高考数学知识点归类复习资料高中立体几何基础知识点全集(图文并茂)

2. 线面平行：

姓名：

一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行

l α符号表示：

2. 线面相交

lAα符号表示：

3. 线在面内

αl符号表示：

二．平行关系： 1. 线线平行：

方法一：用线面平行实现。ll//ll//m mm

方法二：用面面平行实现。

l//βγll//m αmm方法三：用线面垂直实现。 若l,m，则l//m。 方法四：用向量方法：

若向量l和向量m共线且l、m不重合，则l//m。 方法一：用线线平行实现。

ll//mmml// αl方法二：用面面平行实现。

βl//ll// α方法三：用平面法向量实现。

若n为平面的一个法向

nl量，nl且l,则

αl//。

3. 面面平行：

方法一：用线线平行实现。

l//l'βmlm//m'l,m且相交//αm'l'l',m'且相交方法二：用线面平行实现。

l////βmlm//l,m且相交α

三．垂直关系：

1. 线面垂直：

方法一：用线线垂直实现。

lAClABlACABAl

AC,ABαACB1

方法二：用面面垂直实现。

步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理：

aβlml 222cmlm,lα

2. 面面垂直：

方法一：用线面垂直实现。

βlll α

方法二：计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直：

方法一：用线面垂直实现。

llmlm

mα

方法二：三垂线定理及其逆定理。

PPOlOAlPA AOlαl

方法三：用向量方法：

若向量l和向量m的数量积为0，则lm。 三．夹角问题。 (一) 异面直线所成的角： (1) 范围：(0,90] (2)求法： 方法一：定义法。

步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。

cosabc2ab

θb(计算结果可能是其补角)

方法二：向量法。转化为向量的夹角 C(计算结果可能是其补角)：

θAcosABAC

BABAC(二) 线面角

(1)定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO于O,连结AO，

则AO为斜线PA在面内的射影，PAO(图中)为直线l与面所成的角。PαAθO

(2)范围：[0,90]

当0时，l或l// 当90时，l (3)求法： 方法一：定义法。

步骤1：作出线面角，并证明。 步骤2：解三角形，求出线面角。

方法二：向量法(n为平面的一个法向量)。

sincosn,AP

nPθαAO2

nAPnAP

nn2步骤一：计算cosn1n21

n1n2

(三) 二面角及其平面角

(1)定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角为二面角—l—的平面角。

mnPl步骤二：判断与n1n2的关系，可能相等或

者互补。 四．距离问题。 1．点面距。 方法一：几何法。

P

(2)范围：[0,180] (3)求法： 方法一：定义法。

步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。 步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。 方法二：截面法。

步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面和，则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。 步骤2：解三角形，求出二面角。

βPθαO

步骤1：过点P作PO于O，线段PO即为所求。 步骤2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法) 方法二：坐标法。

nαAθPOAOdAPcosnAP

nAPn

2．线面距、面面距均可转化为点面距。 3．异面直线之间的距离 方法一：转化为线面距离。

mnA

如图，m和n为两条异面直线，n且

方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。

m//，则异面直线m和n之间的距离可转化为直

线m与平面之间的距离。

n1θn2方法二：直接计算公垂线段的长度。 方法三：公式法。

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BcaAm则ab ab ab cosab

六．常见几何体的特征及运算 (一) 长方体

1. 长方体的对角线相等且互相平分。

2. 若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为、、，则cos2+cos2+cos2dnbDm'C如图，AD是异面直线m和n的公垂线段，

m//m'，则异面直线m和n之间的距离为：

dc2a2b22abcos

五．空间向量 (一)空间向量基本定理

若向量a,b,c为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量p，都存在唯一的有序实数对



αβγβαγ

x、y、z，使得pxaybzc。

(二) 三点共线，四点共面问题 1. A，B，C三点共线

若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为、、，则cos2+cos2+cos2 3.若长方体的长宽高分别为a、b、c，则体对角线长为 ，表面积为 ，体积为 。 (二) 正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。

(三) 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。 (四) 正多面体：每个面有相同边数的正多边形，且

每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。 (只有五种正多面体)

(五) 棱锥的性质：平行于底面的的截面与底面相似，

且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。

正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。

(六) 体积：V棱柱 V棱锥 (七) 球

1.定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。

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OAxOByOC，且xy1

1当xy时，A是线段BC的 2A，B，C三点共线ABAC 2. A，B，C，D四点共面

OAxOByOCzOD，且xyz1

1当xyz时，A是△ABC的 3A，B，C，D四点共面ABxACyAD (三)空间向量的坐标运算

1. 已知空间中A、B两点的坐标分别为：

A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2) 则：

AB ;dA,BAB

2. 若空间中的向量a(x1,y1,z1)，b(x2,y2,z2)

2. 设球半径为R，小圆的半径为r，小圆圆心为O1，球心O到小圆的距离为d，则它们三者之间的数量关系是 。

3. 球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。

4.球的表面积公式： 体积公式：

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