中学数学杂志２０１４年第３期 为 若 琶｝毛 ９ 一道月考试题的命制过程 福建龙岩一中 ３６４０００ 林文柱 １．命题设想：把要考查的知识要点和要求设计成 写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题 有关的问题和语言文字． 厶 上 根据月考范围和要求，想命制一道函数的定义域 已讨论过的Ｙ＝ 及形如Ｙ＝ 的函数为例） ０ 与值域相等的数学压轴问题，其中不考查函数的导数 母题３ 设．厂（ ）＝Ｊａｘ ＋ ， 知识． （Ｉ）当ａ＝一１，６＝２时，求，（ ）的定义域和值域 ２．上网检索：输入有关问题的关键词得到相应的 （Ⅱ）求满足下列条件的实数ａ的值：至少有一个 母题． 正实数ｂ，使函数，（ ）的定义域和值域相同． 母题１ 对于定义域为Ｄ的函数Ｙ＝ ），若同时 Ｉ １ Ｉ 满足： 母题４ 已知函数．厂（ ）＝Ｊ １一＿二＿『． Ｉ ｌ①厂（ ）在Ｄ上单调递增或单调递减； （Ｉ）是否存在实数ａ、６（ａ＜６），使得函数 ） ②存在区间［ａ，ｂ］ Ｄ，使 ）在［ａ，６］上的值 的定义域和值域都是［ａ、ｂ］？若存在，请求出ａ、ｂ的 域为［ａ，ｂ］，那么把Ｙ＝ ）（ ∈Ｄ）叫做闭函数． 值；若不存在，请说明理由． （１）请你举出一个闭函数的例子，并写出它的一 （Ⅱ）若存在实数ａ、ｂ（ａ＜６），使得函数 ）的 个符合条件②的区间［ａ，ｂ］； ． 定义域是［ｏ、ｂ］，值域是［ｍａ、ｍ６］（ｍ≠０），求实数ｍ （２）求闭函数Ｙ：一 符合条件②的区间［ａ，ｂ］； 的取值范围． （３）判断函数 ）＝２ｘ—ｌｇｘ， ∈（０，＋∞）是否 ３．归纳分析：对母题的背景进行综合对比并归类． 为闭函数？并说明理由； 通过分析，试题背景可以分为三种类型 （４）若 ）＝ｋ＋ 十２是闭函数，求实数ｋ的 （Ｉ）函数在定义域内为严格单调函数，求解或 取值范围； 判断函数定义域的子区间满足相应的条件． （５）判断函数 ）＝ｌｇｘ， ∈（０，＋∞）是否为闭 （Ⅱ）函数在定义域内存在增减区间，但研究的 函数？并说明理由； 定义域子区间是严格单调，求解或判断函数定义域的 （６）是否存在实数ｍ，使函数ｈ（ ）＝ｘ 一３ ＋ｍｘ 单调子区间满足相应的条件． 是Ｒ上的闭函数？若存在，求出ｍ的取值范围；若不 （Ⅲ）函数在定义域内存在增减区间，研究的定 存在，请说明理由． 义域子区间也存在增减区间，求解或判断函数定义域 （７）找出所有形如．厂（ ）＝ ＋ｂｌｎｘ的函数，使其 与值域满足相应的条件． 在［１，２５］上是闭函数，且条件②中［ａ，ｂ］＝［１，２５］． ４．难度定位：对相应的题型确定难度系数 母题２ 对于定义域为 的函数Ｙ＝－厂（ ），如果存 根据母题的知识和方法考查，估计类型（Ｉ）、 在区间［ｍ，ｎ］ Ｄ，同时满足： （Ⅱ）、（Ⅲ）难度系数大约分别为０．５、０．４、０．３． ①厂（ ）在［ｍ，ｎ］内是单调函数； ５．题设细化：把母题中的题设分组，并分解其知识 ②当定义域是［ｍ，ｎ］时 ）的值域也是［ｍ， 要点、表现形式、思维切入、方法导入等环节． ｎ］－贝０称［ｍ，ｎ］是该函数的“和谐区间”． （Ｉ）考查的函数是否单调，是否含参为依托， 气 ，（Ｉ）求证：函数Ｙ＝ （ ）＝３一＿＝－不存在和谐区 （Ⅱ）考查的函数的解析式变形为切口， （Ⅲ）满足条件的区间是否存在为条件． 间． ． ６．问题分类：从基础题、中档题、压轴题角度改变 （Ⅱ）若函数 ： （ａ∈Ｒ，ａ≠Ｏ）有 题目中的变量与知量的位置、数量，并挖掘试题中隐 含的条件与结论等手段进行设置，其中改变含参个 和谐区间［ｍ，凡］，当ａ变化时，求出ｎ—ｍ的最大值． 数、分类区间位置、讨论单调类型与包装解析式等都 （Ⅲ）易知，函数Ｙ＝ 是以任一区间［ｍ， ］为它 可以调整试题的难度范围． 的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并 （Ｉ）基础题——已知不含参数的单调函数，直 ３７ 接写出或求出满足条件的区间，其中改变函数的解析 式可以调整试题的难度范围． （Ⅱ）中档题——判断已知不含参数的函数是否 存在满足条件的区间，并说明理由 ，其中改变函数的 单调性与解析式可以调整试题的难度范围． （Ⅲ）压轴题——已知含参数的函数存在满足条 件的区间，求解参数的取值范围，并挖掘区间长度等 相关问题，其中改变含参个数、分类区间位置、讨论单 调类型与包装解析式等都可以调整试题的难度范围． ７．母题改编：从试题的背景、立意、分类、组合、转 化等方面进行反复调整、包装、研磨、试验等． 以类型（Ⅱ）为例，且不考查函数的导数知识． 改编１ 求解简单的减（或增）函数的和谐区间； 构造含参的分段且有增减区间函数，判断其和谐区 间，并拓展区间端点变量的最值． 对于定义域为Ｄ的函数Ｙ＝－厂（ ），如果存在区间 ［ｍ，ｎ］ Ｄ，同时满足： ）在［ｍ，ｎ］内是单调函数； ②当定义域是［ｍ，ｎ］时 ）的值域也是［ｍ， ｎ］．则称［ｍ，ｎ］是该函数的“和谐区间”． （Ｉ）求函数ｇ（ ）：一 ＋８的两个“和谐区间”． ｎ （ ＞０） （Ⅱ）函数 ）： （ａ ＋ａ）ｘ一１ ２ （ ＜０） 口 （ａ∈Ｒ，ａ≠０）是否存在“和谐区间”［ｍ，ｎ］？若存 在，求出ｍ ＋ｎ 的最小值，若不存在，说明理由． 以下试题的背景与改编１试题一样． 改编２ 写出简单的减（或增）函数的和谐区间； 判断有增减区间函数的和谐区间；求解含参减（或增） 函数存在和谐区间时的参数取值． （Ｉ）写出函数 ）＝ 的两个“和谐区间”． （Ⅱ）判断函数ＪＩｌ（ ）＝ 是否存在“和谐区间”？ 若存在，求出其“和谐区间”，若不存在，说明理由． （Ⅲ）若函数ｇ（ ）＝ｋ＋￣／ 一１存在“和谐区 间”，求实数ｋ的取值范围． 改编３ 求解简单的减（或增）函数的和谐区间； 判断不含参增（或减）函数的和谐区间，并拓展区间 端点变量的最值．再讨论含参增（或减）函数存在和谐 区间时的参数取值． （Ｉ）求出函数Ｉ厂（ ）＝ 的两个“和谐区间”． （Ⅱ）判断函数ｈ（ ）＝二是否存在“和谐区 间”［ｍ，ｎ］？若存在，求出ｍ ＋ｎ 的最小值，若不存 在，说明理由． ３８ 中学数学杂志２０１４年第３期 （Ⅲ）若函数ｇ（ ）＝２ｋ＋ 存在“和谐区间”，求 实数ｋ的取值范围． 改编４写出简单的减（或增）函数的和谐区间； 判断不含参增（或减）函数的和谐区间，再求解含参 减（或增）函数存在和谐区间时的参数取值． （Ｉ）写出函数 ）＝ 的两个“和谐区间”． （Ⅱ）判断函数ｈ（ ）＝３一 是否存在“和谐区 间”？若存在，求出其“和谐区间”，若不存在，说明理 由． （Ⅲ）若函数ｇ（ ）＝ｋ—Ｊｘ＋２存在“和谐区 间”，求实数ｋ的取值范围． ８．考题定稿：根据一送二提三压原则． 第（Ｉ）题选不含参且最简单的减函数，直接写 出函数满足条件的区间． 第（Ⅱ）题选不含参且有隐含条件的增函数，判 断函数是否存在满足条件的区间． 第（Ⅲ）题选含参且有增减区间的函数，但解析 式简单的函数存在满足条件的区间，求解参数的取值 范围． ９．真题出炉：充分考虑学生的认知水平与实际能 力，并估计学生的答题情况确定． 对于定义域为Ｄ的函数Ｙ＝ ），如果存在区间 ［ｍ，ｎ］，同时满足： ）在［ｍ，ｎ］内是单调函数； ②当定义域是［ｍ，ｎ］时 ）的值域也是［ｍ， ｎ］．则称［ｍ，ｎ］是该函数的“和谐区间”． （Ｉ）写出函数 ）＝二的两个和谐区间． （Ⅱ）判断函数ｈ（ ）＝，／２ｘ＋１＋１是否存在和 谐区间？若存在，求出其和谐区间，若不存在，说明理 由． （Ⅲ）若函数ｇ（ ）＝ ＋ｋ存在“和谐区间”，求实 数ｋ的取值范围． １０．实测结果：作为理科第２０题共ｌ４分考查，实得 分数５．２分，难度系数为０．３７． 通过此道试题的命制，使我深深感到命题工作的 艰辛和喜悦，事实上，命题能力并非天生的，关键在于 平时的教学积累和教研教改的兴趣，我相信，作为中 学的一线教师，在课后，多一点思考，多一点关注，多 一点热情，多一点阅读，就能命制出很多有实际检测 功能的好题． 作者简介 林文柱，男，中学高级教师，中国数学奥林 匹克壹级教练员，省级优秀科技辅导员，龙岩市名师，多次参 加省市质检命题，发表论文２Ｏ余篇．
