专升本高等数学知识点汇总
常用知识点：
一、常见函数的定义域总结如下：
（1） y kx b y ax
2
一般形式的定义域： x∈ R
bx c
（2） y k x
分式形式的定义域： x≠ 0
（3） y x 根式的形式定义域： x≥ 0 （4） y
log a x 对数形式的定义域： x＞0
二、函数的性质
1、函数的单调性 当 x1 x2 时，恒有 f ( x1 ) f ( x2 ) ， f (x) 在 x1，
x2 所在的区间上是增加的。 当 x1
x2 时，恒有 f ( x1 )
f ( x2 ) ， f (x) 在 x1，
x2 所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性 定义：设函数 y
f ( x) 的定义区间 D 关于坐标原点对称（即若
x D ，则有 x D ）
(1) 偶函数 f (x) —— x D ，恒有 f ( x) f ( x) 。 (2) 奇函数 f (x) ——
x D ，恒有 f ( x)
f ( x) 。
三、基本初等函数
1、常数函数： y c ，定义域是 (
, ) ，图形是一条平行于 x 轴的直线。
2、幂函数： y x u
， ( u 是常数 )。它的定义域随着 u 的不同而不同。图形过原点。
3、指数函数
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定义 : y
f ( x) a x
， ( a 是常数且 a 0 ， a 1 ). 图形过（ 0,1 ）点。
4、对数函数 定义 : y
f ( x) log a x ， ( a 是常数且 a 0 ， a 1 ) 。图形过（ 1,0 ）点。
5、三角函数
(1) 正弦函数 : y sin x
T 2 ， D( f ) ( , ) ， f (D ) [ 1,1] 。
(2) 余弦函数 :
y cosx.
T 2 ， D( f ) (
,
) ， f (D ) [ 1,1] 。
(3) 正切函数 : y tan x .
T
， D( f ) { x | x R, x (2k 1) 2
, k Z } ， f ( D ) (
,
) .
(4) 余切函数 : y cot x .
T ， D( f ) { x | x R, x k ,k
Z } ， f (D ) (
,
) .
5、反三角函数
(1) 反正弦函数 : y arcsin x ， D( f ) [ 1,1] ， f (D) [ , ] 。
2 2
(2) 反余弦函数 : y arccosx ， D( f ) [ 1,1] ， f (D ) [0, ] 。
(3) 反正切函数 :
y arctanx ， D( f ) (
, ) ， f (D) (
2 , 2
) 。 (4) 反余切函数 : y arccotx ， D( f ) ( ,
) ， f ( D ) (0, ) 。
极限
一、求极限的方法
1、代入法
代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。 ”因此遇到大部分
简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法
（1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。
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二、函数极限的四则运算法则
设 lim x
u
A ， lim x
v B ，则
（1） lim (u v)
x
lim x
u lim x
v
A B （2） lim (ux
v)
lim x
u lim x
v
AB .
推论
（ a) lim (Cx
v) C lim x
v ， ( C 为常数 ) 。
（ b） lim u
n n x
(lim u)
x
（3） limu lim u
x
A x
v
lim v
B
， (
B 0 ).
x
（4）设 P( x) 为多项式 P(x) an
0 x
a1x
n 1
an ， 则 lim P( x) x
xP(x0 )
0
（5）设 P( x), Q( x) 均为多项式， 且 Q(x) 0 ， 则 lim
P(x) P(x0 ) x
x0
Q( x)
Q(x0 )
三、等价无穷小
常 用 的 等 价 无 穷 小 量 代 换 有 ： 当 x
0 时 ， sin x ~ x ， tan x ~ x ， arctanx ~ x ，arcsin x ~ x， ln(1 x) ~ x ， e x 1 ~ x ， 1 cosx ~ 1 2
2
x 。
对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：当 □ 0 时， sin□ ~□ ，其余类
似。
四、两个重要极限
重要极限 I
lim
sin x x
。
x 0
1它可以用下面更直观的结构式表示：
lim sin□
□ 0 □
1 x
重要极限 II
lim 1
1 x
x
e。
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其结构可以表示为：
1
lim 1 □ □
□
e
八、洛必达 (L’Hospital)法则
'
“ 0 ”型和“
”型不定式，存在有 lim f ( x) f (x) 0
）
x a g( x) lim x a g'
( x)
A （或。 一元函数微分学 一、导数的定义
设函数 y
f ( x) 在点 x0 的某一邻域内有定义，当自变量 x 在 x0 处取得增量 x （点
x0
x 仍在该邻域内）时，相应地函数 y 取得增量
y
f ( x0
x)
f ( x0 ) 。如果当
x 0 时，函数的增量
y 与自变量 x 的增量之比的极限 lim
y = f ( x0
x) f (x0 ) x 0 x
lim
x 0
x
= f （ x0） 注意两个符号
x 和 x0 在题目中可能换成其
他的符号表示。
二、求导公式
1、基本初等函数的导数公式 （1） (C ) 0 ( C 为常数 ) （2） ( x ) x
1
（ 为任意常数）
（3） ( a x
)
0, a 1) 特殊情况 ( e )
x
x
ax ln a (a e
（4） (log 1
log 1 1 a x) a e
( x 0, a 0, a 1) ， ( l nx) x x ln a x
（5） (sin x) cosx （6） (cos x) sin x （7） (tan x)
'
1 cos 2
x
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（8） (cot x)
'
1 sin 2
x
（9） (arcsin x) '
1 1 x 1)
1 x
2
( （10） (arccos x)'
1 ( 1 x 1)
1 x 2
（11） (arctanx)
'
1
1 x
2
（12） (arc cot x)
'
1 1
、导数的四则运算公式
x
2
2（1）
[ u( x) v(x)] u (x) v ( x) （2） [ u( x)v(x)] u ( x)v(x) u( x)v (x)
（3） [ ku]
ku （ k 为常数）
（4）
u(x) u ( x) v( x) u(x)v ( x)
v(x)
v 2
( x) 3、复合函数求导公式：设
y
f (u) , u
( x) ，且 f (u) 及 ( x) 都可导，则复合函数
y f [ (x)] 的导数为
dy dy du '
dx
du dx
f (u). ( x) 。
三、导数的应用
1、函数的单调性
f '
(x) 0 则 f (x) 在 ( a, b) 内严格单调增加。 f '
(x) 0 则 f (x) 在 ( a, b) 内严格单调减少。
2、函数的极值
f '
( x) 0 的点——函数 f ( x) 的驻点。设为 x 0
（1）若 x x'
0 时， f ( x) 0 ； x x'
0 时， f ( x) 0 ，则 f ( x0 ) 为 f (x) 的极大值点。 （2）若 x
x'
0 时， f ( x) 0 ； x
x'
0 时， f ( x) 0 ，则 f ( x0 ) 为 f (x) 的极小值点。
（3）如果 f '
( x) 在 x 0 的两侧的符号相同，那么 f ( x 0 ) 不是极值点。
3、曲线的凹凸性
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f ' '
( x) 0 ，则曲线 y f (x) 在 (a,b) 内是凹的。 f ' '
( x) 0 ，则曲线 y
f (x) 在 (a,b) 内是凸的。
4、曲线的拐点 （ 1）当 f ''
( x) 在 x 0 的左、右两侧异号时，点
( x , f ( x )) 0 0
为曲线 y f (x) 的拐点，此时
f ' ' ( x0 ) 0 .
（2）当 f ' '
(x) 在 x 0 的左、右两侧同号时，点 ( x , f ( x ))
0 0 不为曲线 y f ( x) 的拐点。
5、函数的最大值与最小值
极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值。
四、微分公式
dy
f '
( x)dx ，求微分就是求导数。
一元函数积分学 一、不定积分
1、定义，不定积分是求导的逆运算，最后的结果是函数 +C 的表达形式。公式可以用求导公
式来记忆。 2、不定积分的性质 （1） [ f ( x)dx] '
f ( x) 或 d f ( x) dx
f ( x) dx
（2） F ' ( x)dx F ( x) C 或 dF ( x) F ( x) C
（3） [ f ( x) ( x) ( x)] dx f (x)dx ( x) (x)dx。
（4）
kf ( x)dx k f ( x)dx（ k 为常数且 k 0 ）。
2、基本积分公式（要求熟练记忆） （1）
0dx C
（2） x dx a
1
x
a 1
a 1
C (a
1) .
（3）
1
dx ln x C . x
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（4） a x
dx
1 ln a a
x
C (a 0,a 1)
（5） ex
dx ex
C （6） sin xdx
cosx C
（7）
cosxdx sin x C
（8） 1
cos2
dx tan x C . x （9） 1
sin 2
x
dx cot x C . （10）
1 dx arcsin x C .
1 x
2
（11）
1 1 x
2
dx arctanx C .
3、第一类换元积分法 对不定微分
g(x)dx ，将被积表达式 g (x)dx 凑成
g( x) dx f [ (x)] '
(x)dx f ( x)d (x) ，这是关键的一步。常用的凑微分的公式有：
（1） f ( ax b)dx 1
a
f ( ax b)d(ax b) （2） f ( ax k b) x k 1 dx
1 ka
f ( axkk
b)d(ax b)
（3） f ( x)
1 dx xd x
x
2 f （4） f ( 1 ) 1 f ( 1 ) d 1 x x
2 dx
x x
（5） f ( ex
) ex
dx
f (ex )d (ex )
（6） f (ln x) 1
dx
x
f (ln x)d(ln x)
（7） f (sin x) cos xdx f (sin x)d (sin x) （8） f (cos x) sin xdx f (cos x) d (cos x)
（9） f (tan x)
1
cos2
x dx f (tan x)d(tan x) （10） f (cot x) 1
sin 2
x
dx f (cot x)d(cot x) 精品学习资料 第 7 页，共 15 页
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（11） f (arcsin x)
1 dx
1 f (arcsin x)d (arcsin x)
x2
（12） f (arccos x)
1 dx
1 f (arccos x)d (arccos x)
x 2
（13） f (arctan x)
1 1 x
2
dx f (arctanx)d(arctanx)
'
（14）
( x)
( x)
dx d(ln ( x) )
( ( x)
0)
4、分部积分法
udv uv vdu
二、定积分公式
1、（牛顿—莱布尼茨公式） 如果 F ( x) 是连续函数 f (x) 在区间 [ a, b] 上的任意一个原函数，
则有
b
a
f ( x) dx F (b) F (a) 。 2、计算平面图形的面积
如 果 某 平 面 图 形 是 由 两 条 连 续 曲 线
y
y f (x)
y1 g(x), y2 f (x) 及两条直线 x1
a 和 x2
b 所
围成的（其中 y1 是下面的曲线， y2 是上面的曲线） ，则 y g (x)
其面积可由下式求出：
a
o
b x
S
b a
[ f ( x) g(x)]dx.
3、计算旋转体的体积
设某立体是由连续曲线
y f (x)( f ( x) 0) 和直线 x a, x b(a b) 及 x 轴所围平
面图形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体， 如图所示。 则该旋转 体的体积 V 可由下式求出：
y
y f ( x)
b V 2
b 2
x
a
f ( x)dx
a
f ( x)dx.
o a
x x+dx
b x
多元函数微分学
1、 偏导数，对某个变量求导，把其他变量看做常数。
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2、全微分公式： dz df ( x, y) A x B y 。
3、复合函数的偏导数——利用函数结构图
如果 u
(x, y) 、v (x, y) 在点 ( x, y) 处存在连续的偏导数
u x
，
u y z ，
v x
，
v y
，
且在对应于 ( x, y) 的点 (u,v) 处， 函数 z f (u, v) 存在连续的偏导数
z ， ，则复合函数
u
v
z f [ (x, y), ( x, y)] 在点 (x, y) 处存在对 x 及 y 的连续偏导数，且 z z u z v ，
z z u z v
x
u x
v x
y
u y v y
。4、隐函数的导数
对于方程 F ( x, y) 0 所确定的隐函数 y
f ( x) ，可以由下列公式求出 y 对 x 的导数
y
' ：
' y
'
Fx ( x, y)
F ( x, y)
' ，
y
2、隐函数的偏导数 对于由方程 F ( x, y, z)
0 所确定的隐函数 z f ( x, y) ，可用下列公式求偏导数：
z F' (x, y, z) ' x ， z Fy
(x, y, z) x F' (x, y, z) ' ，
z
y
Fz
( x, y, z)
5、二元函数的极值 设函数 z
f ( x0 , y0 ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数，且
f ' x
( x' '' 0 , y0 ) 0 ，f y
( x0 , y0 ) 0 又设 f (x0 , y0 )
A ， f '' xx
xy (x0 , y0 )
B ， f ''
yy (x0 , y0 )
C ，则： （1）当 B
2
AC 0 时，函数 f ( x, y) 在点 (x , 0 y 0 ) 处取得极值，且当 A 0
时有极大值，当 A 0 时有极小值。
（2）当 B
2
AC 0 时，函数 f ( x, y) 在点 (x , y ) 0 0 处无极值。 （ 3）当 B
2
AC
0 时，函数 f ( x, y) 在点 (x , y ) 0 0 处是否有极值不能确定，要用其它方
法另作讨论。
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平面与直线
1、平面方程
（1）平面的点法式方程：在空间直角坐标系中，过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ，以 n { A, B, C} 为
法向量的平面方程为
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 称之为平面的点法式方程
（2）平面的一般式方程
Ax By Cz D 0 称之为平面的一般式方程
2、特殊的平面方程
Ax By Cz 0 表示过原点的平面方程 Ax By D 0 表示平行于 Oz 轴的平面方程 Ax By 0 表示过 Oz 轴的平面方程
Cz D 0
表示平行于坐标平面 xOy 的平面方程
3、两个平面间的关系
设有平面
1
: A1 x B1 y C1 z D1 0 2
: A2 x B2 y C 2 z D 2
0 平面
1 和 2 互相垂直的充分必要条件是：
A1 A2
B1 B2
C1C 2
0
平面
B1 C1 D1 1 和 A1 2 平行的充分必要条件是：
A2 B2 C2 D2 平面
A1 B1 C1 D1 1 和 2 重合的充分必要条件是：A2
B2
C2
D2
4、直线的方程
（1）直线的标准式方程
过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 且平行于向量 s { m, n, p} 的直线方程
x x0
y y0
z z0
称之为直线的标准式方程（又称点向式方程、对称式方程） 。
m
n
p
常称 s { m, n, p} 为所给直线的方向向量 （2）直线的一般式方程
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A1 x B1 y C1 z D1 0
A2 x B2 y C2 z D2
0
称之为直线的一般式方程
5、两直线间关系
设直线 l 1 ， l 2 的方程为
lx x1 y y1 z z1 1 :
m1 n1 p1 lx x2 y y2 z z2 1 :
m2
n 2
p 2
直线 l n1 1 ， l 2 平行的充分必要条件为
m1m
2
n；2
直线 l1 ， l 2 互相垂直的充分必要条件为 m1 m2 n1n2 p1 p 2
0
6、直线 l 与平面
间的关系
设直线 l 与平面
的方程为
l :
x x 0
y y 0
z z 0
m
n
p
: A(x x0 ) B( y y0 ) C( z z0 ) 0
直线 l 与平面
垂直的充分必要条件为：
A B C m
n
p
直线 l 与平面
平行的充分必要条件为：
Am Bn Cp 0 Am0
Bno
Cp0
D 0
直线 l 落在平面
上的充分必要条件为
Am Bn Cp 0 Am0 Bno
Cp0
D 0
将初等函数展开成幂级数
1、定理 : 设 f (x) 在 U ( x0 , ) 内具有任意阶导数 , 且
( n 1)
lim R， f
( )
n
n (x) 0 Rn (x)
( n 1)!
(x x0 )
n 1
则在 U ( x0 , ) 内
(n )
f ( x)
f ( x0 ) n 0
n!
( x xn
0 ) 精品学习资料 第 11 页，共页 15
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称上式为 f ( x) 在点 x0 的泰勒级数。或称上式为将 f ( x) 展开为 x x0 的幂级数。
2、几个常用的标准展开式 ①
1
n
1 x
x
n 0
②
1
n1 x
( 1)
0
x n n③ e
x
xn
n 0 n!
④ sin x
( 1)
n
x
2n 1
n 0
(2n 1)!
⑤ cosx
( 1) n
x2 n
n 0 ( 2n)!
n
⑥ ln(1 x)
( 1)
n
x
n 0
n
n
⑦ ln(1 x)
x
n 0
n
常微分方程
1、一阶微分方程
（1）可分离变量的微分方程
若一阶微分方程 F (x, y, y ) 0 通过变形后可写成 g ( y)dy f ( x)dx 则称方程 F ( x, y, y )
0 为可分离变量的微分方程 .
2、、可分离变量微分方程的解 方程 g( y)dy
f (x) dx 必存在隐式通解 G( y) F ( x) C 。其中：
G( y) g( y)dy, F (x) f ( x) dx.
即两边取积分。 （2）一阶线性微分方程 1、定义：方程
y P(x) y Q( x) 称为一阶线性微分方程 .
(1) 非齐次方程—— Q( x)
0 ；
精品学习资料 或 y f ( x) g ( y)
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(2) 齐次方程 —— y 2、求解一阶线性微分方程 （1）先求齐次方程 y P(x) y 0 .
P( x) y 0 的通解： y Ce
P (x )dx
, 其中 C 为任意常数。
（2）将齐次通解的
C 换成 u(x) 。即 y u( x)e
P( x )dx
（3）代入非齐次方程 y
P(x) y Q( x) , 得
y e
P( x) dx
q( x)e P ( x) dx
dx C
2、二阶线性常系数微分方程
（1）可降阶的二阶微分方程 1、 y
f ( x) 型的微分方程
例 3： 求方程 y
1 2x sin x y dx 1 2 x
2 e的通解 .分析： y 4
e
cos x C 1 ；y
y dx
1 8
e2 x sin x C1 x C 2 . 2、 y f (x, y ) 型的微分方程
解法： (1) 令 p
y ，方程化为 p
f ( x, p) ；
(2) 解此方程得通解 p
( x, C1 ) ；
(3) 再解方程 y
(x, C1 ) 得原方程的通解 y
( x,C1 )dx C 2 .
3、 y f ( y, y ) 型的微分方程
解法： (1) 令 p
y , 并视 p 为 y 的函数 , 那么 y
dp dp dy dx
dy dx
p dp dy
, (2) 代入原方程 , 得 p
dp
dy
f ( y, p)
(3) 解此方程得通解 p
( y, C1 ) ；
(4) 再解方程 y
( y,C1 ) 得原方程的通解
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dy ( y, Cx C2 .
1)
例 4：求方程 yy y
2
0 的通解 .
分析： (1) 令 p
y , 并视 p 为 y 的函数 , 那么 y
dp dp dy dx
dy dx
p dp
dy
, (2) 代入原方程 , 得 yp
dp dy
p
2
0 或
dp dy p
y
(3) 解上方程 , 得 ln | p | ln | y | ln C
p C1 y , ( C1 C ).
(4) 再解方程
y
C1 y
y y
C1
ln | y | C1x C2 .
(5) 于是原方程的通解为 y C C1x
C2
2 e , ( C 2 e )
（2）常系数线性微分方程
（1）、二阶常系数齐次线性方程 y py qy 0 的解。
写出特征方程并求解
r
2
pr q 0 .
下面记 p 2 4q , r , r 1 2 为特征方程的两个根 . （1）
p2
4q 0 时
, 则齐次方程通解为： y Cr1x
r2 x
1e
C2 e 。 （2）
p
2
4q 0 时 , 则齐次方程通解为
y Cr x
r 1x
r x
1 e 1
C2 xe e 1 (C
1 C x) 2
. （3）
p
2
4q 0 时 ,有 r 1
i , r 2
i ( 0) ,则齐次方程通解为y e x
(C1 cos x C 2 sin x).
（2）二阶常系数非齐次方程解法 方程的形式： y
py qy f (x) 解法步骤： (1) 写出方程的特征方程 r
2
pr q 0 ；
(2) 求出特征方程的两个根
r1 , r2 ；
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(3) 原方程的通解如下表所示 : 特征方程的根 方程的通解
r1 r2 Cr1 x
1e
Cr2 x
2 e
r
rrx
1
r2
(C1 C2 x)e
r
i
e x
(C1 cos x C2 sin x)
( 0)
(4) 再求出非齐次方程的一个特解 y ( x) *
；
(5) 那么原方程的通解为
y C) C*
1 y1( x2 y2 ( x) y ( x) 。精品学习资料 第 15 页，共 15 页
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