《简单的排列》

《排列问题》教学设计

教学目标：

1.利用已有经验认识和了解简单的“排列”,掌握解决问题的策略和方法，体会解决问题策略的多样性。

2.培养初步的观察、分析及推理能力,能有序地、全面地思考问题。

3.尝试用数学的方法来解决生活中的实际问题,感受数学在现实生活中的广泛应用。 4.在数学活动中养成与人合作的良好习惯,并初步学会表达解决问题的大致过程和结果。

重点难点：

重点：培养学生的思维方法。 难点：根据需要引导总结计算规律。

教、学具准备：教具：（1）小冬、小华、小平名字卡片各一张；（2）甲、乙、丙、丁各一张；（3）板书的方法各一张；（4）探究过程各一张；（5）红色彩笔。学具：（1）30个信封；（2）30张记录单；（3）小冬、小华、小平名字卡片各30张。

教学过程：

一、创设数学情境，提出数学问题

师：同学们，你们喜欢照相吗？（课件变换）小冬、小华、小平、小刚四位小朋友也很喜欢照相，请大家猜测一下，如果他们四人排成一行照相，会有几种不同的排法呢？

生可能：4种、6种、12种、18种…… 二、组织有效教学，探究数学本质 1、确定研究思路

师：相信同学们都有了自己的想法，其实排列问题是一个很有趣的数学问题。既然是数学问题，就有其内在的规律和方法等着我们去探究发现，大家有信心吗？（生：有）今天我们就借助照相问题来一起走进对“排列问题”的研究。（板书：排列问题）

师：既然是排列，就一定和人数的多少有关系。大家想一想，如果要探究其中的规律和方法，我们应该先选择多少人来进行研究比较合适呢？

生可能1：1人。 生可能2：2人。

生可能3：先从人数少的情况开始研究，然后再研究人数多的情况。

师总结：也就是说先研究人数比较简单的，再研究人数比较复杂的，这其实是我们数学

学习中常用的一种研究方法——化繁为简（教师板贴），今天我们就用这种方法来研究排列问题。

2、研究两人的排列问题

师：下面我建议咱们先来研究两人照相排列的情况，好不好？我们就以小冬和小华为例来进行研究，如果这两人排成一行照相，会有几种不同的排法呢？（板贴小冬和小华的名字卡片）

生可能1：两种：小冬、小华；小华、小冬。 师：大家同意吗？

师：（教师随机课件展示）通过思考我们发现，2人排列时有两种排列方法，即小冬排第一位，小华排第二位有1种。小华排第一位，小冬排第二位又有1种，大家能不能把排列的结果用简单的数学算式表示出来呢？

生可能：1+1。

师：用乘法该怎样表示呢？ 生：2×1。 （教师相机板书） 3、研究3人排列的问题

师：如果三个排成一行照相，又有几种不同的排法？下面请同学们以同桌两人为一小组借助信封中的名字卡片一边摆一边将排法填写在操作记录单上。（为学生准备信封和学具卡片）

排列人数 具体排法 排列总数 人 种 生以小组为单位进行研究。

（先让一组学生汇报，其他生再互相交流补充。） 生可能1：（随机排）

师评价：这种方法虽然听起来虽然有点乱，但这位同学还是很细心，找到了6种不同的排法。

师：还有不同排法吗？

生可能2：可以先把小冬放在第一位，其余小华和小平调换位置,有2种排法；再把小华放在第一位，小冬和小平再调换位置，有2种排法；最后把小平放在第一位，小冬与小华调

换位置，又有2种排法，这样共有6种排法。

师：这个小组也找到了6种不同的排法，他们用的是什么排法呢？这种排法有什么特点呢？谁来说一说。（互动强调）

生可能2：可以先把小冬放在第一位，小华和小平调换位置,有2种排法；再把小冬放在第二位，小华和小平再调换位置，有2种排法；最后把小冬放在第三位，小华与小平调换位置，又有2种排法。这样共有6种排法。（教师巡视引导出这种方法）

师：听明白了吗？他们小组是将同一个人分别固定在第一、第二和第三的位置，然后交换剩余的两个人，共有6种不同的排法。这个小组同学不仅细心，而且用心！

师：还有不同的排法吗？大家用心想一想，哪种排列方法可以使我们在排的过程中，既快又不重复不遗漏呢？（教师相机把排法标上序号）

生：第**种，因为它是按照一定的规律（或顺序）排列。

师：我们把这种按照一定规律排列的方法称为——有序排列，有序排列不仅可以帮助我们提高排列的效率，还可以使排列既不重复又不遗漏。（教师板贴）

师：（出示课件）通过刚才同学们的研究我们发现，如果先把小冬放在第一位，小华和小平调换位置,有2种排法；再把小华放在第一位，小冬和小平再调换位置，有2种排法；最后把小平放在第一位，小冬与小华调换位置，又有2种排法，这样就共有6种排法。大家能不能把排列的结果用数学算式表示呢？

生：3×2。（教师板书） 4、自主练习巩固应用

师：（1）3人照相的排列问题会解决，3人跳舞的排列问题会吗？（2）3个人跳舞的排列问题会，3个数字的排列问题会吗？（3）3人的排列问题会，4个人的排列问题会吗？

（1）小云、小雨、小雪3位同学排成一行跳舞，可以有多少种不同的排法？（直接让生说一说）

（2）用0、3、4三张数字卡片，你能摆出多少个不同的三位数？（让生写一写，然后说一说）

（3）甲、乙、丙、丁4位同学排成一行表演小合唱，甲同学担任领唱。为了让她靠近麦克风，需把她安排在左起第二的位置上，其余的同学任意排列，有多少种不同的排法？（让生写一写，然后投影展示）

三、致力核心问题，建立数学模型 1、研究4人排列的问题

师：通过研究我们发现，3人排列的时候有6种排列方法，为什么4人排列的时候也有

6种排列方法呢？

生：因为甲被固定在了第二位不动，实际上我们排列的是其他三位同学。

师：如果甲、乙、丙、丁这四位同学任意排列，又会有多少种不同的排法呢？现在我们不写了，请同学们在头脑中摆一摆，然后将自己的想法跟你的同桌交流一下。（板贴学具卡片：甲、乙、丙、丁）

学生小组合作讨论、交流，教师巡视指导。 师：一共有多少种排法呢？谁来给大家讲一讲？ 生：24种。

师：为什么？你是怎样想的呢？

组可能1：让甲排在第一位，然后乙、丙、丁交换位置，得出了6种排法。让乙排在第一位，然后甲、丙、丁交换位置，得出了6种排法。让丙排在第一位，然后甲、乙、丁交换位置，得出了6种排法。让丁排在第一位，然后甲、乙、丙交换位置，得出了6种排法，所以会出现24种排法。

组可能2：让甲排在第一位，然后乙、丙、丁交换位置，得出了6种排法。让甲排在第二位，然后乙、丙、丁交换位置，得出了6种排法。让甲排在第三位，然后乙、丙、丁交换位置，得出了6种排法。让甲排在第四位，然后乙、丙、丁交换位置，得出了6种排法，所以会出现24种排法。

师：（出示课件）刚才我们发现了两种方法：第一种方法，当甲排第一位时，有6种排列方法。依次类推，当乙排第一位时，有6种排列方法。当丙排第一位时，有6种排列方法。当丁排第一位时，有6种排列方法。第二种方法，当甲排第一位时，有6种排列方法。依次类推，当甲排第二位时，有6种排列方法。当甲排第三位时，有6种排列方法。当甲排第四位时，有6种排列方法。

大家能不能把排列的结果用数学算式来表示出来呢？ 生：4×6。（教师相机板书）

师：你们真聪明，现在我们解决了甲、乙、丙、丁4人任意排列的问题，大家看小冬、小华、小平和小刚4人照相排列的问题，我们有没有解决啊？应该有多少种排列方法呢？（24种）再来看一下我们的猜测（看猜测是否正确），猜测虽然不正确（或有一个正确），更重要的是我们发现了两种研究排列问题的方法：化繁为简和有序排列。

2、梳理过程，推想规律

师：4人排列的问题解决了，5人排列又会有多少种排法呢？现在我们不摆了，大家仔细观察一下这些算式，根据刚才的经验推想一下，5人排列的算式是什么。下面就请同学们

同桌先独立思考，然后小组交流一下。

人数 算式 排法总数 生小组讨论，师巡视指导。

师：到底有多少种呢？ 生：120种。

师：太聪明了！你是怎样想出来的？

生：每一种的结果都是用排列的人数去乘上一次排列的结果，所以5个人排列就有5×24=120种。

师：奥，每一种排列的结果都是用排列的人数去乘上一次排列的结果，大家发现这个规律了吗？现在，谁能很快说出6人排列的算式呢？

生：6×120.

师：谁能很快说出10人排列的算式呢？ 生困难重重。

师：为什么现在不能很快说出来了？到底缺少了什么呢？ 生：缺少了9人的排列结果。

师：没有了中间数的排列结果就不能写出10人的排列方法吗？看来里面还藏着新的规律和方法，下面让我们进行进一步的推想。

师：我们就以3人排列为例，3×2中的2实际上几人排列的结果，（生2人）所以我们可以把2替换成2×1来表示，这样这个算式就变成了3×2×1了。同样，我们再来看4人排列的情况，4×6中的6实际上几人排列的结果，（生3人）所以我们可以把6替换成3×2×1，这样这个算式就变成了4×3×2×1。现在大家又发现了什么呢？

生：第一个数就是排列的人数，然后依次往下乘，一直乘到1为止。 师：那么10个人任意排列的算式是什么呢？ 生：10×9×8×……×3×2×1 师：15人全排列呢？20人呢？ 生自由说。

2 3 4 5 6 7 …… 2×1 3×2×1 4×3×2×1 5×4×3×2×1 6×5×4×3×2×1 7×6×5×4×3×2×1 …… 2 6 24 120 720 5040 …… 师：看来同学们真的明白了！请同学们认真观察一下，每个乘法算式像不像一个个阶梯一样啊？其实这种乘法方式叫做阶乘，它是由19世纪法国著名数学家基斯顿·卡曼于1808年发明的，阶乘被广泛地应用于计算机科学领域，为人类做出了巨大的贡献。

师：随着学习的不断深入，在以后的学习中同学们将会对阶乘的认识会更加深刻。 四、深化经验成果，升华数学内涵

师：回顾整个探究过程，我们先根据生活问题进行猜测（板贴），然后运用化繁为简和有序排列的方法进行了验证（板贴），然后对排列的方法进行了推想（板贴），最后发现了规律，得到出了结论（板贴），在整个探究过程中，你有哪些收获？

生自由说。

师：实际上，在我们的生活中有很多的排列问题，如路队、做操、赛跑等等，请大家就运用今天所学的知识走进生活，用我们的智慧把自己的生活装点得更加美好吧！

板书设计： 排列问题

猜测 验证 推想 结论 2 3 4 5 6 7 …… 2×1 3×2×1 4×3×2×1 5×4×3×2×1 6×5×4×3×2×1 7×6×5×4×3×2×1 …… 2 6 24 120 720 5040 …… 化繁为简 有序排列