3.2.2-1应用已知函数模型解决实际问题

§3.2.2 函数模型的应用实例

第一课时 应用已知函数模型解决实际问题

【教学目标】

能够找出简单实际问题中的函数关系式, 初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.

【教学重难点】

1．教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题. 2. 教学难点：将实际问题转变为数学模型.

【教学过程】

（一）创设情景, 揭示课题

引例：大约在一千五百年前, 大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼, 上有三十五头, 下有九十四足, 问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？老师介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚, 则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”. 这样, “独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差, 就是兔子数, 即：47－35＝12；鸡数就是：35－12＝23.

比例激发学生学习兴趣, 增强其求知欲望.

可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题. （二）结合实例, 探求新知.

例1 某农家旅游公司有客房300间, 每间日房租为20元, 每天都客满. 公司欲提高档次, 并提高租金, 如果每间客房日增加2元, 客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素, 旅社将房间租金提高到多少时, 每天客房的租金总收入最高？

引导学生探索过程如下：

1）本例涉及到哪些数量关系？

2）应如何选取变量, 其取值范围又如何？

3）应当选取何种函数模型来描述变量的关系？ 4）“总收入最高”的数学含义如何理解？

根据老师的引导启发, 学生自主, 建立恰当的函数模型, 进行解答, 然后交流、进行评析. [略解：]

设客房日租金每间提高2x元, 则每天客房出租数为300－10x, 由x＞0, 且300－10x＞0得：0＜x＜30

设客房租金总上收入y元, 则有： y=（20+2x）(300－10x)

=－20(x－10)2 ＋ 8000（0＜x＜30） 由二次函数性质可知当x=10时, ymax=8000.

所以当每间客房日租金提高到20＋10×2=40元时, 客户租金总收入最高, 为每天8000元. 变式：某列火车众北京西站开往石家庄, 全程277km, 火车出发10min开出13km后, 以120km/h匀速行驶. 试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式, 并求火车离开北京2h内行驶的路程.

例2 要建一个容积为8m3, 深为2m的长方体无盖水池, 如果池底和池壁的造价每平方

米分别为120元和80元, 试求应当怎样设计, 才能使水池总造价最低？并求此最低造价.

解析：选择合适的数学模型建立函数关系

解：设长方体底面的长为xm,则宽为(4/x)m,水池的总造价为y元 y=480+80[4x+(16/x)] 当x=2时, 总造价最低为1760元 点评：利用基本不等式

变式：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件, 1.2万件, 1.3万件, 为了估计以后每个月的产量, 以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量t与月份的x关系, 模拟函数可以选用二次函数或函数yabc(其中a,b,c为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件, 请问用以上哪个函数作为模拟函数较好, 并说明理由.

【板书设计】 一、已知函数模型 二、例题 例1 变式1 例2 变式2

x

【作业布置】教材P116练习1、2

§3.2.2 函数模型的应用实例

第一课时 应用已知函数模型解决实际问题

课前预习学案

一．预习目标：熟悉几种常见的函数增长型

二．预习内容：阅读课本内容思考：主要的函数增长性有哪些 三、提出疑惑

同学们, 通过你的自主学习, 你还有哪些疑惑, 请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案

一．学习目标：能够找出简单实际问题中的函数关系式, 初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.

学习重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题. 学习难点：将实际问题转变为数学模型.

二．学习过程

解决实际问题的步骤

1）首先建立直角坐标系, 画出散点图；

2）根据散点图设想比较接近的可能的函数模型： 一次函数模型：f(x)kxb(k0); 二次函数模型：g(x)axbxc(a0); 幂函数模型：h(x)axb(a0);

指数函数模型：l(x)abc（a0,b＞0, b1）

利用待定系数法求出各解析式, 并对各模型进行分析评价, 选出合适的函数模型；由于尝试的过程计算量较多, 可同桌两个同学分工合作, 最后再一起讨论确定.

例1 某农家旅游公司有客房300间, 每间日房租为20元, 每天都客满. 公司欲提高档次, 并提高租金, 如果每间客房日增加2元, 客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素, 旅社将房间租金提高到多少时, 每天客房的租金总收入最高？

变式：某列火车众北京西站开往石家庄, 全程277km, 火车出发10min开出13km后, 以120km/h匀速行驶. 试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式, 并求火车离开北京2h内行驶的路程.

例2 要建一个容积为8m3, 深为2m的长方体无盖水池, 如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元, 试求应当怎样设计, 才能使水池总造价最低？并求此最低造价.

212x

变式：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件, 1.2万件, 1.3万件, 为了估计以后每个月的产量, 以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量t与月份的x关系, 模拟函数可以选用二次函数或函数yabc(其中a,b,c为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件, 请问用以上哪个函数作为模拟函数较好, 并说明理由.

课后练习与提高

一．选择题

1.客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地, 在乙地停留了半小时, 然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地, 下列描述客车从甲地出发.经过乙地, 最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中, 正确的是（ ）

x

A. B. C. D.

2．一种商品连续两次降价10%后, 欲通过两次连续提价恢复原价, 则每次应提价（ ） A．10%

B．20%

C．5%

D．11.1%

3．今有一组实验数据如下：

t v 1.99 1.5 3.0 4.04 4.0 7.5 5.1 12 6.12 18.01 现准备用下列函数中一个近似地表示这些数据满足的规律, 其中最接近的一个是（ ）

A．vlog 二．填空题

4.假设某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a·为DaAA, 当A= 时, 取得最大广告效应.

5．某种细菌在培养过程中, 每20分钟分裂一次（一个分裂为2个）经过3小时后, 这种细菌可由1个分裂成__________个

三．解答题

6. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时, 每吨为1.80元, 当用水超过4吨时, 超过部分每吨3.00元, 某月甲、乙两户共交水费y元, 已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x, 3x吨. （1）求y关于x的函数；

（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元, 分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.

t2

B．vlog

t12

t21C．v

2

D．v2t2

A, 那么广告效应

参考答案