2019-2020学年浙江省杭州市江干区采荷中学九年级（上）月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1．已知3：x＝6：12，则实数x的值为（ ） A．4
B．6
C．12
D．24
2．下列条件可以确定而且只能确定一个圆的是（ ） A．已知圆心
B．已知半径
2
C．已知直径 D．已知三个点
3．将抛物线y＝（x﹣2）﹣8向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（ ） A．y＝（x+1）﹣13 C．y＝（x﹣5）﹣13
22
B．y＝（x﹣5）﹣3 D．y＝（x+1）﹣3
2
2
4．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（ ）
A．54°
B．64°
C．27°
D．37°
5．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（ ）
A．2
cm
B．
cm
C．
cm
D．1cm
6．如图，圆心角∠AOB＝120°，P是上任一点（不与A，B重合），点C在AP的延长线上，则∠BPC等于（ ）
A．45°
B．60°
C．75°
D．85°
7．现有以下命题：①平分弦的直径垂弦，平分弦所对的弧；②等弧所对的弦相等，所对的圆周角相等；③在同圆或等圆中，弦相等所对的圆周角也相等；④各边都相等的多边形是正多边形．正确的是（ ） A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．已知点（﹣1，y1），（3，y2），（A．y1＞y2＞y3
，y3）在函数y＝x+2x+m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
C．y2＞y3＞y1
D．y3＞y1＞y2
2
B．y2＞y1＞y3
9．如图，在圆O中，弦AB＝4，点C在AB上移动，连接OC，过点C做CD⊥OC交圆O于点D，则CD的最大值为（ ）
A．2
B．2
C．
D．
2
10．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y＝a（x﹣m）+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为（ ）
A．13
B．7
C．5
D．8
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．在半径为6的圆中，120°的圆心角所对的弧长等于 ．（结果保留π）
12．某公司生产一种新型手杖，其长为1m，现要在黄金分割点位置安放一个小装饰品，装饰品离手杖上端的距离为 m．（注：该装饰品离手杖的上端较近，结果保留根号） 13．如图，AD是⊙O的直径，
＝
，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2
，BC＝2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC
于点D，则图中阴影部分的面积为 （计算结果保留π）
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝AE＝ ．
，则
16．如图，抛物线y＝ax+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论： ①4ac＜b；
②方程ax+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3； ③3a+c＞0；
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3； ⑤当x＜0时，y随x增大而增大； 其中结论正确有 ．
22
2
三、解答题（本题共7小题，共66分，解答应写出必要演算步骤，文字说明或证明过程） 17．已知（1）（2）
，求下列算式的值． ； ．
18．已知：在△ABC中，AB＝AC．
（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝ ．
19．某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该土特产的日销售量y（袋）之间的关系如表： x（元） y（袋） 15 25 20 20 30 10 … … 若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：
（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．
（1）求证：BD＝CD；
（2）连结OD若四边形AODE为菱形，BC＝8，求DH的长．
21．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB＝L，称跨度，桥面最高点到AB的距离CD＝h称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型，②圆弧型．已知这座桥的跨度L＝32米，拱高h＝8米． （1）如果设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式； （2）如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；
（3）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度．
22．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax+2x﹣1（a≠0）
（1）当a＝﹣1，二次函数y＝ax+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值； （2）已知点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1），若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围． 23．二次函数y＝ax+bx+2的图象交x轴于点A（﹣1，0），点B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动时间为t秒．
（1）求二次函数y＝ax+bx+2的表达式；
（2）直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角等腰三角形时，求此时点D的坐标； （3）当t＝
时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．
2
2
2
2
2019-2020学年浙江省杭州市江干区采荷中学九年级（上）月考数学试
卷（9月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1．【解答】解：因为3：x＝6：12， 可得：x＝6， 故选：B．
2．【解答】解：A、不能确定．因为半径不确定，故不符合题意； B、不能确定．因为圆心的位置不确定，故不符合题意； C、直径确定，圆就确定，故符合题意；
D．不在同一直线上三点可以确定一个圆．故不符合题意； 故选：C．
3．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝（x﹣2）﹣8向左平移3个单位所得直线的解析式为：y＝（x+1）﹣8；
由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝（x﹣5）﹣8向上平移5个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x+1）
2
2
2
2
﹣3．
故选：D．
4．【解答】解：∵∠AOC＝126°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°， ∵∠CDB＝故选：C．
5．【解答】解：连接AC，过B作BD⊥AC于D； ∵AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形， ∴AD＝CD；
∵此多边形为正六边形， ∴∠ABC＝
＝120°，
∠BOC＝27°．
∴∠ABD＝×120°＝60°，
＝
，
∴∠BAD＝30°，AD＝AB•cos30°＝2×∴a＝2
cm．
故选：A．
6．【解答】解：设点E是优弧AB（不与A、B重合）上的一点， ∵∠AOB＝120°， ∴∠AEB＝60°，
∴∠BPA＝180°﹣∠AEB＝180°﹣∠BPC， ∴∠BPC＝∠AEB＝60°． 故选：B．
7．【解答】解：：①平分弦（不是）的直径垂直弦，平分弦所对的弧，故原命题错误； ②等弧所对的弦相等，所对的圆周角相等，正确；
③在同圆或等圆中，弦相等所对的圆周角相等或互补，故原命题错误； ④各边都相等、各角也相等的多边形是正多边形，故原命题错误， 正确的有②， 故选：A．
8．【解答】解：∵由函数y＝x+2x+m可知则抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，开口向上，而点A（﹣1，y1）在对称轴上，（3，y2）、（∴y2＞y3＞y1． 故选：C．
9．【解答】解：如图，连接OD， ∵CD⊥OC， ∴∠DCO＝90°， ∴CD＝
＝
，
，y3））在对称轴的右侧，
2
当OC的值最小时，CD的值最大，
OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合， ∴CD＝CB＝
AB＝2，
即CD的最大值为2， 故选：B．
10．【解答】解：当点C横坐标为﹣3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x＝1，此时D点横坐标为5，则CD＝8；
当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x＝4，且CD＝8，故C（0，0），D（8，0）； 由于此时D点横坐标最大， 故点D的横坐标最大值为8． 故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11．【解答】解：由题意得，R＝6，n＝120°， 故可得弧长l＝故答案为：24π．
12．【解答】解：装饰品离手杖下端的距离＝所以装饰品离手杖上端的距离＝1﹣故答案为
． ＝
，
＝
×1＝（m）．
，
＝24π．
13．【解答】解：∵
∴∠AOB＝∠COD＝40°， ∴∠BOC＝180°﹣80°＝100°， ∴∠BPC＝
∠BCO＝50°，
故答案为50°．
14．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2∴tanA＝
＝
＝
，
，BC＝2，
∴∠A＝30°， ∴∠DOB＝60°， ∵OD＝∴DE＝
AB＝，
，
∴阴影部分的面积＝S△ABC﹣S△ADO﹣S扇形ODB＝故答案为
﹣
．
×2×2﹣××﹣＝﹣，
15．【解答】解：连接AC，如图， ∵BA平分∠DBE， ∴∠ABE＝∠ABD，
∵∠ABE＝∠CDA，∠ABD＝∠ACD， ∴∠ACD＝∠CDA， ∴AC＝AD＝5， ∵AE⊥CB， ∴∠AEC＝90°， ∴AE＝故答案为：2
．
＝
＝2
．
16．【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点， ∴b﹣4ac＞0，所以①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0）， ∴方程ax+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；
2
2
∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0， ∴a+2a+c＝0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0）， ∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误； ∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确． 故答案为①②⑤．
三、解答题（本题共7小题，共66分，解答应写出必要演算步骤，文字说明或证明过程） 17．【解答】解：（1）∵∴（2）∵
＝，
；
，
∴设a＝3k，则b＝2k， ∴
＝
＝
＝
．
18．【解答】解：（1）如图⊙O即为所求．
（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E． 由题意OE＝4，BE＝EC＝3， 在Rt△OBE中，OB＝∴S圆O＝π•5＝25π．
2
＝5，
故答案为25π． 19．【解答】解：
（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y＝kx+b得
，解得
故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：y＝﹣x+40 （2）依题意，设利润为w元，得 w＝（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x+50x﹣400 整理得w＝﹣（x﹣25）+225 ∵﹣1＜0
∴当x＝25时，w取得最大值，最大值为225
故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．
2
2
20．【解答】（1）证明：如图，连接AD．∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD．
（2）解：如图，连接OE．
∵四边形AODE是菱形， ∴OA＝OE＝AE，
∴△AOE是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形， ∵OA＝OB＝BD＝CD ∴AE＝EC，
∴CD＝CE，∵∠C＝60°， ∴△EDC是等边三角形， ∵DH⊥EC，CD＝4， ∴DH＝CD•sin60°＝2
．
2
21．【解答】解：（1）抛物线的解析式为y＝ax+c， 又∵抛物线经过点C（0，8）和点B（16，0）， ∴0＝256a+8，a＝﹣
．
x+8（﹣16≤x≤16）；
2
∴抛物线的解析式为y＝﹣
（2）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R， 在Rt△OBD中，OB＝OD+DB ∴R＝（R﹣8）+16，解得R＝20；
（3）①在抛物线型中设点F（x，y）在抛物线上，x＝OE＝16﹣4＝12， EF＝y＝3.5米；
②在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′， OH⊥F′E′于H，则OH＝D E′＝16﹣4＝12，O F′＝R＝20， 在Rt△OH F′中，H F′＝
，
2
2
22
2
2
∵HE′＝OD＝OC﹣CD＝20﹣8＝12，E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4（米） ∴在离桥的一端4米处，抛物线型桥墩高3.5米； 圆弧型桥墩高4米．
22．【解答】解：（1）根据题意可得，y＝﹣x+2x﹣1， ∵a＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴x＝1， ∵m≤x≤m+2时，y有最大值﹣4， ∴当y＝﹣4时，有﹣x+2x﹣1＝﹣4， ∴x＝﹣1或x＝3，
①在x＝1左侧，y随x的增大而增大， ∴x＝m+2＝﹣1时，y有最大值﹣4， ∴m＝﹣3；
②在对称轴x＝1右侧，y随x最大而减小， ∴x＝m＝3时，y有最大值﹣4； 综上所述：m＝﹣3或m＝3；
（2）①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1， 即a≤﹣2；
②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3， 即a≥
，
x﹣
， x﹣
，
2
2
直线AB的解析式为y＝
2
抛物线与直线联立：ax+2x﹣1＝∴ax+△＝∴a＜
2
x+＝0，
﹣2a＞0， ，
≤a＜
或a≤﹣2．
2
∴a的取值范围为
23．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x﹣3x﹣4）， 则﹣4a＝2，解得：a＝﹣
，
故抛物线的表达式为：y＝﹣
x+
2
x+2；
（2）①当t＜1时，即MN在y轴左侧，
当点P在第二、三象限时，PC＜PB，故△PBC不可能是直角等腰三角形； ②当t＞1时，
当点直线MN在对称轴左侧时，
过点M作x轴的平行线交y轴于点E，过点B作y轴的平行线交EM的延长线于点F，
∵∠BMF+∠MBF＝90°，∠MBF+∠CME＝90°，∴∠CME＝∠MBF， MB＝MC，∠MFB＝∠CEM＝90°， ∴△MFB≌△CEM（AAS），
∴ME＝2t﹣1＝BF＝OE，EC＝MB＝5﹣2t， CO＝CE﹣OE＝5﹣2t﹣（2t﹣1）＝2， 解得：t＝1 则OM＝2﹣1＝1， 当x＝1时，y＝﹣故点D（1，3）；
当点MN在对称轴右侧时， 同理可得：点D（3，2）； 综上，点D（1，3）或（3，2）；
（3）如图2，∠ACO+∠CAO＝90°，∠AQC+∠OAC＝90°， ∴∠ACO＝∠CQA，同理∠CQ′A＝∠ACO，
x+
2
x+2＝3，
则A、C、Q、Q′四点公圆，且圆心R在x轴上，
连接QR、RC，设圆的半径为r，
则在△COR中，AO＝1，OR＝r﹣1，CO＝2，MO＝则（r﹣1）+4＝r，解得：r＝在△AQM中，MR＝则QM＝Q′M＝r＝故点Q的坐标为：（
﹣， ，
）或（
，﹣
）．
2
2
×2﹣1＝，
，
＝0，故点MR重合，
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