第５５卷第２期 吉林大学学报（理学版） Ｖｏ１．５５ Ｎｏ．２ ２０１７年３月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉｌｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｍａｒ ２Ｏ１７ 脉冲微分方程的不变流形 江权 霞 （南京航空航天大学数学系，南京２１００１６） 摘要：运用压缩映像原理，得到当线性脉冲微分方程具有非一致（ ，ｖ）二分性时，在充分小的 扰动下存在不变流形． 关键词：脉冲微分方程；非一致（ ， ）性；稳定流形 中图分类号：Ｏ１７５ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７１—５４８９（２０１７）０２—０２４３—０８ Ｉｎｖａｒｉａｎｔ Ｍａｎｉｆｏｌｄｓ ｆｏｒ Ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ＪＩＡＮＧ Ｑｕａｎｘｉａ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｎａｎｊｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃｓ ａｎｄ Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ，Ｎａｎｊｉｎｇ ２１００１６，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ．Ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｈａｄ ｎｏｎｕｎｉｆｏｒｍ（ ， ）ｄｉｃｈｏｔｏｍｙ，ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｍａｎｉｆｏｌｄｓ ｕｎｄｅｒ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｌｙ ｓｍａｌｌ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｓ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎ ｍａｐｐｉｎｇ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｎｏｎｕｎｉｆｏｒｍ（ ， ）ｄｉｃｈｏｔｏｍｙ ｓｔａｂｌｅ ｍａｎｉｆｏｌｄ Ｏ 引 言 脉冲微分方程在种群动力系统、传染病动力学模型、微生物模型等领域应用广泛［１ ］．在非自治微 分方程理论中，稳定流形理论得到广泛关注，且一般的假设都是发展算子具有指数二分性［３］．例如， 具有指数二分性的非自治线性微分方程，对于任何充分小的非线性扰动，都有拓扑共轭性和稳定、非 稳定的不变流形．但指数二分性依然对系统有较高的要求，受传统指数二分性概念和非一致双曲理 论 的启发，Ｂａｒｒｅｉｒａ等ｍ提出了非一致指数二分性的概念，并系统发展了相关理论．文献Ｅ８３引入了 一类更一般的二分性，即非一致（ ， ）二分性，并从动力学的角度解释了该二分性的广泛存在性． 本文考虑 内的线性脉冲微分方程： 一Ａ（ｔ）ｘ（ ≠ｒｉ）， △ｚ Ｉ — ：＝＝Ｂ ３７．， （１） 及其非线性扰动方程 ｚ 一Ａ（￡） ＋ｆ（ｔ，Ｘ， ）（￡≠ ）， △ｚ Ｉ 一一Ｂ ＋ｇ （ｚ， ）， （２） 其中参数 ∈ｙ，ｙ是嗵 中的开球．Ｂａｒｒｅｉｒａ等［９ 假设方程（１）具有非一致指数二分性，得到了在充分 小的扰动下存在稳定流形的结论．受文献［９］的启发，本文假设方程（１）具有非一致（ ，ｖ）二分性且 函数厂和ｇ 都充分小，证明不变稳定流形的存在性．当 （￡）一 （ ）一ｅ 时，非一致（ ， ）二分性即为 非一致指数二分性，从而本文的结果推广了文献［９］的结果．此外，本文的结果对非一致双曲性理 论【４ ¨］也有一定的贡献． 收稿日期：２０１６—０５－１０． 作者简介；江权霞（１９９３一），女，汉族，硕士研究生，从事微分方程理论及其应用的研究，Ｅ—ｍａｉｌ：ｊｑｘ１９９３＠１２６．ｃｏｒｎ． 基金项目：国家自然科学基金（批准号：１１２０１２２６）． ２４４ 吉林大学学报（理学版） 第５５卷 １ 预备知识 首先，考虑方程（１）．对ｔ≥０，ｉ Ｅ ，Ａ（￡）和Ｂ（ｔ）都是Ｐ×Ｐ阶矩阵，跳跃点ｒ 满足 ０＜ｒ１＜ｒ２＜…，ｌｉａｒ 一＋∞．此外，Ｐ＝＝＝ｓｕｐ ——— 二了Ｆｉ＿＿—一ｚ一。。 ＞ｓ＞０ ｃａｒｄ｛ｉ Ｅ ：Ｓ≤ｒ。＜ｔ｝ ＜。。．设ｆ—Ａ（ ）至多在 处有 第一类不连续点，则方程（１）的全局左连续解存在且唯一Ｌ２］． 设方程（１）的解ｚ（ ）：Ｔ（ｔ，ｓ）ｚ（５），其中 ＞ｓ＞０，Ｔ（ｔ，ｓ）是相应的线性发展算子．则 Ｔ（ｔ， ）一Ｉｄ， Ｔ（￡，ｒ）Ｔ（ｒ，５）一Ｔ（ｔ，ｓ），ｔ≥ｒ≥Ｓ≥０． 如果单调递增函数 ： 。 一［Ｏ，＋ｃｘ３）满足 （０）一１，ｌｉｍ （￡）一＋。。，则称 是增长率．设 和 都 是增长率，如果存在映射Ｐ（￡），使得Ｔ（ｔ，ｓ）Ｐ（ｓ）一Ｐ（￡）Ｔ（ｔ，ｓ）（ ≥ｓ≥０），且存在常数口， ，Ｄ＞０和 ￡≥０，使得 ＩＩ ）ｌｌ≤Ｄ（ ）～ ≥ｓ≥０， （３） （４） Ｉ ｌＴ（ｓ，￡）一 Ｑ（ｓ）ｌｌ≤Ｄ（＼ ） ，， ～ （ｓ） ， ｓ≥ ≥０， 空间分别定义为Ｅ（ ）一Ｐ（ ）（ Ｐ）和Ｆ（ ）一Ｑ（￡）（ Ｐ）． 其中Ｑ（ｓ）一Ｉｄ—Ｐ（ｓ）是Ｐ（Ｓ）的补映射，则称方程（１）具有非一致（ ， ）二分性．特别地，当 （￡）一ｖ（￡）一ｅ 时，非一致（ ，ｖ）二分性即为非一致指数二分性．对每个￡≥０，稳定子空间和不稳定子 其次，考虑非线性扰动方程（２），本文做如下假设： （Ｈ ）参数空间ｙ是 内的开球； （Ｈ２） ： × Ｐ×Ｙ一 Ｐ和ｇ ： ×Ｙ一 满足ｆ（ｔ，０， ）一０（ｔ≥０， Ｅ Ｙ）， ｇ （０， ）一０（ｉＥ ， Ｅｙ）； （Ｈ。）ｆ关于ｔ是分段连续的，且至多在 处有第一类不连续点； （Ｈ ）存在８＞０和增长率 （￡），使得对每个 ≥０，ｉＥ ，ｚ， Ｅ 及 ， ∈ｙ，都有： ｌ ｊｆ（ｔ，ｚ， ）一ｆ（ｔ，Ｙ， ）Ｊｌ≤ ｖ（ ）一 ｌｌ ｚ— ｌＩ， ｌ Ｉｆ（ｔ，ｚ， ）——ｆ（ｔ，ｚ， ）Ｉｌ≤ ｖ（ ）一。 ｌ —— ｌＩｌ・ｌ】．ｚ ｌｌ； ｌ ｌｇ （ｚ， ）一ｇ （ ， ）ｌＩ≤ （ ）一３ｃ ｌ ｌｚ— ｌｌ， ｌ ｌｇ （ｚ， ）——ｇ （ ， ）ｌＩ≤ ｖ（ｒ ）一 ｌ —ｌ— ｌｌ・ｌＩ ｚ ｌ１． （ ，）ＥＥ（ｓ）×Ｆ（ｓ）确定的唯一的左连续解（ （ ）， （ ））ＥＥ（￡）×Ｆ（￡）满足： （５） （６） 如果方程（１）具有非一致（ ， ）二分性，且 （ｔ）满足式（５）和式（６），则方程（２）由初值 “（ ）一Ｔ（ｔ，５） ＋Ｉ‘Ｐ（ｔ）Ｔ（ｔ，ｒ）厂（ｒ， （ｒ）， （ｒ）， ）如＋∑Ｐ（ｔ）Ｔ（ｔ， ）ｇ （ （ｔ），ｖ（ｒ ）， ），（７） ｓ≤ｒｉ＜‘ （￡）一Ｔ（ｔ，ｓ）＇７＋ｌ‘Ｑ（ｔ）Ｔ（ｔ，ｒ） （ｒ， （ｒ）， （ｒ）， ）ｄｒ＋∑Ｑ（ｔ）Ｔ（ｔ， ）ｇ （“（ ），ｖ（ｒ ）， ），（８） ≤ｒｉ＜ 其中￡≥ｓ， ＥＹ．对每个￡≥Ｏ， ＥＹ，考虑半流： 有唯一的不动点． （ｓ， ，叩）一（ｓ＋ｔ，ｕ（ｓ＋￡），ｖ（ｓ＋ ）， ）． 引理１（压缩映像原理）ｎ 设（Ｘ， ）是完备的距离空间，若Ｔ：Ｘ—Ｘ是压缩映射，则Ｔ在Ｘ中 ２ 主要结果 令Ａ是连续函数族（ ） 构成的空间，其中≠ ： × 一 至多关于第一变量有第一类不连 续点，且使得对每个ｓ≥Ｏ， ， ∈Ｅ（ｓ）及 ， ∈ｙ，下列条件都成立： （５，０）一０， （ｓ，Ｅ（ｓ））ＣＦ（ｓ）， ｌＩ如（ｓ， ）一ｊ６ （ｓ， ）ｌＩ≤ｌＩ 一 ，ｌｌ如（ｓ， ）一 （ｓ， ）ｌｌ≤ｌ ｌ２－－２ ｌｌ・ｌ ｌｌ１．对任意的ｊ５， ∈Ａ，定义 以中的距离 第２期 江权霞：脉冲微分方程的不变流形 ２４５ （ ， ）一ｓｕｐ ＼ ！ 二 Ｉｌ ： ：ｓ∈Ｒ ＋ｏ， ∈Ｅ（ｓ）＼｛ｏ）， ∈ｙｌ， 则Ａ是一个完备的距离空间．给定ｊ５∈Ａ， ∈Ｙ，定义图像Ｖ州一｛（ｓ， ，如（ｓ， ））： （ｓ， ）∈ ×Ｅ（５））．给定ｋ＞０，令 —ｓｕｐ∑ （ｒｉ）一，其中 为式（３）和式（４）中的ｖ．记 ＞Ｏ ｒ ≥ 口一ｐｉｎ（１＋２８Ｄ）． 假设方程（１）具有非一致（ ， ）二分性，且增长率／２（ｔ），ｖ（ ）满足下列条件： （Ｈ ） （ ）使得式（５）和式（６）成立，且ｅ～ （￡）是增函数； （Ｈ ）Ｉ （ｒ） ｄｒ是收敛的，且ｒＥ＜Ｃｘ３． 以下均假设条件（Ｈ ），（Ｈ ）成立，且存在充分小的 满足口一ｐｌｎ（１＋２８Ｄ）≤ａ＋ 引理２［ 令 ： 一 是分段连续函数，且至多在 处有第一类不连续点．若 （￡）≤ｃ＋Ｉ‘ｖ（ｒ）ｗ（ｒ）ｄｒ＋∑ （ ）， ￡≥ ｔＯ ０≤ ＜ 其中：常数Ｃ， ＞ｔｏ；函数７３： 一 ，则 ㈤≤Ｃ ＩＩ（１＋ ）ｅｘｐ （ｒ）曲｝， ￡≥ ｔＯ≤ｒ ＜ｆ Ｏ 类似文献［９３中定理３．１的证明．由 （ ¨）一Ｖ¨，ｖ 中的每个解可以写成如下形式： （ ， （ ）， ＾（ ， （￡））），ｔ≥Ｓ， 则式（７），（８）可以分别写成如下形式： （ ）一Ｔ（ｔ，ｓ）“（ｓ）＋Ｉ Ｐ（ ）Ｔ（ｔ，ｒ）ｆ（ｒ，“（ｒ）， ＾（ｒ，２‘（ｒ））， ）ｄｒ＋ ∑Ｐ（ｔ）Ｔ（ｔ， ）ｇ （“（ ）， （ ｕ（ｒ ））， ）， ｓ≤ ＜ （９） （ ， （ ））一Ｔ（ｔ， ）声 （ｓ， （ｓ））＋Ｉ Ｑ（ ）Ｔ（ｔ，ｒ）ｆ（ｖ， （ｒ），≠＾（ｒ，ｕ（ｒ）），Ａ）ｄｒ＋ ∑Ｑ（ｔ）Ｔ（ｔ， ）ｇ （ （ ），机（ ｕ（ｒ ））， ）． ｓ≤ ＜‘ （１０） ．引理３若８＞０充分小，给定 ∈Ａ和ｓ∈ ，则： 满足 ∈嗯 ， ∈Ｙ， １）存在唯一的函数 一Ｕ ：ｓ，＋ｏｏ）×Ｅ（ｓ）×ｙ一 ‘（ｓ， ， ）一 ， Ｕｄ（￡， ， ）∈Ｅ（ ），ｔ＞Ｓ， 使得式（９）对每个￡≥ｓ都成立； ２） 关于ｔ分段连续，且至多在ｒｉ处有第一类不连续点； ３）对每个 ≥ｓ， ∈ Ｐ及 ， ＥＹ，有 ，）ｌｌ≤２Ｄ（ ）－ａ ， ， Ｉ， （１１） （１２） ）一 （￡， ，＿）ｌｌ≤Ｌ（＼ ５“ ／ １ ／～ （ ｌ１． 一＿ｌ１， 其中常数Ｌ＞Ｏ． 证明：给定（ｓ， ）Ｅ ×Ｅ（ｓ）＼｛０）和 ＥＡ，考虑由函数Ｕ：Ｉｓ，＋。。）×Ｅ（ｓ）×ｙ一 构成的空间 ， ∈ｙ； ｎ— ，这里 满足下列条件： （ｉ）ｕ（ｓ， ， ）＝ ，ｕ（ｔ， ， ）Ｅ Ｅ（￡），ｔ＞ｓ， ∈ （ｉｉ）Ｕ关于ｔ分段连续，且至多在 处有第一类不连续点； （ｉ ｌ －ｓｕｐ｛ （ ）。 ： ，ｔＥＥ（ （ｏ）， ∈ｙ）≤２Ｄ． 因此，在范数ｌＩ・Ｉｌ 下，ｎ是一个完备的距离空间．在ｎ内定义算子 ２４６ 吉林大学学报（理学版） 第５５卷 ．厂（ ， ）＝＝＝Ｔ（ｔ，ｓ） ＋Ｊ Ｔ（ｔ，ｒ）Ｐ（ｒ）厂（刚（ ， ≤ｒｉ＜ｆ （ ， 曲＋ ∑Ｔ（ｔ， ）Ｐ（ ）ｇ。（ （ ， ）， （ ｕ（ｒ ， ， ））， ）． 令 １， ２∈Ａ，ｒ≥ｓ，且“１一 １（・， ， ），Ｍ２＝＝： ２（・， ， ），则有 口（ｒ）一ｌ ｌｆ（ｒ，Ｕ１（ｒ）， （ｒ，Ｍ１（ｒ））， ）一ｆ（ｒ，“２（ｒ），｛６＾（ｒ，“２（ｒ））， ）ｌｌ≤ ｖ（ｒ）一 Ｉｌ（ １（ｒ），声 （ｒ，Ｍ１（ｒ）））一（“２（ｒ），声＾（ｒ， ２（ｒ）））ｌｌ≤ ２８ｖ（ｒ） （ｒ）一Ｍｚ（ｒ）ｌｌ≤２ （ ）－ａ （ｓ） ｖ（ｒ）咄 ・ 一 。 同理 ｎｆ—ｌ ｌｇ （“１（ ）， （ ， １（ｒ ））， ）一ｇ （ ２（ｒ１），≯＾（ ， ２（ ）），ｉｔ）ｌｌ≤ ２ （ ）－ａ （ ｒ＋。。 ｒ＋ｏ。０ ・ｌ 一 ｌｌ ｌ． ｐｔ Ｊ ｓ ｒ＋∞ Ｊ ０ 因为ＩＪ ０ （ｒ） ｄｒ收敛，故存在Ｍ＞０，使得Ｉ０ （ｒ） 出≤Ｍ，从而Ｉ ｖ（ｒ） ｄｒ＜Ｉ ｖ（ｒ） ｄｒ≤Ｍ． 此外，∑ｖ（ｒ ）咄＜∑ （ｒ ）一 ＜ ．于是 ｒ ｚ≥ ｒ￡≥ Ｉ ｌＪ（ｕ ）（ ， ， ）一Ｊ（ｕ２）（ ， ， ）ｌｌ≤Ｉ‘ｌｌ Ｔ（ｔ，ｒ）Ｐ（ｒ）【 ｌａ（ｒ）ｄｒ＋∑ Ｔ（ｔ， ）Ｐ（ ）ｃｌ口 ≤ ｓ≤ｒ ＜ｆ ２８１） ｌ１． ～ｌｌ，』ｊ ：ｓ ｆ＼２１ １＼ｔ） ／一 ）Ｅ＼ｆ Ｉ２）ｓ）ｊ 一 ㈤咄ｄｒ＋ ２３／） ｌＩ． ～ 曼 ｓ≤ｒ（筹）－ａ （ ）－ａ ＜ｆ、ｒ… 、ｒ… ≤ ２８／） ｌ１． ～ （ ）－ａ ） （ｆｌｙ（ｒ）ｄｒ＋ 星 （￣＇ｉ）－２ｅ）≤ ２８Ｄ（Ｍ＋ 故 ．１ 一 ｌｌ （ ）－ａ ｌ ＩＪ（ ）一Ｊ（“ ）ｌ ≤２８１）（Ｍ＋ｒ ）ｌｌｌ“ 一 ｌ ．ｌ 当 ＞Ｏ充分小，使得２８Ｄ（Ｍ＋ｒ ）＜１／２时，算子Ｊ是压缩的，且 ｌ ｌＪ（ ）１ ≤ｌｌ ｌＴ（・，ｓ）８ ｌ ＋２８／ｌ）（Ｍ＋ｒ ）ｌ Ｉｌ ≤Ｄ＋２ ×２Ｄ一２Ｄ，ｌ 所以Ｊ（ｎ） ｎ．从而由压缩映像原理可知，．厂在 中有唯一的不动点 ． 下面证明式（１２）．为方便，记 一甜 （・， ， ），则 ｌｌ（ （ｒ）， （ｒ，Ｙ （ｒ）））ｌｌ≤ｌｌ （ｒ）ｌｌ＋ｌ （ｒ，弘（ｒ））ｌｌｌ≤２ ｌ ｌＹ （ｒ）ｌＩ， ｌＩ（ （ｒ）， （ｒ，Ｙ （ｒ）））－－（ｙ￣（ｒ）， ｉ（ｒ， ｉ（ｒ）））ｌＩ≤Ｉ （ｒ）一 ｊ（ｒ）ｌｌｌ＋ （１３） ｌ （ｒ，ｌＹａ（ｒ））一 （ｒ， （ｒ））ｌｌ＋ｌ （ｒ，ｌ （ｒ））一 （ｒ， ｉ（ｒ））ｌｌ≤ ２ Ｉ （ｒ）一 （ｒ）ｌｌｌ＋ｌ —ｉｌｔ ｌｌ・ｌ ｉ（ｒ）ｌｌ１． 由式（５），（１３），（１４），有 （１４） ６（ｒ）一ｌＩ厂（ｒ，Ｙａ（ｒ）， （ｒ， （ｒ））， ）一厂（ｒ， （ｒ）， （ｒ， （ｒ））， ）ｌｌ≤ ｌ ｌｆ（ｒ， （ｒ），如（ｒ，Ｙ （ｒ））， ）一ｆ（ｒ， （ｒ）， （ｒ，弘（ｒ））， ）ｌｌ＋ ｌｌ，（ｒ， （ｒ）， （ｒ， （ｒ））， ）一厂（ｒ， （ｒ）， （ｒ， （ｒ）），ａ－）ｌｌ≤ （ｒ）。。ｌ —— ｌｌｌ・ （ （ｒ）， （ｒ，Ｙａ（ｒ）））ｌＩ＋ （ｒ） ｌｌ（ （ｒ）， （ｒ， （ｒ）））一（ （ｒ），如（ｒ， （ｒ）））ｌｌ≤ ２ （ｒ） ｌ — ｌｌｌ・ｌ （ｒ）ｌｌｌ＋２Ｂｙ（ｒ） ｌ ｌＹ （ｒ）一 （ｒ）Ｉｌ＋ （ｒ） ｌＩ — ｌｌ・ｌ （ｒ）ｌｌｌ≤ 第２期 江权霞：脉冲微分方程的不变流形 ２４７ ６ （ ）－ａ （ｓ） （ｒ） Ｉ ＩＩｌ・ＩＩ — ＩＩ＋２ （ｒ） ＩＩ （ｒ）一 （ｒ）ＩＩ． 类似地，有 （１５） ｂ —ｆ Ｉｇ （ （ ）， （ｒｔ，Ｙ＾（ ））， ）一ｇ （ ｉ（ ），≠ｉ（ ， ｉ（ ））， ）ｌＩ≤ ６ （ ）－ａ （ｓ） （ ）一３ ＩＩ ｌ・Ｉ『 — ＩＩ＋２ （ ）一３ ＩＩ弘（ ）一 ｉ（ ）ＩＩ． （１６） 因此，由式（３）有 Ｉ ＩＹ （ ）一 ｉ（￡） ≤ｆ ≤ＩＩＩ Ｔ（Ｉ Ｔ（ｔ，ｒ）Ｐ（ｒ）Ｉ） Ｉｂ（ｒ）ｄｒ＋∑Ｉ＋∑ Ｉ Ｔ（ｔ， ）Ｐ（ ）Ｉ ） ≤ Ｉ ｂ ≤ ≤ｒ．＜ ６ Ｉ ・ＩＩＩ — 筹） （ ）－ａ （ｒ） ¨ ２ＯＤ￣（ｆ ＇ｒＪ＼ Ｌｒｔ） ）一 （ｒ）一２ ＩＩ （ｒ）一 ｉ（ｒ）ＩＩ ｄｒ＋ ６ ＩＩ￣ＩＩ・ＩＩ；ｔ－￣Ｉ （Ｉ ） （ ）－ａ （ｒｆ ＋ （ ）－ａ 令ｐ（ ）一ＩＩ ＾（￡）－－ｙ￣（ｔ）ｌＩ，贝０ Ｉ Ｉ－（ｒ ＩＩ ｐ（ｔ）≤６ ＩＩ ．１ ｌ— ｌＩ（ ）－ａ ） ｄｒ＋６８Ｄ。Ｉ ・ＩＩ Ｉ— ＩＩ（ ）－ａ 咄＋２ 『＝（ ）－ａ 令 ）一（ ） ∽，则 ８Ｄ 曼 （ ）～ ． Ｉ１（￡）≤６８Ｄ Ｉ ＩＩ・ＩＩ — ＩＩ（Ｍ＋ｒＥ）＋２３１９ Ｉ‘ （ｒ）一 ｒ（ｒ）ｄｒ＋２ ∑ｖ（ ）一 ｒ（ ）． ≤ｒ ＜ 因此，由引理２和条件（Ｈ ），有 ｍ ３１９ ＩＩ・ＩＩ，￣－＿ｌｌ（Ｍ＋ （１＋２ａ１９）ｅＸｐ ３Ｄｖ（ｒ）－Ｚ＇ｄｒ｝ ６３Ｄ ｚ ｌＩ ｌ】．Ｉｆ — ｌｌ（Ｍ＋ｒＥ）（１＋２８／９）ｃａ一“∈ ｔ ≤ ＜ｔ）ｅｘｐ｛２３ＤＭ｝≤ ６８Ｄ。ＩＩ ＩＩ・Ｉ Ｉ— ＩＩ（Ｍ＋ｒＥ）ｅ ・（ ）。・ｅｘｐ｛２８ＤＭ｝≤ ６￣Ｄ Ｚ ｅｘｐ｛ｎ＋２ Ｍ）（Ｍ＋ｒ￡）（ ）。ＩＩ ・ＩＩ ～ ＩＩ． 从而Ｐ（￡）一ＩＩ （￡）一 （￡）ＩＩ≤Ｌ（ ） ＩＩ ＩＩ・Ｉ Ｉ— ＩＩ，其中Ｌ一６８／９ ｅｘｐ｛口＋２ ）（Ｍ＋ ）＞ｏ． 证毕． 引理４ 若ａ＞Ｏ充分小， ∈Ａ，ｓ≥ｏ， ， ∈Ｅ（ｓ）， ∈ｙ，则 ＩＩ ， ）一 ￡， ＩＩ≤２Ｄ（ ）－ａ＋ａ ） ＩＩ 一－ｌｌ， ￡≥ｓ． 证明：将文献［１３］中引理４的ｅ ，ｅ 分别替换成 （ ）， （ｓ），ｅ 替换成 （ｓ） ，即得结论． 引理５若８＞０充分小， ，ＣＥＡ，（ｓ， ）Ｅ ×Ｅ（ｓ），；ｔＥＹ，则存在常数Ｎ＞Ｏ，使得 ＩＩ 引理６ ）ＩＩ≤Ｎ（ ） Ｉ Ｉ， ≥ｓ． 证明：将文献［１３］中引理５的ｅ ，ｅ 分别替换成 （ ）， （ｓ），即得结论． 引理４和引理５给出了当初值和函数 变化时对应的解“ 的性质． 给定８＞０充分小， ＥＡ，则下列结论成立： ２４８ 吉林大学学报（理学版） 第５５卷 １）当（５， ）Ｅ ＾×Ｅ（ｓ），￡≥ｓ， ＥＹ时，有 （ ， （ ， ， ））一Ｔ（ｔ，ｓ） ＾（ｓ， ）＋Ｉ Ｔ（ｔ，ｒ）Ｑ（ｒ）ｆ（ｖ， ≠（ｒ， ， ）， （ｒ，“ （ｒ， ， ）），Ａ）ｄｒ＋ ∑Ｔ（ｔ， ）Ｑ（ ）ｇ （ （ ， ， ）， （ ，“ （ ， ， ））， ）， ５≤ｒ ＜ （１７） 则 ＾（ｓ， ）一一Ｉ Ｔ（ｒ，ｓ）一 Ｑ（ｒ）ｆ（ｒ， （ｒ， ， ）， （ｒ， ≠（ｒ，８， ）），Ａ）ｄｒ一 ∑Ｔ（ ，ｓ）～Ｑ（ｒＴ）ｇ （ ≠（ ， ）， （ （ ， ））， ）； ≤ （１８） ２）若对每个（ｓ， ）∈ 式（１７）也成立． ×Ｅ（ｓ）和 ＥＹ，式（１８）成立，则对每个（ｓ， ）∈ ×Ｅ（５）， ≥ｓ和 ＥＹ， 引理７ 若给定８）０充分小，则存在唯一的函数 ＥＡ，使得对任意的（ｓ， ）Ｅ 式（１８）都成立． ×Ｅ（ｓ）和 ∈ｙ， 证明：对引理３中唯一的函数 ，有 ≠（ ， ， ）一 ．若８＝０，则对任意的 ＥＡ，￡≥ｓ和 Ｅ Ｙ，有 “ （￡， ， ）一０．考虑定义在Ａ中的算子 （Ｔ≯）＾（ｓ， ）一一Ｉ Ｔ（ｒ，ｓ）一 Ｑ（ｒ）ｆ（ｒ， ≠（ｒ， ， ）， ＾（ｒ， （ｒ， ， ））， ）ｄｒ一 Ｔ（ ，ｓ）一 Ｑ（ ）ｇ （ ≠（ ， ， ）， （ ， （ ， ， ））， ）， ≤ｒ （１９） 其中：（ ， ）Ｅ ×Ｅ（ ）； ＥＹ．已知ｆ（ｔ，０， ）一 （０， ）一Ｏ，从而（Ｔ ） （ ，０）一０．由引理４知，若 记Ｕ≠一“ （・， ， ），ｕ≠一 （・， ， ），贝０有 ｃ（ｒ）一ｌ ｌｆ（ｒ， ≠（ｒ）， （ｒ， ≠（ｒ））， ）一ｆ（ｒ， （ｒ）， ＾（ｒ，ｕ （ｒ））， ）ｌｌ≤ ２８ｖ（ｒ）咄 类似地，有 一ｌ１＜４ （ ） “ （ｒ）咄 一 ｌ１． ｌ ｌ（ ≠（ｒ）， （ｒ， （ｒ））， ）一蛋（ （ｒ）， （ｒ， （ｒ））， ）ｌ ｌ４ ４ （ 等）一 （ｓ） （ｔ） Ｉｌ 一；ｌ１． ≤ｆ． 从而由式（４），有 ｌｌ（ ） （ｓ， ）一（ ） （ｓ， ）ｌＩ≤Ｉ ｛ｌ Ｔ（ｒ，ｓ）一 Ｑ（ｒ）ｌ ｌｃ（ｒ）ｄｒ＋∑ｌｌ Ｔ（ ，ｓ）一 Ｑ（ ）ｌＩ ｃ ≤ ４８／） 一 ｌｌ ｌ一 Ｉ（ｌ Ｊ’ （ｓ 、 ）“＼ｄ／， ｖ（ｓ） ｅ （ｒ） ｅ ｄｒ＋ ４ ２ｌ ｌ一 ｌＩ （ ）－ｌｆ－ａ－ａ ）２￡ ≤ ，，’ｏ。 、 ４８Ｉ） ｌ 一 ｌｌｌ（Ｉ （ｒ） ｄｒ＋∑ （己） ）≤４８／） （Ｍ＋ｒ ）ｌ 一 ｌｌｌ， ｓ≤ｒ． 其中第三个不等号是因为一卢一口＋口＜Ｏ， “ 号５＞１’等 ５＞１， ＜１ｒ ．所以当 ＞ｏ充分小时，有 （ ） （ｓ， ）一（ ） （ｓ， ）ｌＩ≤ 由式（１２），（１５），（１６），有 一 ． 。 ｌ ｌＹ （ｒ）一 ｉ（ｒ）『ｆ≤ ６（ｒ）≤６ （ ）－ａ （ ．『 ｌ— ｌ｛＋２８ｖ（ｒ） ｌ≤ （６。（ ）～＋ （ ）－￣ｒｂａ ㈤ ＿ ｌ８ １１・ ｌＤ＇８（ ）－￣４－ａ （ｒ） ＩＩ ８ １１．Ｉ ｌ— ｌｌ＇ 第２期 江权霞：脉冲微分方程的不变流形 ２４９ ≤Ｄ （ ）－ａ－Ｆａ （ 其中Ｄ 一６Ｄ＋２Ｌ￣０．因此 ．Ｉ Ｉ— ｔｌ， ＩＩ‘ ‘ ， ）一（ ） （ ， ）ＩＩ≤ｊ ＩＩ Ｑ（ｓ）Ｔ（ｒ，ｓ）一 Ｉ Ｉ６（ｒ）ｄｒ＋∑『『Ｑ（ｓ）Ｔ（ ，５）一 ｌ ｌ６ ≤ ，Ｄ ｌｌ・ 一 ＩＩ× （ （ ）－￣－－，ｒ＋ａ ３１） Ｄ Ｉ ＩＩＩ・ＩＩ — ＋ （ ）－￣－ａ－Ｆａ ） ｄｒ＋∑ ）～ｅ）≤ ｅ）≤ Ｄ（Ｍ＋ｒ￡）』ｆ ｌ１．Ｉ — ＩＩＩ， 明Ｔ是压缩的以 ？毒分小时，有ｆｆ（丁 ） （ｓ， 一（Ｔ ）ｉ（ｓ， ）ＩＩ≤ＩＩ Ｉ・ＩＩ — ｌ１．从而丁（以）ｃ以．下面证 …～ ． 给定≯，ＣＥＡ，ｓ∈吨 ，记 （ｒ）一 （ｒ， ， ）， （ｒ）一 （ｒ， ， ），则 ， ＩＩ如（ｒ， （ｒ））一 （ｒ， （ｒ））ＪＪ≤ｌｌ （ｚ．， （ｒ））一 （ｆ从而由引理５和式（５），有 （ｒ））ＩＩ＋ＩＩ （ｒ， ≠（ｒ））一 （ｒ， （ｒ））Ｉｔ≤ ＩＩ“ （ｆ）ＩＩ （ ， ）＋ＩＩ （ｒ）～“ （ｒ）ＩＩ． （ｒ）一ＩＩ厂（ｒ，“ （ｒ）， （ｒ，“≠（ｒ））， ）一厂（ｒ， （ｒ）， （ｒ（ｒ））， ）ＩＩ≤ （ｒ）一 ＩＩ（ （ｒ）一 （ｒ））， （ｒ， （ｒ））～ （ｒ，“ （ｒ）））ＩＩ≤ ， Ｖ（ｒ） （Ｉ （ｒ）ＩＩＩ （ ， ）＋２ ｌ （ｒ）一 （ｚｌ－）Ｊ Ｊ）≤ ２ （ ） “ ㈤ （Ｄ（ ）～＋Ｍ㈡一ｅ）ＩＩ ２ （ ） 。 ㈤咄（Ｄ＋Ｎ） （ ）． 类似地，有 ， ）≤ 一ｇ ｚ ＩＩ（ ≠（ ）， （ （ ））， ）一ｇ （ （ ）， （ （ ）））ｌｌ≤ ， ２ （ ）ａ＋ａ ） ｒ （Ｄ＋Ｎ）Ｊ ）． ｓ≤ｆ ＩＩ（ ） （ ）一（ ） （ｓ， ）ＩＩ≤ ｌ ｌＴ（ｒ， Ｑ（ ）Ｊ Ｊ （ ）ｄｆ－１－ ∑ｌｌ丁（ ， ）－￣Ｑ（ｒ ｌ ≤ ｌ２８１９（Ｄ＋Ｎ）ＩＩ ， ） （ ）－ｌｆ－－￣，４－ａ ＋ ２ （。＋Ｎ）ＩＩ￣ＩＩ ， （ ）－￣，－ａ－＋－ａ ）２Ｅ 。 ≤ ２３１）（Ｄ＋Ｎ）（Ｍ＋ ）ｆｆ ｌ （Ｊ ， ）． 当３＞０充分小，使得当２８Ｄ（Ｄ＋Ｎ）（Ｍ＋ｒ ）＜１／２时有 ，（ 一ｐ｛ ：ｓ∈ ，∈ ）＼｛Ｏ）， ∈ｙ）≤丢 ， 使得Ｔ 一 ．证毕． （￡）满足条件（Ｈ ），（Ｈ。），贝 对充分 ， 故丁是压缩的・从而由压缩映像原理知，存在唯一的ＣＥＡ下面给出本文的主要结果． 定理１若方程（１）具有非一致（ ， ）二分性，且增长率 （￡）小的 ＞ｏ，存在唯一的函数 ∈以，使得对任意的 ≥ｏ．．．， ∈ｙ都有 （ ， ）＝ ．此外 对．往意的 ２５Ｏ 吉林大学学报（理学版） 第５５卷 ［１ ＩＩ 其中常数Ｋ＞０． ，≠ ， 一 ， 一 『ｌ≤４Ｄ（ ）－￣＋ａ ） 『 ｌ一Ｉｆｆ， ， ＩＩ≤Ｋ（ ）－ａ＋ａ ） ＩＩ ｌＩ．ＩＩ — ＩＩ， 证明：由引理６知，式（１０）与式（１８）等价．故由引理３和引理７知，存在唯一的 ＥＡ，使得式（９） 和式（１０）成立，从而 （Ｖ ）＝：＝ 下面证明定理中的不等式． 对任意的ｒ—ｔｍ ｓ＞０，由引理４有 Ｉ ｇｒ（ｓ， ， （ｓ， ））一 （ｓ， ， （５，；）） 一ｌｌ（ ， （ ， ， ）， （￡， （ ， ， ）））一 （ ， （￡， ， ）， （ ， ≠（￡， ， ）））ｌｌ≤ ２ Ｉ ， ）一 ， ＩＩ≤４Ｄ（ ）－ｃＨ ａ ） ＩＩ 一Ｉ１１． 由式（１２），（１４），有 ｌ （ｓ，ｌ ， （ｓ， ））一， （ｓ， ， ｉ（５， ））ｌｌ—ｌｌ（ ，“ （ ， ， ）， （￡， ≠（ ， ， ）））一 （ ，“ （ ， ， ）， （￡，“≠（￡， ， ）））ｌＩ≤ ２ ｌＩ （￡， ， ）一 （ ， ， ）ｌｌ＋ｌ （ｌ ， ， ）ｌＩ・ＩＩ — ｌｌ≤ ２（ 其中常数Ｋ一２（Ｌ＋Ｄ）＞０．证毕． ＋Ｄ（ ） ）（ ）－，ｒｔ－ａ ） ＩＩ￣１１・ＩＩ — ＩＩ≤ Ｋ（ ）－ｅｅ￣ａ ） ＩＩ拿ｌｌ・ＩＩ — ＩＩ， 参 考 文 献 ［１］ Ｌａｋｓｈｍｉｋａｎｔｈａｍ Ｖ，Ｂａｉｎｏｖ Ｄ Ｄ，Ｓｉｍｅｏｎｏｖ Ｐ Ｓ．Ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｓｉｎｇａｐｏｒｅ： Ｗｏｒｌｄ Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ，１ ９８９． ［２］ Ｓａｍｏｉｌｅｎｋｏ Ａ Ｍ，Ｐｅｒｅｓｔｙｕｋ Ｎ Ａ，Ｃｈａｐｏｖｓｋｙ Ｙ．Ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｓｉｎｇａｐｏｒｅ：Ｗｏｒｌｄ Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ，１９９５． ［３］ Ｐｅｒｒｏｎ Ｏ．Ｄｉｅ ｓｔａｂ｜１ｊｔａｔｓｆｒａｇｅ ｂｅｉ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｇｌｅｉｃｈｕｎｇｅｎ ｌ－Ｊ］．Ｍａｔｈ Ｚ，１９３０，３２（１）：７０３—７２８． ［４］ Ｐｅｓｉｎ Ｊ Ｂ．Ｆａｍｉｌｉｅｓ ｏｆ Ｉｎｖａｒｉａｎｔ Ｍａｎｉｆｏｌｄｓ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ Ｎｏｎｚｅｒｏ Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ Ｅｘｐｏｎｅｎｔｓ Ｉ－Ｊ］．Ｉｚｖ Ａｋａｄ Ｎａｕｋ ＳＳＳＲ Ｓｅｒ Ｍａｔ，１９７６，４０（６）：１３３２－１３７９． ［５］ Ｐｅｓｉｎ Ｙ Ｂ Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ Ｌｊａｐｕｎｏｖ Ｅｘｐｏｎｅｎｔｓ ａｎｄ Ｓｍｏｏｔｈ Ｅｒｇｏｄｉｃ Ｔｈｅｏｒｙ［Ｊ］．Ｕｓｐｅｈｉ Ｍａｔ Ｎａｕｋ，１９７７，３２（４）：５５—１１２． ［６］ Ｐｅｓｉｎ Ｊ Ｂ．Ｇｅｏｄｅｓｉｃ Ｆｌｏｗｓ ｉｎ Ｃｌｏｓｅｄ Ｒｉｅｍａｎｎｉａｎ Ｍａｎｉｆｏｌｄｓ ｗｉｔｈｏｕｔ Ｆｏｃａｌ Ｐｏｉｎｔｓ［Ｊ］．Ｉｚｖ Ａｋａｄ Ｎａｕｋ ＳＳＳＲ Ｓｅｒ Ｍａｔ，１９７７，４１（６）：１２５２—１２８８． ［７］ Ｂａｒｒｅｉｒａ Ｌ，Ｖａｌｌｓ Ｃ．Ｓｔａｂｌｅ Ｍａｎｉｆｏｌｄｓ ｆｏｒ Ｎｏｎａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈｏｕｔ Ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ Ｄｉｃｈｏｔｏｍｙ［Ｊ］．Ｊ Ｄｉｆｆ Ｅｑｕ，２００６，２２１（１）：５８—９０． ［８］ Ｂａｒｒｅｉｒａ Ｌ，Ｃｈｕ Ｊ，Ｖａｉｌｓ Ｃ．Ｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓ ｏｆ Ｎｏｎｕｎｉｆｏｒｍ Ｄｉｃｈｏｔｏｍｉｅｓ ｗｉｔｈ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ Ｇｒｏｗｔｈ Ｒａｔｅｓ ＥＪ］．ｓａｏ Ｐａｕｌｏ Ｊ Ｍａｔｈ Ｓｃｉ，２０１１，５（２）：２０３—２３１． ［９］ Ｂａｒｒｅｉｒａ Ｌ，Ｖａｌｌｓ Ｃ．Ｐａｒａｍｅｔｅｒ Ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ Ｓｔａｂｌｅ Ｍａｎｉｆｏｌｄｓ ｆｏｒ Ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ａｎａｌ Ａｐｐｌ，２０１４， １２（２）：１３１—１６Ｏ． ｎ Ｙ Ｂ．Ｎｏｎｕｎｉｆｏｒｍ Ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃｉｔｙ：Ｄｙｎａｍｉｃｓ ｏｆ Ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ Ｎｏｎｚｅｒｏ Ｌｙａｐｕｎｏｖ Ｅｘｐｏｎｅｎｔｓ ［１Ｏ］ Ｂａｒｒｅｉｒａ Ｌ，Ｐｅｓｉ［Ｍ］．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ：Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，２００７． ［１１］ Ｏｓｅｌｅｄｅｔｓ Ｖ．Ａ Ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅ Ｅｒｇｏｄｉｃ Ｔｈｅｏｒｅｍ：Ｌｙａｐｕｎｏｖ Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ Ｎｕｍｂｅｒｓ ｆｏｒ Ｄｙｎａｍｉｃａｌ Ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］． Ｔｒａｎｓ ＭＯＳＣＯＷ Ｍａｔｈ Ｓｏｃ，１９６８，１９：１９７—２２１． ［１２］ Ｒｕｄｉｎ Ｗ．Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｍ］．２ｎｄ ｅｄ．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：ＭｃＧｒａｗ—Ｈｉｌｌ，１９９１． ［１３］ Ｂａｒｒｅｉｒａ Ｌ，Ｖａｌｌｓ Ｃ．Ｓｔａｂｌｅ Ｍａｎｉｆｏｌｄｓ ｆｏｒ Ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｕｎｄｅｒ Ｎｏｎｕｎｉｆｏｒｍ Ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｅｉｔｙ［Ｊ］．Ｊ Ｄｙｎａｍ Ｄｉｆｆ Ｅｑｕ，２Ｏ１０，２２（４）：７６１－７８５． （责任编辑：李 琦）
