2021年人教A版（2019）必修第一册数学第二章 一元二次函数、
方程和不等式单元测试卷（1）
一、选择题
1. 不等式𝑥(4−𝑥)<3的解集为（ ） A.{𝑥|𝑥<1或𝑥>3} D.{𝑥|0<𝑥<4}
2. 若𝑎>𝑏>0，下列不等式成立的是( ) A.𝑎2<𝑏2
3. 已知𝑥>0，𝑦>0，若𝑥𝑦=3，则𝑥+𝑦的最小值为( ) A.3
4. 若𝑎，𝑏，𝑐∈R且𝑎>𝑏，则下列不等式中一定成立的是( ) A.𝑎𝑐>𝑏𝑐
5. 关于𝑥的不等式𝑎𝑥2−(𝑎+1)𝑥+1>0(𝑎<0)的解集为( ) A.{𝑥|𝑎<𝑥<1}
6. 若不等式𝑥2−𝑡𝑥+1<0对一切𝑥∈(1,2)恒成立，则实数𝑡的取值范围为( ) A.𝑡<2
7. 不等式𝑎𝑥2−𝑥+𝑐>0的解集为{𝑥|−2<𝑥<1}，函数𝑦=𝑎𝑥2−𝑥+𝑐的图象大致为（ ）
B.𝑡>2
5
1
B.{𝑥|𝑥<0或𝑥>4} C.{𝑥|1<𝑥<3}
B.𝑎2<𝑎𝑏 C.<1
𝑎
𝑏
D.>
𝑎
𝑏
11
B.2 C.2√3 D.1
B.(𝑎−𝑏)𝑐2>0 C.<
𝑎
𝑏
11
D.−2𝑎<−2𝑏
B.{𝑥|𝑥>𝑎或𝑥<1} C.{𝑥|𝑥<𝑎或𝑥>1} D.{𝑥|1<𝑥<𝑎}
111
C.𝑡≥1
D.𝑡≥2 5
A. B.
试卷第1页，总14页
C.
D.
8. 若𝑥>0，𝑦>0，且+=1，则𝑥𝑦有（ ）
𝑥
𝑦
28
A.最大值64
B.最小值64
1
C.最小值2 1
D.最小值64
9. 若不等式𝑎𝑥2−𝑏𝑥−1≥0的解集是[3,2]，则不等式𝑥2−𝑏𝑥−𝑎<0的解集是( ) A.(2,3) C.(−3,−2)
10. 关于𝑥的不等式𝑥2−(𝑎+1)𝑥+𝑎<0的解集中恰有两个正整数，则实数𝑎的取值范围是( ) A.[2, 4)
11. 设二次函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)，如果𝑓(𝑥1)=𝑓(𝑥2) （其中𝑥1≠𝑥2），则𝑓(
𝑥1+𝑥22𝑏
11
B.(3,2)
D.(−∞,3)∪(2,+∞)
1
1
11
B.[3, 4] C.(3, 4] D.(3, 4)
)等于（ ）
𝑏
4𝑎𝑐−𝑏24𝑎
A.−2𝑎
B.−𝑎
C.𝑐 D. 12. 已知正实数𝑥，𝑦满足2𝑥+𝑦=𝑥𝑦，则𝑥+2𝑦≥𝑚恒成立，则实数𝑚的最大值为( ) A.8 二、填空题
13. 已知二次函数𝑓(𝑥)满足如表所示的对应关系：
试卷第2页，总14页
B.9 C.6 D.7
𝑥 1 2 4 𝑓(𝑥) 0 −1 0 则不等式𝑓(𝑥)<0的解集为________．
14. 已知函数𝑓(𝑥)=
15. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3+3𝑥2−4，𝑔(𝑥)=𝑥2−2𝑡𝑥−1(𝑡>0)，若存在唯一的整数𝑥0，使得𝑓(𝑥0)>0，𝑔(𝑥0)≤0，则实数𝑡的取值范围是________，唯一的整数𝑥0等于________. 三、解答题
16. 已知𝑥>1，比较𝑥3+6𝑥与𝑥2+6的大小．
17. 已知𝑎>0，𝑏>0，且𝑎+𝑏=2． (1)求𝑎𝑏的最大值；
(2)求+的最小值．
𝑎
𝑏2
8
4√𝑚𝑥2−2𝑚𝑥+1的定义域为R，则实数𝑚的取值范围是________．
18. 若实数𝑎同时满足：
(1)对任意的𝑥∈R，𝑎𝑥2+𝑎𝑥+1>0恒成立；
(2)关于𝑥的方程𝑥2−𝑥+𝑎=0有实数根．求实数𝑎的取值范围．
19. 经观测，某公路在某时间段内的车流量𝑦（千辆/小时）与汽车的平均速度𝑣（千米/小时）之间有函数关系： 𝑦=
920𝑣𝑣2+3𝑣+1600
(𝑣>0).
(1)在该时段内，当汽车的平均速度𝑣为多少时车流量𝑦最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，汽车的平均速度应控制在什么范围内？ 20.
(1)已知不等式𝑥2−𝑚𝑥+4<0的解集为{𝑥|𝑛<𝑥<−1}，求不等式2−𝑛𝑥≥0的解集；
(2)已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑎𝑥+3，若存在𝑥∈R使𝑓(𝑥)≤𝑎，求实数𝑎的取值范围．
试卷第3页，总14页
𝑚𝑥−1
21. 已知𝑥+𝑦+𝑧=𝑚，求证：𝑥2+𝑦2+𝑧2≥
𝑚23
. 试卷第4页，总14页
参考答案与试题解析
2021年人教A版（2019）必修第一册数学第二章 一元二次函数、
方程和不等式单元测试卷（1）
一、选择题 1.
【答案】 A
【考点】
一元二次不等式的应用 【解析】
原不等式可以变形为𝑥2−4𝑥+3>0，结合其对应的二次函数𝑦＝𝑥2−4𝑥+3的二次函数，分析可得答案． 【解答】
解：根据题意，原不等式可以变形为𝑥2−4𝑥+3>0， ⇒(𝑥−1)(𝑥−3)>0， ⇒𝑥<1或𝑥>3，
所以：不等式𝑥(4−𝑥)<3的解集为：{𝑥|𝑥<1或𝑥>3}. 故选𝐴. 2.
【答案】 C
【考点】
不等式比较两数大小 不等式的概念与应用
【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：由题意，取𝑎=2，𝑏=1， 则𝑎2>𝑏2，𝑎2>𝑎𝑏， <1，𝑎<𝑏． 𝑎
故选𝐶． 3.
【答案】 C
【考点】 基本不等式 【解析】
利用基本不等式的积定和最小进行求解. 【解答】
解：∵ 𝑥>0，𝑦>0，
∴ 𝑥+𝑦≥2√𝑥𝑦，当且仅当𝑥=𝑦时取等号.
试卷第5页，总14页
𝑏
1
1
由题知𝑥𝑦=3，
∴ (𝑥+𝑦)𝑚𝑖𝑛=2√3. 故选𝐶. 4.
【答案】 D
【考点】
不等式的概念与应用 【解析】
根据不等式的基本性质，结合特殊值，可判断选项正误． 【解答】
解：∵ 𝑎，𝑏，𝑐∈R且𝑎>𝑏， ∴ 取𝑐＝0，可排除𝐴，𝐵； 取𝑎＝1，𝑏＝−1可排除𝐶．
由不等式的性质知当𝑎>𝑏时，−2𝑎<−2𝑏，故𝐷正确． 故选𝐷. 5.
【答案】 A
【考点】
一元二次不等式的解法 【解析】
由𝑎𝑟2−(𝑎+1)𝑥+1>0(𝑎<0)，得{𝑥|𝑎<𝑥<1），故选𝐴． 【解答】
解：由𝑎𝑥2−(𝑎+1)𝑥+1>0(𝑎<0)， 得{𝑥|𝑎<𝑥<1}． 故选𝐴． 6.
【答案】 D
【考点】
不等式恒成立问题 【解析】
将问题转化为𝑡>𝑥+𝑥对一切𝑥∈(1,2)恒成立，设𝑦=𝑥+𝑥，由对勾函数的单调性得到𝑦=𝑥+𝑥∈(1,2)，即可求解. 【解答】
解：当𝑥∈(1,2)时，不等式𝑥2−𝑡𝑥+1<0可化为：𝑡>𝑥+𝑥， ∴ 𝑡>𝑥+𝑥对一切𝑥∈(1,2)恒成立， 设𝑦=𝑥+𝑥，
试卷第6页，总14页
11
1
1
5
1
1
1
1
由对勾函数的单调性可知，𝑦=𝑥+在𝑥∈(1,2)上单调递增，
𝑥1
∴ 𝑦=𝑥+∈(2,)，
𝑥2∴ 𝑡≥. 25
15
故选𝐷.
7.
【答案】 A
【考点】
二次函数的图象 【解析】
利用根与系数的关系𝑥1+𝑥2=−，𝑥1⋅𝑥2=结合二次函数的图象得结果．
𝑎
𝑎
𝑏
𝑐
【解答】
解：由题知−2和1是𝑎𝑥2−𝑥+𝑐=0的两根， 由根与系数的关系知−2+1=𝑎，−2×1=𝑎， ∴ 𝑎=−1，𝑐=2，
∴ 𝑦=−𝑥2−𝑥+2=−(𝑥−1)(𝑥+2)，其图象为𝐴． 故选𝐴． 8.
【答案】 D
【考点】
基本不等式及其应用 【解析】
和定积最大，直接运用均值不等式𝑥+𝑦=1≥2√𝑥⋅𝑦=8√𝑥𝑦，就可解得𝑥𝑦的最小值，注意等号成立的条件． 【解答】
解：因为𝑥>0，𝑦>0， 所以𝑥+𝑦=1≥2√𝑥⋅𝑦=8√𝑥𝑦，
⇒𝑥𝑦≥64当且仅当𝑥=4，𝑦=16时取等号. 故选𝐷. 9.
【答案】 C
【考点】
一元二次不等式与一元二次方程 一元二次不等式的解法 根与系数的关系 【解析】
2
8
2
8
1
2
8
2
8
1
1
𝑐
试卷第7页，总14页
此题暂无解析 【解答】
解：因为不等式𝑎𝑥2−𝑏𝑥−1≥0的解集是[,]，
3211
所以，是方程𝑎𝑥2−𝑏𝑥−1=0的两个根，
3
2
11
由韦达定理得： 𝑎=3+2=6，−𝑎=3×2=6，且𝑎<𝑏， 解得𝑎=−6，𝑏=−5，
所以不等式𝑥2−𝑏𝑥−𝑎<0，即为𝑥2+5𝑥+6<0， 即(𝑥+2)(𝑥+3)<0， 解得−3<𝑥<−2，
所以不等式𝑥2−𝑏𝑥−𝑎<0的解集是(−3,−2) . 故选𝐶. 10.
【答案】 C
【考点】
一元二次不等式的解法 【解析】
根据题意，求出不等式的解集，根据解集中恰有两个正整数，即可得到𝑎的范围． 【解答】
解：①当𝑎<1时，𝑥2−(𝑎+1)𝑥+𝑎<0的解集为(𝑎, 1)， 不满足解集中恰有两个正整数； ②当𝑎=1时，不等式解集为⌀；
③当𝑎>1时，𝑥2−(𝑎+1)𝑥+𝑎<0的解集为(1, 𝑎)， 又因为解集中恰有两个正整数，即解集中包含2，3， 所以3<𝑎≤4. 故选𝐶. 11.
【答案】 D
【考点】
二次函数的性质 【解析】
本题是二次函数的对称问题，由二次函数的性质知道，𝑓(𝑥1)=𝑓(𝑥2)（其中𝑥1≠𝑥2），则𝑥1，𝑥2到对称轴的距离相等，故可得𝑓(
𝑥1+𝑥22
𝑏1151111
)=𝑓(−
𝑏2𝑎
)，由此找到突破口．
【解答】
解：由二次函数的性质知道，𝑓(𝑥1)=𝑓(𝑥2)（其中𝑥1≠𝑥2），则𝑥1，𝑥2到对称轴的距离相等，故可得：𝑓(故选𝐷. 12. 【答案】 B
试卷第8页，总14页
𝑥1+𝑥22
)=𝑓(−2𝑎)=
𝑏
4𝑎𝑐−𝑏24𝑎
．
【考点】
函数恒成立问题
基本不等式在最值问题中的应用 【解析】
【解答】
解：由2𝑥+𝑦=𝑥𝑦可得+=1，
𝑦
𝑥2
1
21
𝑥+2𝑦=(𝑥+2𝑦)(+)
𝑦𝑥=5+
2𝑥2𝑦2𝑥2𝑦+≥5+2√× 𝑦𝑥𝑦𝑥=5+4=9， 当且仅当𝑦=
2𝑥
2𝑦𝑥
时，等号成立，所以𝑥+2𝑦的最小值为9，
又因为𝑥+2𝑦≥𝑚恒成立，所以𝑚≤9，即𝑚的最大值为9．
故选𝐵 . 二、填空题
13.
【答案】 (1, 4) 【考点】
二次函数的图象
一元二次不等式与二次函数
【解析】
设函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)，由表中数据知，此二次函数是开口向上的抛物线，并且与𝑥轴交于两点(1, 0)，(4, 0)，从而求出不等式𝑓(𝑥)<0的解集． 【解答】
解：设函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)， 由表中数据知1和4是方程𝑓(𝑥)=0的两根， 又𝑓(2)=−1<0，
故此二次函数是开口向上的抛物线，并且与𝑥轴交于两点(1, 0)和(4, 0)， ∴ 不等式𝑓(𝑥)<0的解集为1<𝑥<4． 故答案为：(1, 4). 14.
【答案】 [0, 1) 【考点】
一元二次不等式
函数的定义域及其求法
【解析】
根据题意可知，不等式𝑚𝑥2−2𝑚𝑥+1>0的解集为R，从而讨论𝑚:𝑚=0时，显然满足题意；𝑚≠0时，{
𝑚>0，𝛥=4𝑚−4𝑚<0，2
解出𝑚的范围即可．
试卷第9页，总14页
【解答】
解：∵ 𝑓(𝑥)的定义域为R，
∴ 不等式𝑚𝑥2−2𝑚𝑥+1>0的解集为R， ①𝑚=0时，1>0恒成立，满足题意； ②𝑚≠0时，{
𝑚>0，𝛥=4𝑚−4𝑚<0，2
解得0<𝑚<1，
∴ 实数𝑚的取值范围是[0, 1)． 故答案为：[0, 1)． 15. 【答案】 [,),2 43
【考点】
二次函数的应用 函数恒成立问题 二次函数的性质
【解析】
解决本题的关键是熟练掌握二次函数的单调性. 【解答】
解：∵ 𝑓(𝑥)=𝑥3+3𝑥2−4=(𝑥−1)(𝑥+2)2,
根据穿根法可得当𝑥<1时，𝑓(𝑥)≤0；𝑥>1时，𝑓(𝑥)>0.
又𝑔(𝑥)=𝑥2−2𝑡𝑥−1(𝑡>0)的图像是一个开口向上的抛物线， 且𝛥=4𝑡2+4>0， 对称轴𝑥=𝑡，
要使存在唯一的𝑥0，使𝑔(𝑥0)≤0成立，𝑥0∈𝐙， 𝑓(1)=0，不满足要求，若𝑥0的取值唯一，则𝑥0=2, 故可得𝑔(2)≤0，𝑔(3)>0， 4−4𝑡−1≤0,34∴ {解得4≤𝑡<3. 9−6𝑡−1>0,故答案为：[,)；2.
43三、解答题
16.
【答案】
解：𝑥3+6𝑥−𝑥2−6 =𝑥2(𝑥−1)+6(𝑥−1) =(𝑥2+6)(𝑥−1). ∵ 𝑥>1，
∴ (𝑥2+6)(𝑥−1)>0， ∴ 𝑥3+6𝑥>𝑥2+6． 【考点】
不等式比较两数大小 【解析】
根据作差法判断其大小即可． 【解答】
试卷第10页，总14页
34
34
解：𝑥3+6𝑥−𝑥2−6 =𝑥2(𝑥−1)+6(𝑥−1) =(𝑥2+6)(𝑥−1). ∵ 𝑥>1，
∴ (𝑥2+6)(𝑥−1)>0， ∴ 𝑥3+6𝑥>𝑥2+6． 17.
【答案】
解：(1)∵ 𝑎>0，𝑏>0，且𝑎+𝑏=2． ∴ 𝑎𝑏≤(
𝑎+𝑏2
)2
=(2)2=1，
2
当且仅当𝑎=𝑏=1时，取等号，
所以𝑎𝑏的最大值为1.
281414(2)+=2(+)=(𝑎+𝑏)(+)
𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏=1+4+𝑎+
𝑏𝑏
4𝑎𝑏
=5+(𝑎+
𝑏
𝑏4𝑎
)≥5+2√𝑎⋅𝑏
2
4
𝑏4𝑎𝑏
=9．
当且仅当{
2
8
𝑎
=
4𝑎
，𝑎+𝑏=2，即𝑎=3，𝑏=3时取“=”，
所以𝑎+𝑏最小值为9．
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用 【解析】
（1）直接利用基本不等式求𝑎𝑏的最大值；
（2）把要求最小值的式子提取2，用𝑎+𝑏替换2，然后用多项式乘多项式展开，然后再利用基本不等式求最小值．
【解答】
解：(1)∵ 𝑎>0，𝑏>0，且𝑎+𝑏=2． ∴ 𝑎𝑏≤(
𝑎+𝑏2
)2
=()2=1，
2
2
当且仅当𝑎=𝑏=1时，取等号， 所以𝑎𝑏的最大值为1.
281414(2)+=2(+)=(𝑎+𝑏)(+)
𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏=1+4+𝑎+
𝑏𝑏
4𝑎𝑏
=5+(𝑎+
𝑏
𝑏4𝑎
)≥5+2√𝑎⋅𝑏
2
4
𝑏4𝑎𝑏
=9．
当且仅当{
2
8
=
𝑎
4𝑎
，𝑎+𝑏=2，即𝑎=3，𝑏=3时取“=”，
所以𝑎+𝑏最小值为9． 18. 【答案】
试卷第11页，总14页
解：(1)当𝑎=0时，1>0成立； 𝑎>0，当𝑎≠0时，{
𝑎2−4𝑎<0，解得0<𝑎<4， (2)由题意得，
𝛥=(−1)2−4𝑎≥0， 解得𝑎≤4，
故实数𝑎的取值范围为[0，].
41
1
【考点】
一元二次方程的根的分布与系数的关系 【解析】
(1)直接利用不等式恒成立，确定参数满足的条件，即可得到答案； 【解答】
解：(1)当𝑎=0时，1>0成立； 𝑎>0，当𝑎≠0时，{
2
𝑎−4𝑎<0，解得0<𝑎<4， (2)由题意得，
𝛥=(−1)2−4𝑎≥0， 解得𝑎≤4，
故实数𝑎的取值范围为[0，].
41
1
19. 【答案】
解：(1)𝑦=𝑣2+3𝑣+1600 =
920920≤ 16001600𝑣+𝑣+32√𝑣⋅
𝑣+3
92083
920𝑣
=≈11.08，
1600𝑣
当且仅当𝑣=时．
，即𝑣=40千米/小时时，车流量最大，最大车流量为11.08千辆/小
(2)据题意有：𝑣2+3𝑣+1600≥10，
化简得𝑣2−89𝑣+1600≤0，即(𝑣−25)(𝑣−64)≤0， 所以25≤𝑣≤64，
所以汽车的平均速度应控制在不小于25千米/小时且不大于64千米/小时这个范围内. 【考点】
基本不等式在最值问题中的应用 一元二次不等式的应用
试卷第12页，总14页
920𝑣
【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：(1)𝑦=𝑣2+3𝑣+1600 =
920920
≤ 1600𝑣++32√𝑣⋅1600+3
𝑣𝑣92083
920𝑣
=≈11.08，
1600𝑣
当且仅当𝑣=时．
，即𝑣=40千米/小时时，车流量最大，最大车流量为11.08千辆/小
(2)据题意有：
920𝑣
𝑣2+3𝑣+1600
≥10，
化简得𝑣2−89𝑣+1600≤0，即(𝑣−25)(𝑣−64)≤0，
所以25≤𝑣≤64，
所以汽车的平均速度应控制在不小于25千米/小时且不大于64千米/小时这个范围内. 20.
【答案】
解：(1)∵ 不等式𝑥2−𝑚𝑥+4<0的解集为{𝑥|𝑛<𝑥<−1}， ∴ −1，−4是方程𝑥2−𝑚𝑥+4=0的两根， ∴ 𝑚=−5，𝑛=−4，不等式即为2+4𝑥≥0，
11(5𝑥+1)(4𝑥+2)≤0,
∴ {解得−<𝑥≤，
254𝑥+2≠0,
−5𝑥−1
∴ 不等式2−𝑛𝑥≥0的解集为{𝑥|−2<𝑥≤−5} . (2)由题意知，存在𝑥∈R，使𝑥2+𝑎𝑥+3−𝑎≤0，
∴ 𝛥=𝑎2−4(3−𝑎)≥0，解得𝑎≤−6或𝑎≥2， ∴ 𝑎的范围是(−∞,−6]∪[2,+∞) . 【考点】
分式不等式的解法 一元二次不等式的解法
【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：(1)∵ 不等式𝑥2−𝑚𝑥+4<0的解集为{𝑥|𝑛<𝑥<−1}， ∴ −1，−4是方程𝑥2−𝑚𝑥+4=0的两根， ∴ 𝑚=−5，𝑛=−4，不等式即为2+4𝑥≥0，
11(5𝑥+1)(4𝑥+2)≤0,
∴ {解得−2<𝑥≤5，
4𝑥+2≠0,
−5𝑥−1
𝑚𝑥−111
∴ 不等式2−𝑛𝑥≥0的解集为{𝑥|−2<𝑥≤−5} . (2)由题意知，存在𝑥∈R，使𝑥2+𝑎𝑥+3−𝑎≤0，
试卷第13页，总14页
𝑚𝑥−111
∴ 𝛥=𝑎2−4(3−𝑎)≥0，解得𝑎≤−6或𝑎≥2， ∴ 𝑎的范围是(−∞,−6]∪[2,+∞) . 21.
【答案】
证明：由于𝑥2+𝑦2≥2𝑥𝑦，𝑦2+𝑧2≥2𝑦𝑧，𝑧2+𝑥2≥2𝑧𝑥， 相加可得，2𝑥2+2𝑦2+2𝑧2≥2𝑥𝑦+2𝑦𝑧+2𝑧𝑥， 再同时加𝑥2+𝑦2+𝑧2，
即有3(𝑥2+𝑦2+𝑧2)≥𝑥2+𝑦2+𝑧2+2𝑥𝑦+2𝑦𝑧+2𝑧𝑥， 即为3(𝑥2+𝑦2+𝑧2)≥(𝑥+𝑦+𝑧)2=𝑚2， 即𝑥2+𝑦2+𝑧2≥
𝑚23
（当且仅当𝑥=𝑦=𝑧取得等号）．
【考点】
由基本不等式证明不等关系 【解析】
运用重要不等式𝑎2+𝑏2≥2𝑎𝑏，和累加法，再由三个数的完全平方公式，即可得证． 【解答】
证明：由于𝑥2+𝑦2≥2𝑥𝑦，𝑦2+𝑧2≥2𝑦𝑧，𝑧2+𝑥2≥2𝑧𝑥， 相加可得，2𝑥2+2𝑦2+2𝑧2≥2𝑥𝑦+2𝑦𝑧+2𝑧𝑥， 再同时加𝑥2+𝑦2+𝑧2，
即有3(𝑥2+𝑦2+𝑧2)≥𝑥2+𝑦2+𝑧2+2𝑥𝑦+2𝑦𝑧+2𝑧𝑥， 即为3(𝑥2+𝑦2+𝑧2)≥(𝑥+𝑦+𝑧)2=𝑚2， 即𝑥2+𝑦2+𝑧2≥
𝑚23
（当且仅当𝑥=𝑦=𝑧取得等号）．
试卷第14页，总14页
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