运用二次函数解决实际问题

运用二次函数解决实际问题

方法指导：运用二次函数的图像和性质解决实际问题，首先应按题意建立合适的函数关系式，特别注意自变量和函数表示的实际意义；然后再利用二次函数的图像和性质解决所求问题。

例题1： 改革开放后，不少农村都用上了自动喷灌设备，如图所示。设水管B高出地面1.5m，在B处有一个自动旋转的喷头，某一瞬间，喷头的水流呈抛物线状，喷头B与水流的最高点C处的连线与水平线成45°角，水流的最高点比喷头B高出2cm，在所建的坐标中，求水流的落地点D离A点的距离。

例题2: 如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC.点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面距离为2米，OC=8米。 （1） 请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；

（2） 为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆

形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）

（3） 为了施工方便，现需计算出O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时

点O、P之间的距离是多少？（请写出求解过程）

二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系 知识要点：

1．抛物线yax2bxc(a0)中，当y0时，即ax2bxc0，得到一个关于x的一元二次方程。①若b24ac0时（设两根为x1，x2），抛物线与x轴一定有

交点，并且与x轴的交点坐标为（x1，0）和（x2，0)；反之，若抛物线与x轴有交点，则对应方程中b24ac0。②若b2-4ac0时，抛物线与x轴无交点，反之亦然。

2．抛物线yax2bxc中，当y0时，即ax2bxc0，此时抛物线上对应部分的自变量x的取值范围就是不等式ax2bxc0的解集；同理可得

ax2bxc0的解集。

例题1：已知抛物线yax2bxc的图像如图所示 ⅰ.请你直接写出方程ax2bxc0的解， ⅱ.写出不等式ax2bxc0的解集。

例题2：k为何值时，对于任何实数x，函数ykx22(k2)xk的图像总在x轴上方？

例题3：已知二次函数y2x2(m1)x(m1)

①． 求证：无论m为何值，此函数的图像与x轴总有交点，并且指出m为何

值时，只有一个交点。

②．当m为何值时，函数的图像过原点，并求出此时图像与x轴的另一个交点的坐标。