ｌ 函数解析式求法例析 李启林 （福建省仙游第一中学，福建仙游３５１２００） 函数解析式是函数与自变量之间的一种对应关系。是 。．．ｆ（ｘ）＝ｘ‘＋４ｘ＋３ ｘ≥一１）。 数与自变量之间建立联系的桥梁。在高中数学巾有求函数解 二、换元法 析式的一类题，它与课本上的函数这一内容关系密切，并且具 对于已知ｆ［ｇ（ｘ）］的表达式，求ｆ（ｘ）的解析式这类问题，总可 有一定的规律性。现就求解方法例析如下： 一拼凑法 以令ｔ＿ｇ（ｘ），解出ｘ＝‘Ｐ （ｔ），代入ｆ［ｇ（ｘ）］的表达式，推导出ｆ（ｔ）的解 、已知ｆＥｇ（ｘ）］的解析式，要求ｆ（ｘ）时，可从ｆ（ｇ（ｘ）］的解析式 析式，最后将ｔ改写成ｘ得Ｎｆ（ｘ）的解析式，这种方法即为换元法。 中拼凑出“ｇ（ｘ）”，即用ｇ（ｘ）来表示，再将解析式的两边的ｇ（ｘ） 如上例２．还可以如下解： 用Ｘ代替的方法叫做拼凑法。 令ｔ＝、／ｘ一１，则ｔ≥一１，且、／Ｘ＝ｔ＋１， 例１：已知ｆ（１＋一１）一 一３，求ｆ（ ）。 ｆ（ｔ）＝（ｔ＋１）＋２（ｔ十１）＝ｔ＋４ｔ＋３， Ｘ ｘ 故所求函数ｆ（ｘ）：ｘ ＋４ｘ＋３（ｘ≥一１）。 分析：．．．ｆ（１＋ ）：一ｌ＿一３：（１＋一２＋一 ）一ｌ一 一３：（１＋一１） 一 例３：设ｆ（ｃｏｓｘ一１）＝ｃｏｓ ｘ，求ｆ（ｘ）。 Ｘ Ｘ Ｘ Ｘ— Ｘ Ｘ 分析：令ｔ＝ｅｏｓｘ一１， 。（１＋一 ）－２，（１＋一１≠１） ．．ｃｏｓｘ＝ｔ＋１。 义一１≤ＣＯＳＸ≤１． Ｘ Ｘ ‘一．．２≤ＣＯＳＸ一１≤０． ‘．．ｆ（ｘ）＝ｘ一２ｘ一２（ｘ≠１）。 即一２≤ｔ≤０。 例２：已知ｆ（、／ｘ—１）＝ｘ＋２、／ｘ，求ｆ（ｘ）。 ・．．ｆ（ｔ）＝（ｔ＋１）‘（一２＜￣ｃｏｓｘ一１≤０），即ｆ（ｘ）＝（ｘ＋１） ，ｘ∈［－２，０］。 分析：‘．・ｆ（ 一１）＝（ 一１）‘＋４（ 一１）＋３，而 一 注：对以上两种方法，在求完解析式后，要注意函数的准 １≥一１． 确定义域，这是容易忽略的。 学知识与生活紧密联系，使学生感悟数学的作用，体会数学的 决于学生对知识生成过程的体验，体验是学生自主建构的前 价值，达到学好数学的目的。 提，是能力生成的基础和决定性条件。所以教师要紧密联系学 例如，在学习《平行线》一课之前，我先给学生播放从南京 生的生活实际，从学生的生活实际和已有经验出发．创设问题 到杭州的高速公路的录像片段，学生发现高速公路上的三条 情境，从而激发学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想、勇于发 线始终不相交。然后我提出问题：这三条线有怎样的位置关 言与合作交流的意识。 系？从而引入本节课要学习的内容。从高速公路引入新课，不 例如，在学习《不等式的性质》第二课时前，我先给出生活 仅让学生感受到“数学来源于生活，运用于生活”，而且激发了 实例：小明就读的学校上午第一节课上课时间是８点开始，小 学生学习的兴趣。更让学生对平行线有了初步的形象认识。 明家距学校２千米，而他步行的速度是每小时ｌＯ千米．那么小 ２．以复习引入新课 明上午几点从家里出发才能保证不迟到？就此例子提出三个 通过复习引入新课，主要目的有两个：一是温故而知新， 问题：①设小明上午ｘ点从家里出发才能不迟到，则ｘ应满足怎 促使学生实现知识、思维的迁移：二是有利于学生对已学知识 样的关系式？②你会解这个不等式吗？③你能把这个不等式的 和新知识的比较，从而有利于知识的系统化。 解集在数轴上表示吗？我让学生进行分组讨论，组织学生亲历 例如，在学习《平行线的性质》前，我先复习平行线的判 数学探索过程，达到学习经验共享，并培养合作意识与交流 定．再提出问题：如果两条直线平行，同位角之间、内错角之 能力，使学生加深了对数学知识的理解，并培养了有效的学习 间、同旁内角之间各有什么关系？从而引入本节课要学习的内 策略。 容。这样做既复习了平行线的判定，又使学生在学习过程中抓 ５．以动画引入新课 住关键。开门见山地提出本节课的目标，让学生明确本节课的 动画引入新课，能把抽象的知识变得直观形象，并给学生 学习任务。有利于实现学生对学习过程的自我监控。 一种动的视觉．从而提高学生的学习兴趣。 ３．以悬念引入新课 例如，在《等腰三角形》的教学中，我用Ｆｌａｓｈ动画把翻折和 悬念是一种学习心理机制．是学生观察所学对象感到疑 剪纸过程表示出来，再引入等腰三角形的定义和有关概念。又 惑不解而又想解决它时产生的一种心理状态。它对大脑皮层 如同位角、内错角、同旁内角这些角的位置关系用多媒体丰富 有强烈而持续的刺激作用，能使学生“心求通而未得”，“口欲 的表现形式使静止的图形动起来．是学生容易接受的直观形 言而不能”，欲得不能、欲罢不止。 式。能使学生的认识发生冲突，激起学生的求知欲，变“要我 例如，在讲解《不等式的性质》第一课时前，我先让学生解 学”为“我要学”、“我想学”。 一道一元一次方程：２ｘ＋３＝１＋４ｘ。从而提出问题：如何解一元一 新课的引入是多种多样的．在教学过程巾教师必须根据 次不等式２ｘ＋３＜１＋４ｘ？接着告诉学生，只要我们学了不等式的 教学内容和学生的实际情况选择合适的引入方式。 性质．就可以解决这个问题了，使得学生既兴奋又好奇，非常 想知道其中的奥秘．从而把学生引入一个新的境界。 参考文献： ４．从学生的情感体验引入新课 ［１］李友惠．新课程下的数学教学设计的几个特点［Ｊ］．数 数学课堂教学不仅是一种知识的传授过程．更是一种情 学教学通讯．２００５，３． 感的传递和体验过程。新课标指出：课堂教学的有效性首先取 ［２］鞠丽萍．中学数学教学的设计艺术【Ｊ］．教书育人，２００４，６． ■一； 三、定义法 结合函数的结构特征．即利用其对应法则得出解析式。 例４：设ｆ［ｆ（ｘ）］： ，求ｆ（ｘ）。 分 ｆ［ｆ（ｘ）］－ ：而ｘ＋ｌ＝÷， １＋ｘ 观察其结构特征， ． ．ｆ（ｘ）＝—ｌ＿。 ｌ＋ｘ 例５：设ｆ（ｃｏｓｘ）＝ｃｏｓ１７ｘ，求ｆ（ｓｉｎｘ）。 分析：利用对应法则有ｆ（８ｉｎＸ）－－ｆＥＣＯＳ（ ．ｘ）］＝：ｃ。ｓ１７（￣－一ｘ） ：ｃ。ｓ（８１Ｔ＋ ７ｒ一１７ｘ）：ｃ。ｓ（ ～１７ｘ）＝ｓｉｎ１７ｘ。 四、待定系数法 已知ｆ（ｘ）的函数类型，要求ｆ（ｘ）的解析式时，可根据类型 设其解析式，从而确定其系数的方法。 例６：已知函数ｆ（ｘ）是一次函数，且ｆ［ｆ（ｘ）］＝４ｘ＋３，求ｆ（ｘ）。 分析：依题意可设ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ（ａ＃Ｏ）， ＳＪ］ｆ［ｆ（ｘ）］＝ａ（ａｘ＋ｂ）＋ｂ＝ａｘ‘＋ａｂ＋ｂ＝４ｘ＋３ ・．．｛ ：３ ａ＝２或 ， ・．．函数为ｆ（ｘ）＝２ｘ＋ｌ或ｆ（ｘ）一２ｘ一３。 例７：已知ｆ（ｘ一２）＝２ｘ＂－９ｘ＋１３，求ｆ（ｘ）。 分析：观察条件易知ｆ（ｘ）是一个一元二次函数。 设ｆ（ｘ）：ａｘ。＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）， ￣ｌＪｆ（ｘ一２）＝ａ（一 ， ｘ一２）、 ‘＋ｂ（ｘ一２）－－Ｉ￣＝ａｘ‘＋（ｂ一４ａ）ｘ＋（４ａ一２ｂ＋ｃ）。 ３Ｌｆ（ｘ一２）＝２ｘ＇－９ｘ＋１３，～ｘ ｆａ＝２ 比较系数得：｛一ｘ ｂ－４ａ一９ ， 【４ａ－２ｂ＋ｃ：１ ３ ｆａ＝２ 解得：｛ｂ一１，３一ｘ ｃｃ＝３ ‘．．ｆ（ｘ）＝２ｘ＇－ｘ＋３。 注：我们学过的函数还有正比例函数ｙ＝ｋｘ，反比例函数ｙ＝ ｋ（ｋ≠Ｏ）一，以及指数函数ｙ＝ａ ，对数函数ｙ－１。ｇ ｘ，幂函数ｙ＿ｘ 等，我们都要相应学会应用。 五、解方程组法 一般而言，若条件中同时出现ｆ［‘ｐ（Ｘ）］与ｆ［ （Ｘ）］，这里 （ｘ）：去‘ｐ ｘ， 或 （ｘ）＝‘Ｐ（ｘ），可先用换元法，令ｔ＝‘ｐ（ｘ），解得ｘ＝ ‘ｐ～（ｘ），再用 或一ｔ代替ｘ，得到ｆ（ｔ）和ｆ（ ）或ｆ（－ｔ）为元的方 ｔ ｔ 程组，消去ｆ（ ）或ｆ（一ｔ），解出ｆ（ｔ）的解析式，最后将ｔ改写成ｘ ｔ 得到ｆ（ｘ）的解析式，这种方法即为解方程组法。 例８：已知ｆ（ｘ）一２ｆ（一１）＝３ｘ＋２，求ｆ（ｘ）。 分析：令ｔ：一１，则ｘ： ，ｆ（ ）一２ｆ（ｔ）：３ ＋２， ８Ｏ ）一２ｆ（ ）：三＋２。 Ｘ Ｘ 与原式联立。得 ＝：＞ｆ（ｘ）：一ｘ一三一２。 Ｘ 故所求函数ｆ（ｘ）：一ｘ一 一２。 Ｘ 例９：已知２ｆ（ｘ）＋ｆ（一ｘ）＝３ｘ＋２，求ｆ（ｘ）。 分析：２ｆ（ｘ）＋ｆ（一ｘ）＝３ｘ＋２…………（１） ２ｆ（－ｘ）＋ｆｉｘ）＝－３ｘ＋２…………（２） ’ 由（１），（２）可解得：ｆ（ｘ）＝３ｘ＋÷。 ３ 六、赋值法（亦称特殊值法Ｊ 一般而言，若已知条件是一个含有Ｉｔ个变量的等式．且该 等式对变量允许范围内的任何值都成立，则可考虑适当取一 些特殊的数值，使等式变得简易或能够用上其他已知条件，并 结合换元法，从而求出函数解析式，这种方法即为特殊值法。 使用该方法的关键是能够有针对性地、巧妙地选取若干特殊 值，从而达到解题的目的。 例ｌＯ：设ｆｉｘ）是Ｒ上的函数，且满足ｆ（Ｏ）＝１，并且对于任意 实数ｘ，ｙ，有ｆ（ｘ—ｙ）＝ｆ（ｘ）－ｙ（２ｘ－ｙ＋１），求ｆ（ｘ）。 分析：由ｆ（Ｏ）＝１，ｆ（ｘ—ｙ）＝＿ｆ（ｘ）一ｙ（２ｘ—ｙ＋１）。 设ｘ＝ｙ，得ｆ（０）＝ｆ（ｘ）一ｘ（２ｘ—ｘ＋１），ｌ￣ｌｌｆ（ｘ）＝ｘ ＋ｘ＋１。 七、叠加法 例１１：若ｆ（１）＝ｌｇ ，且当ｘ≥２时，满足ｆ（ｘ一１）＝ｆ（ｘ）一ｌｇａ ａ （ａ＞０，Ｘ∈Ｎ），求ｆ（ｘ）。 分析：‘．’ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ一１）＋ｌｇａｘ （ａ＞０，ｘ∈Ｎ） 递推得：ｆ（ｘ—１）＝ｆｉｘ一２）＋ｌｇａ— ｆ（ｘ一２）＝ｆ（ｘ一３）＋ｌｇａ～ ｆ（３）＝ｆ（２）＋ｌｇａ ｆ（２）＝ｆ（１）＋ｌｇａ 以上（ｘ一１）个等式两边分别相加， ｉｆｘ）：ｆ（１）＋ｌｇａ＋ｌｇａ２＋…＋ｌｇａ＇－￣＋ｌｇａｘ一 ＝＝ｆ（１）＋ｌｇａ 。 ｘ（ｘ～１１ ： ＋１ｇａ下 ａ 坐 一 ＝ｌｇａ‘ ＝［ 一１］１ｇａ 以上介绍的是几种常见的求解函数解析式的方法．其中 有些解法是相互联系的。一个题目可能需要运用多种以上的 方法才能获解，因此，我们要多锻炼综合应用所掌握的方法， 准确解决相关问题的能力，只有这样，才能做到“对症下药”． 使问题迎刃而解。 参考文献： ［１］犁兴平．抽象函数的几种常见解法
