高中数学必修一3.2.2 奇偶性

A组 1.函数f(x)=x4+x2( ) A.是奇函数 B.是偶函数

C.既是奇函数也是偶函数

D.既不是奇函数也不是偶函数 答案:B 2.函数f(x)=𝑥-x的图象( ) A.关于y轴对称 B.关于直线y=x对称 C.关于坐标原点对称 D.关于直线y=-x对称

1

解析:∵f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)=-𝑥-(-x)=x-𝑥=-f(x), ∴f(x)是奇函数,其图象关于原点对称. 答案:C 3.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)内单调递减的为( ) A.y=2 C.y=x2

1𝑥11

B.y= 1

D.y=𝑥3

1𝑥解析:易判断A,C为偶函数,B,D为奇函数,但函数y=x2在(0,+∞)内单调递增,所以选A. 答案:A 4.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)=( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 解析:因为f(x)是奇函数,所以f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2-(-1)]=-3. 答案:A 5.下列判断正确的是( ) A.函数f(x)=B.函数

𝑥2-2𝑥

是奇函数 𝑥-2𝑥2(𝑥+1)

f(x)=𝑥+1是偶函数

C.函数f(x)=x+√𝑥2-1是非奇非偶函数 D.函数f(x)=1既是奇函数又是偶函数

解析:A中函数的定义域为{x|x≠2},不关于原点对称,故f(x)不是奇函数,故A错误; B中函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故f(x)不是偶函数,故B错误;

C中函数的定义域为{x|x≤-1,或x≥1},f(-x)=-x+√𝑥2-1≠f(x),f(-x)=-x+√𝑥2-1≠-f(x),故f(x)是非奇非偶函数,故C正确;D中函数是偶函数,但不是奇函数,故D错误.故选C. 答案:C 𝑥2+𝑥,𝑥≥0,

6.设函数f(x)={且f(x)为偶函数,则g(-2)=( )

𝑔(𝑥),𝑥<0,

A.6 B.-6 C.2 D.-2 解析:∵f(x)为偶函数,

∴f(-2)=g(-2)=f(2)=22+2=6. 答案:A 7.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a= ,b= . 解析:依题意应有a-1+2a=0,解得a=3,此时f(x)=3x2+bx+1+b,而f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),即3x2-bx+1+b=3x2+bx+1+b,解得b=0. 答案:3 0

11

1

1

1

1 / 4

8.已知函数f(x)是奇函数,且当x>2时,f(x)=x2-,则当x<-2时,f(x)= . 解析:设x<-2,则-x>2,于是f(-x)=(-x)2-=x2+. 又因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x), 即-f(x)=x2+𝑥,故f(x)=-x2-𝑥. 答案:-x2-𝑥

9.判断下列各函数的奇偶性.

𝑥3-𝑥2

(1)f(x)=𝑥-1;

22

2

2-𝑥

2𝑥

2𝑥(2)f(x)=√𝑥2-1+√1-𝑥2; (3)f(x)=|x+2|-|x-2|;

𝑥2+𝑥,𝑥<0,

(4)f(x)={2

𝑥-𝑥,𝑥>0.

解:(1)定义域是{x|x≠1},不关于原点对称,故f(x)是非奇非偶函数. (2)定义域是{-1,1},f(x)=0,故f(x)既是奇函数又是偶函数.

(3)定义域是R,f(-x)=|-x+2|-|-x-2|=-(|x+2|-|x-2|)=-f(x),故f(x)是奇函数. (4)当x<0时,-x>0,则f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x); 当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x).

综上所述,对任意的x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数. 10.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x. (1)求f(-2);

(2)求出函数f(x)在R上的解析式; (3)在坐标系中画出函数f(x)的图象.

解:由于函数f(x)是定义在(-∞,+∞)内的奇函数,因此对于任意的x都有f(-x)=-f(x). (1)f(-2)=-f(2);又f(2)=22-2×2=0,故f(-2)=0.

(2)①因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0; ②当x<0时,-x>0,由f(x)是奇函数, 知f(-x)=-f(x).

则f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x.

𝑥2-2𝑥(𝑥>0),

综上,f(x)={0(𝑥=0),

-𝑥2-2𝑥(𝑥<0).

(3)图象如下:

B组 1.下列说法中,不正确的是( ) A.若函数f(x)是定义域为R的偶函数,则f(-3)=f(3) B.若f(-3)=f(3),则函数f(x)是偶函数

C.若f(-3)≠-f(3),则函数f(x)一定不是R上的奇函数

D.若函数f(x)不是定义域为R的偶函数,则仍可能有f(-3)=f(3) 答案:B 2.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )

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A.|f(x)|-g(x)是奇函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.f(x)+|g(x)|是偶函数

解析:因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,令h(x)=f(x)+|g(x)|,则h(-x)=f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|-g(x)|=f(x)+|g(x)|=h(x),所以h(x)是偶函数,选项D正确. 答案:D 3.已知函数f(x)的定义域为(3-2a,a+1),且f(x+1)为偶函数,则实数a的值为( ) A.

解析:∵f(x)的定义域为(3-2a,a+1), ∴由3-2a∴其定义域关于原点对称, ∴2-2a=-a,即a=2. 故选B. 答案:B 4.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1

解析:因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以由已知得-f(1)+g(1)=2,f(1)+g(1)=4,解得g(1)=3. 答案:B 5.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a= . 解析:依题意知f(-x)=f(x)恒成立, 故x2-|x-a|=x2-|x+a|,

因此|x-a|=|x+a|,解得a=0. 答案:0 6.设奇函数f(x)的定义域为[-6,6],当x∈[0,6]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集用区间表示为 .

23B.2 C.4 D.6

解析:由f(x)在区间[0,6]上的图象知,满足f(x)<0的不等式的解集为(0,3).

又f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,所以在区间[-6,0)上,不等式f(x)<0的解集为[-6,-3). 综上可知,不等式f(x)<0的解集为[-6,-3)∪(0,3). 答案:[-6,-3)∪(0,3)

7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x. (1)求出f(x)的解析式;

(2)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示,请补出函数f(x)完整的图象,并根据图象写出函数f(x)的单调递增区间和值域.

解:(1)令x>0,则-x<0, ∴f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x.

∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x)=x2-2x.

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𝑥2-2𝑥,𝑥>0,

∴f(x)的解析式为f(x)={2

𝑥+2𝑥,𝑥≤0.

(2)f(x)的图象如图所示.

由图知f(x)的单调递增区间为[-1,0]和[1,+∞),f(x)的值域为[-1,+∞). 8.已知f(x)是定义在R上的函数,设g(x)=,h(x)=2(1)试判断g(x)与h(x)的奇偶性; (2)试判断g(x),h(x)与f(x)的关系;

(3)由此你能猜想出什么样的结论?并说明理由. 解:(1)∵g(x)和h(x)的定义域均为R,

𝑓(-𝑥)+𝑓(𝑥)

=g(x), 2𝑓(-𝑥)-𝑓(𝑥)

h(-x)=2=-h(x),

𝑓(𝑥)+𝑓(-𝑥)

𝑓(𝑥)-𝑓(-𝑥)

. 2又g(-x)=

∴g(x)是偶函数,h(x)是奇函数.

(2)g(x)+h(x)=+=f(x). 22

(3)如果一个函数的定义域关于原点对称,那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和.

𝑓(𝑥)+𝑓(-𝑥)

𝑓(𝑥)-𝑓(-𝑥)

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