无理数的发现——第一次数学危机 大约在公元前５世纪，不可通约量的发 现导致了毕达哥拉斯悖论．当时的毕达哥拉斯 学派极其重视对自然及社会中不变因素的研 究，把几何、算术、天文、音乐称为“四艺”，在 其中追求宇宙的和谐规律．他们认为：宇宙间 的一切事物都可归结为整数或整数之比．毕达 哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定 理．但也因此发现了一些直角三角形的斜边 不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情 形．如直角边长均为１的等腰直角三角形就 是如此．这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本 信条。导致了当时认识上的危机，从而产生了 第一次数学危机． 到了公元前３７０年，这个矛盾被毕氏学 派的欧多克斯用给比例下新定义的方法解决 了．他处理不可通约量的方法．出现在欧几里 得的《原本》第５卷中．欧多克斯和狄德金于 １８７２年给出的对无理数的解释与现在我们所 学的解释基本一致．今天．中学几何课本中对 相似三角形的处理，仍然能反映出由不可通 要的公式．牛顿认为无穷小量既等于零又不等 约量带来的某些困难和微妙之处．第一次数 于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬的．无穷 学危机对当时古希腊的数学观点有极大的冲 小量究竟是不是零？对无穷小的处理及分析 是否合理？这引起了数学界甚至哲学界长达 一个半世纪的争论．导致了数学史上的第二 数学灾上的三次危机 次危机． １８世纪的数学思想的确是不严密的，直 观地强调形式的计算而不管基础是否牢靠．０舀囝 特 别是：没有清楚的无穷小的概念，从而导致导 数、微分、积分等的概念也不清楚，还导致了 发散级数求和的任意性、符号的不严格使用、 不考虑连续性就进行微分、不考虑导数及积 分的存在性以及函数可否展成幂级数就进行 计算等． 直到ｌ９世纪２０年代，一些数学家才比 较关注微积分的严格基础．从波尔查诺、阿贝 尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始。到威尔 ２００９年７．８月 现在还没有解决到令人满意的程度这次危机．第的《算术的基本法则》工2卷的末尾写道：，“一是由于在康托的．一般集合理论的边缘发现了，位科学家不会碰到比这更难堪的事情了即在作完成之时它的基础却垮掉了当本书等，悖论而造成的当时集合的概念已经渗透到众多的数学分支实际上集合论已经成了数，，，待印出的时候罗素先生的，一封信就把我置于12学的基础因此集合论中发现悖论自然引起．，，这种境地”．于是他终结了近，年的刻苦钻研，．了对数学整个基本结构的有效性的怀疑1897．．承认了无穷集合承认了无穷基数就好一年．福尔蒂揭示了集合论中的第，．像一切灾难都出来了这就是第三次数学危机，．个悖论两年后康托发现了相似的悖论1902的实质尽管悖论可以消除矛盾可以解决然，，年罗素又发现了，一个悖论它除了涉及集合，．而数学的确定性却在理集合论中的，一一步一步地丧失现代公．概念外不涉及别的概念罗素悖论曾被以多种形式通俗化“。大堆公理，简直难说孰真孰，其中最著名的是罗素于”．1919年徐端的理发师的困境某村理发师宣布了这假可是又不能把它们都消除掉它们跟数学是血肉相连的崩黪嘲囊三次危机从表面上看是着})瓣甏漱：他给所有不给自己刮脸的人刮