线性代数练习册附答案

第1章 矩阵 习 题

1. 写出下列从变量x, y到变量x1, y1的线性变换的系数矩阵： (1)

2.(通路矩阵)a省两个城市a1,a2和b省三个城市b1,b2,b3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况.

4 。b1 a1。 3 1 。b2

a2。 2 2 。b3 x1xx1xcosysin； (2) 

yxsinycosy011231111T

3. 设Α111，B124，求3AB-2A和AB.

111051 4. 计算

211(1) 3100122

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a12b1(2) (x,y,1)a11aabx12222y

b1b2c1

x12y1y35. 已知两个线性变换 x22y13y22y3,x34y1y25y3示式,并求从z1,z2,z3到x1,x2,x3的线性变换.

y13z1z2y22z1z3,写出它们的矩阵表

y3z23z3如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!

6. 设f (x)=a0x+ a1x+…+ am，A是n阶方阵，定义f (A)=a0A+ a1A+…+ amE. 当f (x)=x-5x+3，A2

mm-1mm-1

21时，求f (A). 33

7. 举出反例说明下列命题是错误的. (1) 若A= O，则A= O.

(2) 若A= A，则A= O或A= E. .

22

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7. 设方阵A满足A-3A-2E=O，证明A及A-2E都可逆，并用A分别表示出它们的逆矩阵．

8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵：

2

1231A2462 (1)

1231

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3142210110(2)B. 1213414330

9. 对下列初等变换，写出相应的初等方阵以及B和A之间的关系式.

1012A23121121

r22r1~10120332112110020332=B. ~c3c11131

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14109

10. 设PAPΛ，其中P，Λ，求A. 1

411. 设A00

11020030 ，矩阵B满足AB=A+2B，求B.

02

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102, 利用初等行变换求A12. 设A212533-1

.

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复习题一

1. 设A, B, C均为n阶矩阵，且ABC=E,则必有（ ）. (A) ACB=E； (B) CBA=E； (C) BAC=E； (D) BCA=E.

a112. 设Aa21a31a12a22a32a13a21a23,Ba11aaa331131a22a12a32a12a13, a33a13a23010100P1100,P2010，则必有 ( ) .

001101(A) AP1P2=B； （B）AP2P1=B； (C) P1P2A=B； (D) P2P1A=B.

3. 设A为4阶可逆矩阵，将A的第１列与第４列交换得B，再把B的第2列与第3列交换得C，设

0 P0101-1

00110100，00P20101000000-1

0010，则C-1=（ ）. 0001-1

-1

(A) AP1P2； (B) P1AP2； (C) P2P1A； (D) P2AP1.

4. 设n阶矩阵A满足A-3A+2E=O，则下列结论中一定正确的是（ ）. (A) A-E不可逆 ； (B) A-2E不可逆 ； (C) A-3E可逆； (D) A-E和A-2E都可逆. 5. 设A=(1,2,3)，B=(1,1/2,1/3)，令C=AB，求C.

T

2

n

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6. 证明：如果A=O，则(E-A)=E+A+A+…+A，k为正整数. k-12k-1

137.设A,B为三阶矩阵,A00

00140,且A-1BA=6A+BA，求B. 017

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OA8. 设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆，求BO.

1

009. 设X0ana100a2000000000an100a1a2an0）

，求X -1

. （

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第2章 行列式

习 题

1.利用三阶行列式解下列三元线性方程组

x12x2x32 2x1x23x31

xxx0231

32.当x取何值时，41

1xx00.

0x

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3.求下列排列的逆序数：

(1) 315624； (2)13…(2n-1)24…(2n).

a4. 证明： ababcabca3.

a2ab3a2bc

5. 已知四阶行列式|A|中第2列元素依次为1,2,-1,3，它们的余子式的值依次为3,-4,-2,0 ,求|A|.

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6. 计算下列行列式:

1(1)

11111111

1111111

xy(2)

yxyxyx

0111101111011110

xyx

y

(3)

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1x12(4) 1x11x13x22x23x2

1a15）Dn11

1a2111，其中a1a2an0． an

（11如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!

7．设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明： |A*|=|A|，(n ≥2)． n-1

8. 设A,B都是三阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，且|A|=2，

B|=1，计算 |-2A*B-1

|．| 如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!

2110，利用公式求A-1. 9.设A21111

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复习题二

1．设A, B都是n阶可逆矩阵，其伴随矩阵分别为A*、B*，证明：(AB)*= B*A*．

32.设A400

400300-1

020，求A． 022

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3.已知A1, A2, B1, B2都是3

1矩阵，设A=( A1, A2, B1,)，B=( A1, A2, B2)，|A|=2，|B|=3，

求|A+2B|．

4．设A, B都是n阶方阵，试证：

EABEEAB．

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第3章 向量空间

习 题

TTT

1. 设α1=(1,-1,1), α2=(0,1,2), α3=(2,1,3)，计算3α1-2α2+α3．

TTT

2. 设α1=(2,5,1,3), α2=(10,1,5,10), α3=(4,1,-1,1),且3(α1- x)+2(α2+x)=5(α3+x) ,求向量x.

3. 判别下列向量组的线性相关性:

TTT

(1) α1=(-1,3,1), α2=(2,-6,-2), α3=(5,4,1) ；

(2) β1=(2,3,0), β2=(-1,4,0), β3=(0,0,2) .

T

T

T

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4. 设β1=α1, β2=α1+α2, β3=α1+α2+a3，且向量组α1, α2, α3线性无关，证明向量组β1, β2, β3线性无关．

5. 设有两个向量组α1, α2, α3和 β1=α1-α2+α3, β2=α1+α2-α3, β3= -α1+α2+α3，证明这两个向量组等价.

TTTT

6. 求向量组α1=(1,2,-1), α2=(0,1,3), α3=(-2,-4,2), α4=(0,3,9)的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.

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7. 设α1, α2,…, αn是一组n维向量，已知n维单位坐标向量ε1,ε2,…,εn能由它们线性表示，证明：α1, α2,…,αn线性无关．

8. 设有向量组α1, α2, α3, α4, α5，其中α1, α2, α3线性无关，

α4=aα1+bα2,α5=cα2+dα3(a, b, c, d均为不为零的实数)，求向量组α1, 秩．

9. 设矩阵A= (1,2,…,n), B=(n,n-1,…,1)，求秩R(AT

B).

3, α4, 5的αα如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!

211111212410. 设矩阵A4636

111. 已知矩阵A211

224，求A的秩，并写出A的一个最高阶非零子式. 979203042t5t4，若A的秩R(A)=2，求参数t的值.

021

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3542026412. 设A，求A的列向量组的秩，并写出它的一个极大无关组. 11533195

2

13. 设A为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，证明：如果A=A,则

R(A)+R(A-E)=n．

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14. 已知向量空间R3的两组基为

100-110α11,α21,α31和β11,β21,β31，

001011求由基α1, α2, α3到基β1, β2, β3的过渡矩阵.

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复习题三

k11.设矩阵A11111k11，已知A的秩为3，求k的值. 1k111k

2．设向量组A: α1, …,αs与B: β1,…,βr，若A组线性无关且B组能由A组线性表示为(β1,…,βr)＝(α1, …,αs)K，其中K为sr矩阵, 试证：B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)＝r.

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3．设有三个n维向量组A：α1, α2, α3；B：α1, α2, α3, α4；C：α1, α2, α3, α5．若A组和C组都线性无关，而B组线性相关，证明向量组α1, α2, α3, α4-α5线性无关．

TTT

4．设向量组A: α1=(1,1,0),α2=(1,0,1),α3=(0,1,1) 和B:

TTT

β1=(-1,1,0),β2=(1,1,1),β3=(0,1,-1)

(1) 证明：A组和B组都是三维向量空间R的基；

(2) 求由A组基到B组基的过渡矩阵；

T

(3) 已知向量α在B组基下的坐标为(1,2,-1),求α在A组基下的坐标．

3

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第4章 线性方程组

习 题

x1x251. 写出方程组2x1x2x32x41的矩阵表示形式及向量表示形式.

5x3x 2x2x32341

2.用克朗姆法则解下列线性方程组

bxay2ab2cy3bzbc,其中abc0 cxaz0

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x1 x2 x303.问,取何值时，齐次线性方程组x1x2x30有非零解？

 x12x2x30

x1 x2k x344. 设有线性方程组 -xkx212x3k，讨论当k为何值时， x1x22x34穷多解？(3)无解？

有唯一解？(2)有无

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x18x210x32x405. 求齐次线性方程组2x14x25x3x40的一个基础解系.

3x18x2 6x32x4 0

6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η1, 且ηTηT

1=(2,3,4,5), 2+η3=(1,2,3,4)，求此方程组的的通解．

2, η3是它的三个解向量，

η

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7 .求下列非齐次线性方程组的通解：

x1x252x1x2x32x41 5x3x 2x2x32341

1211 8. 设有向量组A：α12,α21，α31及向量3， 3101问向量β能否由向量组A线性表示？

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9. 设η*是非齐次线性方程组AX=b的一个解，ξ1, ξ2,…, 础解系，证明：

（1）η*, ξ1, ξ2,…, ξn-r线性无关；

（2）η*, η*+ξ1, η*+ξ2,…, η*+ξn-r线性无关．

n-r是它的导出组的一个基ξ如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!

复习题四

12121.设A01aa，且方程组AX=θ的解空间的维数为2，则a= .

1a012．设齐次线性方程组a1x1+a2x2+…+anxn=0,且a1,a2,…,an不全为零，则它的基础解系所含向

量个数为 .

TTTT

3.设有向量组π：α1=(a,2,10), α2=(-2,1,5), α3=(-1,1,4)及向量β=(1,b,-1)，问a, b为何值时,

（1）向量β不能由向量组π线性表示；

（2）向量β能由向量组π线性表示，且表示式唯一；

（3）向量β能由向量组π线性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式．

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4．设四元齐次线性方程组 （Ⅰ）x1x2x30x1x20 （Ⅱ）

x2x40x2x3x40求: (1) 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的基础解系；(2) 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解．

5．设矩阵A=(α1, α2, α3, α4)，其中α2, α3, β=α1+α2+α3+α4，求非齐次线性方程组Ax= β的通解．

4线性无关，1=2α2-α3，向量αα

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a1b1c16. 设a2,b2,c2,证明三直线

abc333l1:a1xb1yc1022 l2:a2xb2yc20 aibi0,i1,2,3

l:axbyc03333相交于一点的充分必要条件是向量组,线性无关，且向量组,,线性相关．

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第5章 矩阵的特征值和特征向量

习 题

T3

1.已知向量α1=(1,-1,1)，试求两个向量α2, α3，使α1, α2, α3为R 的一组正交基．

2.设A, B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵．

3. 设A是n阶正交矩阵，且|A|=-1，证明：-1是A的一个特征值．

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2124.求矩阵533的特征值和特征向量.

102

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5. 已知三阶矩阵A的特征值为1,2,3，计算行列式|A-5A+7E|． 32

16.设矩阵A24使P -1

AP=Λ．

24x2与Λ5021000y0相似，求x,y；并求一个正交矩阵P，04

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7.将下列对称矩阵相似对角化：

2202 （1）21020

（2）40030101．

3

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8. 设λ是可逆矩阵A的特征值，证明：(1)

A是A*的特征值．(2)当1,-2,3是3阶矩阵

A的特征值时，求A*的特征值．

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9.设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=6, λ2=λ3=3，属于特征值λ1=6的特征向量为p1=(1,1,1)T，求矩阵A．

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复习题五

1.设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是 ．

2.已知3阶矩阵A, A-E, E+2A都不可逆，则行列式|A+E|= ．

1a10003.设Aa1b，B010，已知A与B相似，则a, b满足 ．

1b10024.设A为2阶矩阵, α1, α2为线性无关的2维列向量，Aα1=0, Aα2=2α1+, 非零特征值为 .

2015.已知矩阵A31x可相似对角化，求x．

405

6.设矩阵A满足A2

-3A+2E=O，证明A的特征值只能是1或2．

2，则A的

α如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!

212T

a3的特征值的一个特征向量． 7.已知p1=(1,1,-1)是对应矩阵A51b2(1) 求参数a, b及特征值； (2) 问A能否相似对角化？说明理由．

8. 设A3223，求φ(A)=A10-5A9

． 

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第6章 二次型

习 题

1.写出下列二次型的矩阵表示形式：

2222 fx1x2x3x42x1x24x1x32x1x46x2x34x2x4

11122所对应的二次型． 2.写出对称矩阵A101232

2223. 已知二次型f(x1,x2,x3)x1x2ax34x1x26x2x3的秩为２，求a的值．

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2224.求一个正交变换将f(x1,x2,x3)2x13x23x34x2x3化成标准形．

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2225.用配方法将二次型fx13x25x32x1x24x1x3化成标准形，并写出所用的可逆

线性变换．

2226. 设二次型f2x13x23x32ax2x3(a0)，若通过正交变换xPy化成标准形22fy122y25y3，求a的值．

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7. 判别下列二次型的正定性：

222 （1）f2x16x24x32x1x22x1x3

2222 （2）fx13x29x319x42x1x24x1x36x2x412x3x4

2228. 设fx1x25x32ax1x22x1x34x2x3为正定二次型，求a的取值范围．

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复习题六

1. 设A为mn矩阵，B=λE+AA，试证：λ>0时，矩阵B为正定矩阵． T

02.设A100100000,写出以A, A-1为矩阵的二次型，并将所得两个二次型化成标准形．021012

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2223. 已知二次曲面方程x1x2ax32bx1x22x1x35，通过正交变换X=PY化为椭圆柱

面方程y12y25，求a，b的值．

221012（kEA）4. 设矩阵A020，B，其中k为实数，求对角矩阵Λ，使B

101与Λ相似，并讨论k为何值时，B为正定矩阵．

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测试题一

一、计算题：

21.计算行列式Dn13111.

11n101103TA0B0352．设，计算AB． ，

01223．设A、B都是四阶正交矩阵，且B0，A*为A的伴随矩阵,计算行列式 2BAA*．

12，计算行列式 B22E． 4．设三阶矩阵A与B相似，且A3105．设A11二、解答题：

02a2，且A的秩为2，求常数a,b的值．

1b4223T6．设i(1,ti,ti,ti)i1,2,3,4，其中t1,t2,t3,t4是各不相同的数，问4维非零向量能

否由1,2,3,4线性表示？说明理由．

x12x2x3x407．求齐次线性方程组 3x16x2x33x40 的一个基础解系．

5x10xx5x02341x1x2kx318．问k取何值时，线性方程组x1kx2x3k

kxxxk2231(1)有唯一解；(2)有无穷多解；(3)无解．

9．已知四阶方阵A＝（1,2,3,4），其中1,2,3线性无关，4233，求方程组

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Ax1234的通解．

10．三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3.矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别是

1(1,1,1)T,2(1,2,1)T,求A的属于特征值3的所有特征向量,并求A的一个相似

变换矩阵P和对角矩阵,使得P1AP. 三、证明题:

11．设1212，23223，34331，且1,2,3线性无关，证明：

1,2,3也线性无关．

12．设A为实对称矩阵，且满足AA2EO，证明A2E为正定矩阵．

2

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测试题二

一、填空题:

１、若规定自然数从小到大的次序为标准次序，则排列134782695的逆序数为 ； ２、已知A为三阶正交矩阵，且A＜０，则

AA*= ；

1213x2３、设方阵A=，若A不可逆，则x ； 542４、设P1AP，其中P23106，，则= ； A4501５、“若向量组1,2,3线性无关，向量组2,3,4线性相关，则4一定能由2,3 线性表示”．该命题正确吗？ 。

二、计算下列各题:

12330nnn

101、计算行列式 D12n12301352、设 A2，B2，且CAB，求C．

31103、利用初等行变换求矩阵A21极大线性无关组．

122115的秩，并写出矩阵A的列向量组的一个0331110412x1x23x3x41三、设非齐次线性方程组3x1x2x39x47

x5x11x13x32341

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（1）求它相应的齐次线性方程组的一个基础解系；（2）求原方程组的通解．

222四、求一个可逆变换将二次型 f2x13x23x34x2x3 化为标准形，并判别其正定性．

a111五、设11,2a,31,a，

11aa2问a为何值时，可由1,2,3线性表示，且表示式不唯一？并说明不唯一的理由．

200六、已知矩阵A与B相似，其中A032，计算行列式2B23E.

023

七、证明题:

13，233是齐次线性方程组Ax0的一个基础解系，2，１、已知1，证明12，

也是它的一个基础解系．

２、设A、B均为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，且BEA1EA，证明

BE1AE．

2

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测试题三

一、填空题:

x1x2x30１．已知齐次线性方程组2x13x2ax30 有非零解，则a应满足的条件是 ；

4x19x2a2x30２．已知A为三阶矩阵，且A=2，则

AA*= ；

３．已知两个线性变换xy12z13z21y12y23y3 和y23z14z2，则

x2y25y3y32z1z2从z1,z2到x1,x2的线性变换为 ；

４．若二次型f(x,x22x21,x23)2x1x232x1x2kx2x3是正定的，则

k的取值范围是 ；

５．设A为实对称矩阵，，为非零向量，且A2，A3，则T= 二、计算下列各题:

0aa1．计算行列式 Da0an

aa02．设P1AP，其中P1111，1001，计算A11．

三、解答题: 设向量组：

11111，21，，103143，52

11231（1）求向量组的秩，并写出它的一个极大无关组；

. 如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!

（1，2，3，4）（2）令A，求方程组Ax5的通解．

四、解答或证明下列各题:

1．命题一：“若方阵A满足A2A，则AO或AE” ．

命题二：“若方阵A满足A2A，则A0或AE0” ．

以上两个命题是否正确？若正确给出证明，若不正确举例说明之．

2．设是四元非齐次线性方程组Axb的一个解，1,2是对应的齐次线性方程组的解空

间的一组基，证明，1,2线性无关．

01五、解答题: 设矩阵A00（1）求矩阵A的特征值；

2100000

021012（2）令BA2A3E，求一个对角矩阵，使B与相似； （3）求以A为矩阵的二次型．

1

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测试题四

一、填空题：

T6

1.设A=(-1,0,1)，B=（1, 2, 3），则 (AB)= ；

11a2bb2＝ ；

b32.行列式11a11a33.设四阶方阵A、B满足AB+2B+E＝Ｏ,且|A+2E|＝2，则|B|＝ ；

4.设A为n阶方阵,且|A|=2,|3E－A| =0, 则A的伴随矩阵A*必有一个特征值是 ；

1115.设矩阵A11x,已知齐次线性方程组AX=θ的解空间的维数为2,则x= . 222

二、选择题：

1.下列集合中不能构成向量空间的是( ).

TT

（A）{(x1,…,xn)│xi∈R且x1+…+xn=1}； （B）{(x1,…,xn)│xi∈R且x1+…+xn=0}； （C）

T

{(0,x2,…,xn)│xi∈R }； （D）{α│α=λ1α1+…+λsαs, λi∈R,αi为n维向量 }.

a11a122．设Aa21a22a31a32a13a21a22a23a23,Ba11a12a13aa3331a32a33a23a13, a33010100P100,Q010, 则A=（ ）．

001011（A）QBP； （B）PBQ； （C）QBP； （D）PBQ.

3.n（n>3）维向量α1, α2, α3线性无关的充分必要条件是（ ）． (A) α1, α2, α3中任意两个向量线性无关； (B) α1, α2, α3全是非零向量；

(C) 对于任何一组不全为零的数k1, k2, k3，都有k1α1+k2α2+k3α3≠θ； (D) α1, α2, α3能由单位坐标向量ε1, ε2, ε3线性表示． 4．设n阶方阵A、B满足AB=Ｏ,则下列命题中错误的是( ).

(A) 若|A|≠0，则B=O； (B) 若R(A)=r，则R(B)≤n-r； (C) |A|、|B|中至少有一个为零； (D) 若B≠O，则A=O ．

5．设A是m×n矩阵，非齐次线性方程组AX=b的导出组为AX=θ.如果m＜n，则( )．. (A) AX=b必有无穷多解； (B) AX=b必有唯一解；

(C) AX=θ必有非零解； (D) AX=θ必有唯一解．

-1

-1

-1

-1

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三、设A为三阶方阵，且|A|=3，计算行列式|(2A)－A*|.

-1

30122121四、设A,求矩阵A的秩，并分别写出A的列向量组和行向量组11572424的一个极大无关组．

110五、设矩阵A120，且AB=2A－B，求矩阵B．

0001310六、设向量组13，28，33，41．

14mn已知方程组 x1α1+x2α2+x3α3=α4 有无穷多解，求m, n的值，并求该方程组的通解．

七、设A11A101k1,已知3是矩阵A,A2O012O的一个特征值. A2(1) 求参数k的值；

-1-1

(2) 求A，并写出以A为矩阵的二次型．

2

(3)计算行列式|B－3E|，其中B与A相似.

八、设三阶实对称矩阵A的特征值为1，1，-1．已知属于特征值1的两个线性无关的特征

1212

向量为12 ，21，求矩阵A及A .

22a11x1a12x2a13x30九、 设方程组a21x1a22x2a23x30的系数行列式det(aij)=0，而A11≠0，

axaxax0322333311证明 (A11,A12,A13)是该方程组的一个基础解系．其中Aij是元素aij的代数余子式．

T

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复习题与测试题参考答案或提示

复习题一

1. (D). 2. (C). 3. (C). 4. (C).

15. nn1C3231213213kk2k-12. 6. 提示：EA(EA)(EAAA). 31300O7.B020. 8. A1001B1. O9. X101a100001a20-1

0001an11an0（a1a2an0）. 00复习题二

1. 提示：利用A*=|A|A．

34252543252. 125AO-1212O. 0123.72. 4. 提示：利用BEOEBE. AEAEOE-AB复习题三

1．k= -3.

2.必要性利用定理3.12(2),充分性利用定理3.7及其证明方法. 3.利用线性无关的定义及定理3.2.

04．(1)证明A组及B组线性无关；(2) T111212121； (3) α在A组基下的坐标为(0,1,2)T． 10复习题四

1．a=1. 2．n-1

3．(1)a＝－4且b≠0时,不能线性表示； (2)a≠－4时，能唯一线性表示；

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(3)a＝－4且b＝0时，表示式不唯一，且β=kα1- (2k-1)α2+α3．

4．(1)方程组(Ⅰ)的一组基础解系为ξ1=(-1,1,0,0), ξ2=(0,0,1,0). 方程组(Ⅱ)的一组基础解系为η

1

T

T

=(0,1,1,0),

T

T

T

T

T

η2=(1,1,0,-1). (2)公共解x=k(-1,1,2,1), k为任意实数．

5．利用方程组的向量表示式及解的结构，可得通解为x=k(1,-2,1,0)+(1,1,1,1)，k为任意实数．

复习题五

1. n,0,…0． 2. 1. 3. a=b=0． 4. A的非零特征值为1. 5. x =3． 6. 说明A的任意特征值的取值范围.

7. (1)a＝-3，b＝0，λ＝-1； (2)A不能对角化，因为A没有3个线性无关的特征向量． 8.

(A)211

；11复习题六

1. 提示：证明二次型xBx正定．

2222222. fxTAx2x3 y2y33y42x42x1x22x3x4,其标准形为 fy1TfxTA1x3. a=1, b=0．

122222222． x3x42x1x2x3x4，其标准形为, fy12y2y3y43333k24. Λ(k2)2，k0,k2时，B为正定矩阵．

(k2)2 测试题一

11一、1. n!(1). 2.0i1in00. 3.-16. 4.-14. 5.a=2, b=1

0040160二、6.β能由α1, α2, α3, α4线性表示.

7.1(2,1,0,0)T,2(1,0,1,0)T

8.当k≠1且k≠-2时，有唯一解；当k=1时，有无穷多解；当k=-2时，无解.

9.(0,1,3,1)T是导出组的基础解系 (1,1,1,1)T是原方程组的特解,通解为xk 10.属于3的所有特征向量为kα3=k(1,0,1)，k≠0

T

113令P3132

16261610，Λ2,则 P13212-1

AP=Λ.

三、12.A-A-2E=(A+E)(A-2E)=O，所以A的特征值只能取-1或2,因此A+2E的特征值只能取1或3,故

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A2E为正定矩阵．

测试题二

一、1．10. 2．-1. 3．-4. 4．E. 5．正确.

3二、1. Dn=n!. 2. C=A(BA)B =10695

T

4

4

2461. TT

3. R(A)=3, 极大无关组为 (1,0,2,1), (1,2,0,1), 23(2,1,3,0).

三、 一个基础解系为(1,2,1,0), (-2,3,0,1) , 通解为x=k1(1,2,1,0)+k2(-2,3,0,1)+(4,-1,0,0)

T

T

T

T

T

T

200x1四、f(x,x,x)032x, 矩阵为正定. 2123023x3五、当a=1时，β可由α1, α2, α3线性表示，且表示式不唯一. 六、-235 .

测试题三

一、1．a=2或a=3. 2．8. 3．x12z12z2. 4．2k2. 5．0 .

x27z1z2-1

二、1. (-1)(n-1)a. 2．A=PΛP =E. 三、1．R(π)=2, π的一个最大无关组为α1, α3.

2．基础解系为 ξ1=(1,1,0,0), ξ2=(1,0,2,1), 特解为η=(1,0,1,0), 通解为x=k1ξ1+k2ξ2+η. 四、1．命题一不正确．例如：AT

T

T

n-1n11

100,A2A，但A≠O且A≠E. 0 命题二正确. 证明：由A(A-E)=O,可得 |A||A-E|=0，所以|A|=0或|A-E|=0

2五．(1)λ1=λ2=1, λ3=3, λ4=-1. (2) B的特征值为 2, 2, 6, 6 .2,则B与Λ相似.

66(3)

A1010010000230130222220,fxTA1xx3x42x1x2x3x4

3331323测试题四

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一. 1．

123. 2. ab(b-a)(a-1)(b-1) . 3. 1/2. 4. 2/3. 5. －1. 32000123-1

二. 1. (A ). 2. (B). 3. (C). 4. (D). 5. (C). 三.∣(2A)－A*∣＝-(125/24). 四. R(A)＝2,A的列向量组的一个极大无关组为(2,1,1,-2), (3,2,-1,-4); A的行向量组的一个极大无关组为(2,3,0,-1), (1,2,1,-2)

T

T

T

T

010-1

. 六. m=-1, n=7, 基础解系ξ=(-1,0,1)T,特解 η*＝(-3,1,0)T, 通解 五. B＝2(A+E)A =2130000x=kξ+η*.

七. (1) k＝2 .

001010, f ＝xTA-1x＝2x22x22xx2xx (2)1A1O100341234A213331O00A23320013322

(3)A的特征值为1,1,-1,3, B－2E的特征值为–2,-2,-2, 6. ∣B－3E∣＝－48 .

八． α3＝(-2, 2, 1),令

T

11P232212212,0010100，则P-1AP＝Λ. 01418, A12＝PΛ12P-1＝PEP-1＝E. 1A＝PΛP＝PΛP＝

8149447-1

T

九.由det(aij)=0，A11≠0知方程组的系数矩阵的秩为2，因此方程组的基础解系只含一个非零解向量。

由行列式的按行展开定理知

a11A11+a12A12+a13A13=det(aij)＝0，a21A11+a22A12+a23A13＝0，a31A11+a32A12+a33A13＝0，

又A11≠0，因此 (A11,A12,A13)是该方程组的一个非零解向量，即为该方程组的一个基础解系.

T

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）