姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 评分 一 二 三 四 五 六 总分 *注意事项： 1、参赛者工作单位：四川省巴中市南江县正直中学；
2、本份试卷试题适用于《华东师大版》八年级（上）数学期末学业水平测试； 3、填写答题卡的内容用2B铅笔填写； 4、考试结束收取答题卡.
第Ⅰ卷客观题
第Ⅰ卷的注释 单选题（共10题；共30分）阅卷人 一、
得分 1. ( 3分 ) -64的立方根是（ ） A. -8 B. 8 C. -4 D. 4
2. ( 3分 ) 将数49开平方，其结果是（ ）
A. ±7 B. -7 C. 7 D. √49
3. ( 3分 ) 下列各数的相反数中，最大的数是（ ） A. －
1 B. 0 C. 1 D. −√2 4. ( 3分 ) 下列运算正确的是（ ）
A. 6𝑎−(2𝑎−3𝑎)=4𝑎−3𝑎 B. (𝑎𝑎2)=
3𝑎𝑎5 C. (−𝑎)4÷(−𝑎)2=−𝑎2 D. 2𝑎3×3𝑎2=6𝑎5
5. ( 3分 ) 如图，数轴上点N表示的数可能是( )
A. √10 B. √5 C. √3 D. √2
6. ( 3分 ) 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式
（ ）.
A. （a+b）
2
=a+2ab+b B.
2
2
22
（a-b）2=a2-2ab+b2 C. a-b=（a+b）
（a-b） D. （a+b）（a-2b）=a2-ab-2b2
7. ( 3分 ) 有一个三角形两边长为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（ ） A. 3 B. √41 C. √41和3 D. 不确定 8. ( 3分 ) 在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. ( 3分 ) 某校初一新生来自甲、乙、丙三所不同小学，其人数比为2：3：5，如图所示的扇形图表示上述分布情况．已知来自甲小学的为180人，则下列说法不正确的是（ ）
A. 扇形甲的圆心角是
72° B. 学生的总人数是900人
C. 丙校的人数比乙校的人数多180人 D. 甲校的人数比丙校的人数少180人
10. ( 3分 ) 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
第Ⅱ卷主观题
第Ⅱ卷的注释 阅卷人 得分 二、填空题（共10题；共30分）
11. ( 3分 ) 分解因式：ax+ay=________．
12. ( 3分 ) 已知am=4，an=3，则a2m+n=________. 13. ( 3分 ) 若m=4n+3，则m﹣8mn+16n的值是________．
14. ( 3分 ) 化简：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99=________． 15. ( 3分 ) 命题“同位角相等”的逆命题是________ 16. ( 3分 ) 如图为 6 个边长相等的正方形的组合图形，则
2
2
∠1+∠2+∠3=________°
17. ( 3分 ) 如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC＝BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是________
18. ( 3分 ) 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，延长DE至F，使EF = DE，若AB = 10，BC = 8，则四边形BCFD的周长为________
19. ( 3分 ) 如图，E为正方形ABCD中CD边上一点，∠DAE=30°，P为AE的中点，过点P作直线分别与AD、BC相交于点M、N．若MN=AE，则∠AMN等于________
20. ( 3分 ) 如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝11 cm，CF＝5 cm，则BD＝________cm.
阅卷人 得分 三、计算题（共6题；共46分）
321. ( 5分 ) 求值：（﹣1）2018+|1﹣√2 |﹣√8
22. ( 5分 ) 计算：（a+b）﹣a（a+2b+1） 23. ( 7分 ) 计算下列各式： （1）1－2 =________;
21112
（2）(1−2)(1−2) =________； （3）(1−2)(1−2)(1−2) =________；
23421311（4）你能根据所学知识找到计算上面的算式的简便方法吗？请你利用你找到的简便方法计算下式：
(1−
（1）3x2﹣6xy+x； （2）﹣4m3+16m2﹣28m；
（3）18（a﹣b）2﹣12（b﹣a）3．
122)(1−
132)(1−
142)...(1−
192)(1−
1102)...(1−
1) 𝑎224. ( 15分 ) 因式分解：
（𝑎2−𝑎+𝑎）的积不含𝑎2项与𝑎项，求（𝑎+𝑎） （𝑎2−𝑎+25. ( 6分 ) 已知（𝑎+𝑎） 𝑎）的值是多少？
26. ( 8分 ) 设𝑎1=1+
112+2，𝑎2=1+
11222+2，𝑎3=1+
11332+2，…，𝑎𝑎=1+𝑎2+(𝑎+1)2．若
1114𝑎=√𝑎1+√𝑎2+⋯+√𝑎𝑎，求S（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
阅卷人 得分 四、解答题（共2题；共22分）
27. ( 10分 ) 为了解“数学思想作文对学习帮助有多大？”研究员随机抽取了一定数量的高校大一学生进行了问卷调查，并将调查得到的数据用下面的扇形图和如表来表示（图、表都没制作完成）． 选项 帮助很大 帮助较大 帮助不大 几乎没有帮助 人数 a 540 270 b 根据上面图、表提供的信息，解决下列问题： （1）这次共有多少名学生参与了问卷调查？
（2）求a、b的值．
28. ( 12分 ) 如图，点O是△ABC边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． （Ⅰ）求证：OE=OF；
（Ⅱ）若CE=8，CF=6，求OC的长；
阅卷人 得分 五、作图题（共1题；共8分）
29. ( 8分 ) 如图，在方格纸中，点A，D都在格点上，作三角形ABC，使其满足下列条件.（点B，C不与点D重合）
（1）在图甲中，作格点等腰△ABC，使AD为△ABC的高线. （2）在图乙中，作格点钝角△ABC，使AD为△ABC的角平分线
阅卷人 得分 六、综合题（共1题；共14分）
30. ( 14分 ) 如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC=4，AB=1，点P是线段BC（不与点 B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．
（1）如图1，若BP=3，求△ABP的周长；
（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由； （3）若△PDC是等腰三角形，作点B关于AP的对称点B′，连结B′D，则 B′D=________．（请直接写出答案）
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C 【考点】立方根
【解析】【解答】∵-4的立方等于-64， ∴-64的立方根等于-4． 故选C．
【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．此题主要考查了
求一个数的立方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同． 2.【答案】A 【考点】平方根
【解析】【分析】根据平方根的定义进行解答． 【解答】∵（±7)2=49， ∴±√49=±7． 故选A．
【点评】本题考查的是平方根的定义，解答此题的关键是熟知一个正数的平方根有两个，这两个数互为相反数． 3.【答案】D 【考点】实数大小比较 【解析】
【分析】根据以下法则即可求解．
负数小于正数；两个负数，绝对值大的反而小；底数是正数的同次根式，底数越大，根式的值越大． 【解答】从题意，A中-1的相反数为1； B中0没有正负之分； C中1的相反数为-1； D中−√2的相反数为√2， 四个数中D选项中的√2最大． 故选D． 4.【答案】D
【考点】幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，单项式乘单项式，去括号法则及应用，合并同类项法则及应用
【解析】【分析】选项A中6𝑎−(2𝑎−3𝑎)=6𝑎−2𝑎+3𝑎=4𝑎+3𝑎，所以A错误； 选项B中(𝑎𝑎2)=𝑎3𝑎2×3=𝑎𝑎6，所以B错误， 选项C中(−𝑎)4÷(−𝑎)2=(−𝑎)2=𝑎2，所以C错误， 选项D中2𝑎3×3𝑎2=6𝑎5，因此选D。
【点评】本题考查幂的运算，熟悉幂的运算性质，利用幂的运算性质来进行计算，此类题难度都不大。 5.【答案】B 【考点】实数与数轴
【解析】【分析】根据数轴可得2<𝑎<3，再依次分析各选项中的各个数即可作出判断. 【解答】2<𝑎<3，3<√10<4，2<√5<3，1<√3<2，1<√2<2 所以数轴上点𝑎表示的数可能是√5 3故选B.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握“夹逼法”是估算无理数的常用方法，也是主要方法. 6.【答案】C
【考点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】∵图甲中阴影部分的面积=a2-b2，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（a-b），而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴阴影部分的面积=a-b=（a+b）（a-b）. 故答案为：C.
【分析】根据等面积法，图甲中阴影部分的面=图乙中阴影部分的面积，图甲中阴影部分的面积=a-b，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（a-b），则a-b=（a+b）（a-b），验证了平方差公式。 7.【答案】C 【考点】勾股定理
【解析】【分析】分长为4和5的两边都是直角边和长是5的边是斜边两种情况进行讨论，根据勾股定理即可求得第三边的长．
【解答】当长为4和5的两边都是直角边时，斜边是：√52+42=√41； 当长是5的边是斜边时，第三边是：√52−42=3． 第三边长是：√41和3． 故选C．
2
2
2
2
2
2
【点评】本题主要考查了勾股定理，正确对边进行讨论是解题的关键．
8.【答案】D
【考点】全等三角形的判定
【解析】【分析】根据全等三角形的判定分别求出以BC为公共边的三角形，以AB为公共边的三角形，以AC为公共边的三角形的个数，相加即可。 【解答】
以BC为公共边的三角形有3个，以AB为公共边的三角形有0个，以AC为公共边的三角形有1个。 共3+0+1=4个，故选D.
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，找出符合条件的所有三角形是解此题的关键。 9.【答案】D 【考点】扇形统计图
【解析】【分析】如图所示的扇形图表示上述分布情况，从图中可知A所占的百分比为20%，所以该校初一新生学生的总人数=20%=900，所以B正确；扇形图中甲所对的圆心角=360°×20%=72，所以A正确；
某校初一新生来自甲、乙、丙三所不同小学，其人数比为2：3：5，，甲校的人数=900×10=180，所以乙校的人数=900×10=450，丙校的人数=900×10=270，所以丙校的人数比乙校的人数多=450-270=180，甲校的人数比丙校的人数少=270-180=90，所以C正确，D错误
【点评】本题考查统计、扇形图，解答本题需要考生能识别扇形图，从扇形图中读出相关信息来解答本题
10.【答案】D
【考点】勾股定理的应用，翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】矩形纸片ABCD中，AD=BC，∠𝑎𝑎𝑎=90°，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，
532180根据折叠的特征，AB=AF，BE=EF，∠𝑎𝑎𝑎=∠𝑎𝑎𝑎=90°； 已知AD=8，EF=3，所以BE=3，BC=8，CE=BC-BE=8-3=5，
在𝑎𝑎△𝑎𝑎𝑎中，由勾股定理得𝑎𝑎2=𝑎𝑎2+𝑎𝑎2，解得CF=4；
在𝑎𝑎△𝑎𝑎𝑎中，由勾股定理得𝑎𝑎2+𝑎𝑎2=𝑎𝑎2，𝑎𝑎2=(𝑎𝑎+𝑎𝑎)2=(𝑎𝑎+4)2，所以𝑎𝑎2+82=(𝑎𝑎+4)2，解得AB=6 故选择D。
【点评】本题考查折叠，勾股定理，矩形，解本题的关键是熟悉矩形的性质，掌握折叠的特征，在折叠过程中那些没变，熟悉勾股定理的内容。
二、填空题
11.【答案】a（x+y）
【考点】因式分解﹣提公因式法 【解析】【解答】ax+ay=a（x+y）． 故答案为：a（x+y）．
【分析】因式分解-提公因式法．观察等式的左边，提取公因式a即可求得答案． 12.【答案】48
【考点】同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方 【解析】【解答】：∵a=4，a=3，∴a故答案为：48.
【分析】先利用幂的乘方和同底数幂的逆运算把a13.【答案】9
【考点】完全平方公式及运用 【解析】【解答】解：∵m=4n+3， ∴m﹣4n=3，
则原式=（m﹣4n）=3=9， 故答案为：9
【分析】利用完全平方公式进行合并，将m-4n的值代入求解。 14.【答案】（a+1） 【考点】提公因式法因式分解
【解析】【解答】解：原式=（a+1）[1+a+a（a+1）+a（a+1）+…+a（a+1）] =（a+1）2[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）97] =（a+1）3[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）96] =…
=（a+1）． 故答案为：（a+1）
【分析】通过观察。提取公因式，找到规律，再提取公因式，化成最简结果。 15.【答案】相等的角是同位角 【考点】命题与定理
【解析】【解答】解：命题“同位角相等”的题设是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”；逆命题是“相等的角是同位角”【分析】首先找出原命题的题设和结论，根据逆命题的意义将题设和结论交换即可得解。 16.【答案】135
【考点】三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
100
100
2
98
1002
2
2m+n
m
n
2m+n
=a•a=（a）•a=4×3=48，
变成（a）•a，再把a=4，a=3代入求值即可。
m
2
n
m
n
2mnm2n2
【解析】【解答】解：如图，
由图和题意可得AF=BC，∠AFE=∠ABC=∠AGD=90°， EF=AB， ∴∆AFE≌∆ABC（SAS）， ∴∠1=∠CAB， 而∠3+∠CAB=90°， ∴∠3+∠1=90°， 又∵∠AGD=90°， AG=DG， ∴∠2=∠DAG=90°÷2=45°，
∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°.【分析】由题意易求得∠3+∠1=90°， ∠2所在的三角形是一个等腰直角三角形，所以可得∠2=45°，于是∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°. 17.【答案】AC=DE 【考点】全等三角形的判定
【解析】【解答】用“HL”判定△ABC≌△DBE，已知BC=BE，再添加斜边DE=AC即可. 18.【答案】26
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】已知D、E分别为AB、AC中点，根据三角形的中位线定理可得DE= 2 BC=4，在△ADE和△CFE中，AE=CE，∠AED=∠CED，DE=EF ，即可判断△ADE≌△CFE，所以CF=AD=BD= 2 AB=5，再由DE=FE=4，可得DF=8，所以四边形BCFD的周长为BD+BC+CF+DF=5+8+8+5=26.
【分析】本题考查了三角形的中位线性质和全等三角形的判定以及全等三角形的性质，解题的关键是熟记各种性质定理和判定定理． 19.【答案】60°或120° 【考点】直角三角形全等的判定
【解析】【解答】解：①如图，作过点P的MN，过点M作MQ⊥BC，
11
∵正方形ABCD，
∴MQ=CD=AD，∠MQN=∠C=∠D=90°. 在Rt△ADE和Rt△ADE中，
MQ=AD，AE=MN，
∴Rt△ADE≅Rt△ADE（HL）， ∴∠QMN=∠DAE=30°，
∴∠AMP=∠AMQ-∠QMN=90°-30°=60°； ②如图，同理可得∠QMN=∠DAE=30°， ∴∠AMP=∠AMQ+∠QMN=90°+30°=120°.
故答案为60°或120°.
【分析】画出符合的两种情况，过M作MQ⊥BC于Q，根据HL证出Rt△ADE≅Rt△ADE，即可求出答案． 20.【答案】6
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AB∥CF，∴∠A=∠ACF，∠AED=∠CEF， 在△AED和△CEF中
∠𝑎＝∠𝑎𝑎𝑎{∠𝑎𝑎𝑎＝∠𝑎𝑎𝑎，
𝑎𝑎＝𝑎𝑎∴△AED≌△CEF（AAS）， ∴FC=AD=5cm，
∴BD=AB-AD=11-5=6（cm）.
【分析】可先利用平行线的性质得到∠A=∠ACF，再证明△AED≌△CEF，得到FC=AD=5cm，即可求出BD的长。
三、计算题
21.【答案】解：原式= 1+√2−1−2=√2−2 【考点】实数的运算
【解析】【分析】由实数的计算法则计算即可． 22.【答案】解：（a+b）2﹣a（a+2b+1） =（a2+2ab+b2）﹣（a2+2ab+a） =a2+2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣a =b2﹣a
【考点】完全平方公式及运用，合并同类项法则及应用
【解析】【分析】利用完全平方公式，进行拆分，然后合并同类项，化成最简。 23.【答案】（1）4 （2）3 （3）8 （4）2𝑎
𝑎+1523【考点】因式分解﹣运用公式法，因式分解的应用，探索数与式的规律 【解析】【解答】解：(1) 1−
12211382( 2 ) (1−2)(1−2)=4×9=3；
231113815（ 3 ）(1−2)(1−2)(1−2)=4×9×16234=1−= ;
44=8；
=×××⋅⋅⋅×
513（ 4 ）
123223𝑎−1𝑎+1 ×
𝑎𝑎= 2𝑎
【分析】（1）直接计算出式子的值；（2）由（1）的结果直接计算出式子的值；（3）由（1）（2）的结果直接计算出式子的值；（4）根据平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，得到有规律的乘法，直接计算出结果.
24.【答案】（1）解：3x﹣6xy+x=x（3x﹣6y+1） （2）解：﹣4m+16m﹣28m=﹣4m（m﹣4m+7）
（3）解：18（a﹣b）2﹣12（b﹣a）3=6（a﹣b）2（3+2a﹣2b） 【考点】提公因式法因式分解
【解析】【分析】（1）由题意可提公因式x即可达到分解因式的目的； （2）由题意可提公因式﹣4m即可达到分解因式的目的； （3）由题意可提公因式6(𝑎−𝑎)2即可即可分解因式。 25.【答案】解：∵(𝑎+𝑎)(𝑎2−𝑎+𝑎)， =𝑎3−𝑎2+𝑎𝑎+𝑎𝑎2−𝑎𝑎+𝑎𝑎， =𝑎3+(𝑎−1)𝑎2+(𝑎−𝑎)𝑎+𝑎𝑎， 又∵其中不含𝑎2项和𝑎项， ∴𝑎−1=0，𝑎−𝑎=0， 解得𝑎=1，𝑎=1． 又∵𝑎=𝑎=1．
∴(𝑎+𝑎)(𝑎2−𝑎+𝑎)=𝑎3+1.
【考点】多项式乘多项式，解二元一次方程组
【解析】【分析】抓住已知条件（x+a） （x−x+c）的积不含 x项与 x 项，即 x项与 x 项的系数都
𝑎−1=0为0，因此先将括号展开后合并同类项，建立方程组{,求出a、c的值，再将a、c代入原
𝑎−𝑎=0式，化简即可得出结果。
2
2
2
3
2
2
2
𝑎+126.【答案】解：∵ 𝑎1=1+
1𝑎2112122334𝑎(𝑎+1)+123272132
+(𝑎+1)2． ∴S1=（）， S2=（）， S3=（）， …，Sn=（），∵ 𝑎𝑎(𝑎+1)2612+2 ，𝑎2=1+
112+2 ，𝑎3=1+
112+2 ，…，𝑎𝑎=1+
=√𝑎1+√𝑎2+
1⋯+√𝑎𝑎 ，
𝑎(𝑎+1)+1， 𝑎(𝑎+1)
1111∴S=1+ 1×2+1+2×3+1+3×4+⋯+1+𝑎(𝑎+1)，
11111∴S=1+1﹣2 +1+ 3﹣4 +…+1+ 𝑎−𝑎(𝑎+1)，
1𝑎2+2𝑎∴S=n+1﹣𝑎+1 = 𝑎+1∴S= 1×2+2×3+⋯+
37【考点】算术平方根，探索数与式的规律
【解析】【分析】根据材料中的规律得到√𝑎1=2=1×2，√𝑎2=6=2×3，···求出S的代数式.
3377四、解答题
27.【答案】解：（1）由题意可得， 540÷45%=1200，
即这次共有1200名学生参与了问卷调查； （2）a=1200×25%=300， b=1200﹣300﹣540﹣270=90， 即a的值是300，b的值是90． 【考点】扇形统计图
【解析】【分析】（1）根据扇形统计图和表格可知，帮助很大的有540人占45%，从而可以求得这次共有多少名学生参与了问卷调查；
（2）根据（1）的调查学生总数可以求得a、b的值．
28.【答案】（Ⅰ）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， ∴∠2=∠5，4=∠6， ∵MN∥BC， ∴∠1=∠5，3=∠6， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴EO=CO，FO=CO， ∴OE=OF；
（Ⅱ）∵∠2=∠5，∠4=∠6， ∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°， ∵CE=8，CF=6， ∴EF= √82+62=10 ∴OC=EF=5；
【考点】平行线的性质，角平分线的性质
【解析】【分析】试题分析：（Ⅰ）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案；（Ⅱ）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长．
五、作图题
29.【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
【考点】作图—基本作图
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质，由AD为等腰△ABC的高线，可作出符合题意的图形。
（2）利用三角形角平分线的定义，作出符合题意的图形即可。
六、综合题
30.【答案】（1）解：∵AB⊥BC，∴∠ABP=90° ∴AP2=AB2+BP2,
∴𝑎𝑎=√𝑎𝑎2+𝑎𝑎2=√12+32=√10 ∴AP+AB+BP= √10 +1+3= √10 +4 ∴△APB的周长为√10 +4； （2）解：PB=PC. 理由如下:
延长线段AP、DC交于点E
∵DP平分∠ADC
∴∠ADP=∠EDP ∵DP⊥AP,
∴∠DPA=∠DPE=90° 在△DPA和△DPE中
∠𝑎𝑎𝑎=∠𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎=𝑎𝑎{ ∠𝑎𝑎𝑎=∠𝑎𝑎𝑎∴△DPA≌△DPE(ASA), ∴PA=PE, ∵AB⊥BP,CM⊥CP, ∴∠ABP=∠ECP=90°， 在△APB和△EPC中
∠𝑎𝑎𝑎=∠𝑎𝑎𝑎{∠𝑎𝑎𝑎=∠𝑎𝑎𝑎
𝑎𝑎=𝑎𝑎∴△APB≌△EPC(AAS), ∴PB=PC （3）√13
【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理
【解析】【解答】解：（3）如图，作出点B’，过B’作B’P⊥BC于点P，作B’F⊥CD于点F，
当△PDC是等腰三角形时，∠𝑎𝑎𝑎=∠𝑎𝑎𝑎=45° ，PC=CD， ∴∠APB=45°.
∴BP=AB=1，PC=CD=BC-BP=4-1=3， 由对称性可得B’P=BP=1，B’P⊥BC， 则四边形B’FCP是长方形， ∴B’F=PC=3,CF=B’P=1, ∴DF=CD-CF=3-1=2,
在Rt△B’FD中，B’D= √𝑎′𝑎2+𝑎𝑎2=√32+22=√13 . 【分析】（1）由勾股定理求出AP的长即可；
（ 2 ）由图2中PB与PC长短，可猜测PB=PC；证明边相等，可通过证明两个三角形全等来得到；延长线段AP、DC交于点E，即需要证明△APB≌△EPC；在此之前需要证明△DPA≌△DPE得到PA=PE； （ 3 ）已知∠BCD=90°，当△PDC是等腰三角形时，仅有PC=CD，作出此时的图形及点B‘D;求B’D可构造直角三角形，根据勾股定理计算.
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