝐻𝐶中，∵𝑂𝐶=4，𝑂𝐻=1， ∴𝐶𝐻=√𝑂𝐶2−𝑂𝐻2=√15， ∴𝐶𝐷=2𝐶𝐻=2√15． 故答案为：2√15

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1

作𝑂𝐻⊥𝐶𝐷于H，连结OC，如图，根据垂径定理由𝑂𝐻⊥𝐶𝐷得到𝐻𝐶=𝐻𝐷，再利用𝐴𝑃=2，𝐵𝑃=6可计算出半径𝑂𝐴=4，则𝑂𝑃=𝑂𝐴−𝐴𝑃=2，接着在𝑅𝑡△𝑂𝑃𝐻中根据含30度的直角三角形的性质计算出𝑂𝐻=2𝑂𝑃=1，然后在𝑅𝑡△𝑂𝐻𝐶中利用勾股定理计算出𝐶𝐻=√15，所以𝐶𝐷=2𝐶𝐻=2√15．

本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．

1

17.【答案】4√3

【解析】解：∵∠𝐵𝐴𝐷=30°，𝐵𝐸=2， ∴∠𝐶=∠𝐵𝐴𝐷=30°． ∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，

∴∠𝐶𝐸𝐵=90°，𝐶𝐷=2𝐶𝐸， ∴𝐵𝐶=2𝐵𝐸=4，

∴𝐶𝐸=√𝐵𝐶2−𝐵𝐸2=√42−22=2√3， ∴𝐶𝐷=2𝐶𝐸=4√3． 故答案为：4√3．

先根据圆周角定理求出∠𝐶的度数，再由𝐶𝐷⊥𝐴𝐵可知∠𝐶𝐸𝐵=90°，𝐶𝐷=2𝐶𝐸，由直角三角形的性质求出BC的长，根据勾股定理求出CE的长，进而可得出结论． 本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．

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