江西省于都中学2010-2011学年高二下学期期末复习一数学试卷(理科)

江西省于都中学2010-2011学年高二下学期期末复习一

数学试卷（理科）

本试卷共4页，分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。

第I卷 （ 选择题共50分）

注意事项：

1.第Ⅰ卷共10小题，全部为单项选择题。

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不涂在答题卡上，只答在试卷上不得分。 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是

符合题目要求的） 1．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60º ”时，应该（ ） A．假设三内角都不大于60 º B．假设三内角都大于60 º C．假设三内角至多有一个大于60 º D．假设三内角至多有两个大于60 º

2．为了考察中学生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某校中学生中随机抽取了50名学生，

得到如下列联表：

男 女 合计 喜欢数学 13 7 20 不喜欢数学 10 20 30 合计 23 27 50 你认为性别与是否喜欢数学课程之间有关系的把握有（ ） A．0 B．95% C．99% D．100% 3．如下图是函数y= f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下面判断正确的是（ y ） A．在区间(－2,1)内f(x)是增函数 B．在(1,3)内f(x)是减函数

234 C．在(4,5)内f(x)是增函数 O15-3-3xD．在x=2时,f(x)取到极小值

2 4．从4名男生和3名女生中选出4人参加数学竞赛，若这4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）

(A)140种 (B)180种 (C)35种 (D)34种 5．若(x)展开式中,二项式系数最大的项只有第6项, 则n= ( ) A．10

B．10或11

C．12

D．12或13

21xn第 - 1 - 页 共 9 页

6．已知函数fxfcosxsinx,则f（ ） 44 A．2 B．21 C．1 D．0 17．设X~N2，，则X落在∞，3.50.5，∞内的概率是（ ）

4A．95.4% B．99.7% C．4.6% D．0.3%

8．若函数f(x)x6bx3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围 ( )

3A．(0,)

12B．(,1) C．(0,)

2D．(0,1)

9．已知实数a和b是区间[0,1]内任意两个数，则使ba的概率为（ ）

1111 B． C． D． 234513210．设fxxax5x6在区间[1,3]上为单调函数,则实数a的取值范围是( )

3A．

A．[ -5,+∞) B．(-∞,-3] C．(-∞,-3]∪[-5,+∞) D．[-5, 5]

第II卷 非选择题（共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡的横线上） 11．设ξ是一个随机变量，且D(10ξ+10)=40，则Dξ=________.

频率 12．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高

组距 （单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）

0.035 若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150)三组 内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一

a0.020 0.010 0.005 ,150]内的学生中选取的 项活动，则从身高在[140人数应为

100 110 120 130 140 150 身高

13．已知复数z满足|z-1|=1，则|z(5+3i)|的最大值为

14．一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形的边上爬行，某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点

的距离均超过1的概率为

15．选做题（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做，则按第一小题评分）

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xcos,(A)（选修4-4坐标系与参数方程）曲线（为参数）与曲线22cos0的交

y1sin点个数为 个.

(B)（选修4-5不等式选讲）若不等式|x1||x3|a4对任意的实数x恒成立，则实数aa的取值范围是 ．

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）

在极坐标系中，点M坐标是2,曲线C的方程为22sin()；以极点为坐标原点，，

43极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 经过点M和极点． （1）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程； （2）直线l和曲线C相交于两点A、B，求线段AB的长.

17．（本题满分12分）

袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为

1.现在甲、乙两人从袋中轮流7摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的. （1）求袋中原有白球的个数； （2）求取球两次终止的概率 （3）求甲取到白球的概率

18. （本小题满分12分）

用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图)设容器高为h米，盖子边长为a米， (1)求a关于h的解析式；

(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值(不计容器厚度)

19.（本题满分12分）

某篮球联赛的总决赛在甲、乙两队之间角逐。采用七场四胜制，即有一队胜四场，则此

队获胜，同时比赛结束。在每场比赛中，两队获胜的概率相等。根据以往资料统计，每场比赛组织

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者可获门票收入32万元，两队决出胜负后，问：

(1)组织者在此次决赛中，获门票收入为128万元的概率是多少？ (2)设组织者在此次决赛中获门票收入为，求的分布列及E。

20．（本小题满分13分）

已知函数f(x)ax22xlnx．

（Ⅰ）若f(x)无极值点，但其导函数f(x)有零点，求a的值；

3（Ⅱ）若f(x)有两个极值点，求a的取值范围，并证明f(x)的极小值小于．

2

21．(本小题满分14分)

过曲线C：yex上一点P作曲线C的切线l0交x轴于点Q1(x1,0)，又过Q1作x轴的垂线交0(0,1)曲线C于点P1(x1,y1)，然后再过P1(x1,y1)作曲线C的切线l1交x轴于点Q2(x2,0)，又过Q2作x轴的垂线交曲线C于点P，，以此类推，过点Pn的切线ln与x轴相交于点Qn1(xn1,0)，再过2(x2,y2)点Qn1作x轴的垂线交曲线C于点P（nN）． n1(xn1,yn1) (1) 求x1、x2及数列{xn}的通项公式；

(2) 设曲线C与切线ln及直线Pn1Qn1所围成的图形面积为Sn，求Sn的表达式；

* (3) 在满足(2)的条件下, 若数列{Sn}的前n项和为Tn，求证：

Tn1xn1(nN+). Txn n

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江西省于都中学2010-2011学年高二下学期期末复习一

数学试卷（理科）答案

一、选择题：

1—5：BBCDA 6—10：CDABC 二、填空题：

11： 0.4 12： 3 13： 6

14：

16.

21Cn17.解：（1）设袋中原有n个白球，由题意知：2，……………2分

7C71 15： (A) 2 (B)2(,0){2}

解得n3（舍去n2），即袋中原有3个白球 …………4分 （2）记“取球两次终止”为事件A

P(A)432…………………………………………………8分 7673）因为甲先取，所以甲只有可能在第1次或第3次或第5次取到白球 记“甲取到白球”为事件B

P(B)34334321322…………………12分 7765765433518.解 ①设h′是正四棱锥的斜高，由题设可得 第 - 5 - 页 共 9 页

12a4ha212(a0) 消去h.解得:a21h1a2a2h1241h②由Va2h (h＞0)

33(h21)得 V113(h)h而h112h2 hh11，当且仅当h=即h=1时取等号 6h1故当h=1米时，V有最大值，V的最大值为立方米 6所以V≤

19.

212ax2x1 xxx22x10的0.f(x)有零点而f(x)无极值点，表明该零点左右f(x)同号，故a0，且2a1由此可得a.

21（Ⅱ）由题意，2ax22x10有两不同的正根，故0,a0.解得：0a

22设2ax2x10的两根为x1,x2，不妨设x1x2，因为在区间(0,x1),(x2,)均有 f(x)0，而在区间(x1,x2)上，f(x)0，故x2是f(x)的极小值点.

20．解（I）f(x)2ax222x210 ∴2ax22x111∴a22由0a知x2且x21

2x222

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22x2lnx2∴f(x2)ax22x212x22x2lnx2 22x211（x2且x21） 2211构造函数Q(x)lnxx（x且x1）

2211x3∴Q(x)Q(1) Q(x)1xx 23∴f(x)的极小值f(x2).

221.(本小题主要考查导数、数列、不等式、定积分等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)

lnx2x2 (1) 解: 由yex，设直线ln的斜率为kn，则knen.

∴直线l0的方程为yx1.令y0，得x11， ∴y1ex1x111x1， ∴P.∴. (1,)ke11eee11(x1).令y0，得x22. 一般地，直线ln的方程为ee∴直线l1的方程为yyexnexn(xxn)，由于点Qn1(xn1,0)在直线ln上，∴xn1xn1.

∴数列xn是首项为1，公差为1的等差数列.∴（2）解：Sn nxxnn.

111nxnnn1edx(xx)yey(ee)e |nn1nn(n1)(n1)222e21n. 2ee11[1()n]e2111e2eee2(11)T（3）证明：n12ee1e22e2e(e1)enen…10分

1en1Tn1en11e1xn1(n1)1e11 ∴T，. n1n11eeeexnnnn1ne11第 - 7 - 页 共 9 页

Tn1xn1e11 要证明，只要证明n1，即只要证明en1(e1)ne. Tnxneen证法1：（数学归纳法）

2 当n=1时，显然(e1)20e22e1e2(e1)e成立；

3 假设nk时，ek1(e1)ke成立，则当nk1时，ek2eek1e[(e1)ke]，

而e[(e1)ke][(e1)(k1)e](e1)2(k1)0.

∴e[(e1)ke](e1)(k1)e.∴ek2(e1)(k1)e. 这说明，nk1时，不等式也成立.

由①②知不等式

Tn1xn1对一切nN*都成立.

Tnxn证法2: en101n1n1[1(e1)]n1Cn 1Cn1(e1)Cn1(e1) Cn1Cn1(e1)1(n1)(e1)(e1)ne.

01 ∴不等式

Tn1xn1对一切nN*都成立.

Tnxn证法3:令fxex1e1xe,则f'xex1e1,

'x1当x0时, fxee1ee110

,

∴函数fx在0,上单调递增.∴当x0时, fxf00.

n1∵nN,∴fn0, 即ee1ne0.

*第 - 8 - 页 共 9 页

∴e

n1*e1ne.∴不等式Tn1xn1对一切nN都成立.………14分

Tnxn第 - 9 - 页 共 9 页