高校应用数学学报 ２０１１，２６（２）：１４９—１５７ 时间测度链上一类二阶动力方程的振动准则 杨甲山 ， 方彬 （１．邵阳学院理学与信息科学系，湖南邵阳４２２００４； ２．信阳师范学院数学与信息科学学院，河南信阳４６４０００） 摘要：研究了时间测度链上的一类二阶非线性中立型时滞动力方程的振动性，利用 时间测度链上的理论和一些分析技巧，通过引入参数函数和Ｒｉｃｃａｔｉ变换，得到了该方 程振动的几个充分条件，推广和改进了现有文献中的有关结果，并给出了一些例子用 以说明文中的主要结论． 关键词：时间测度链；中立型时滞动力方程；非线性；振动性；Ｒｉｃｃａｔｉ变换 中图分类号：Ｏ１７５．７ 文献标识码：Ａ 文章编号：ｉ０００—４４２４（２０１１）０２．０１４９—０９ §１ 引 言 对于连续系统微分方程及离散系统差分方程的振动理论和渐近理论的研究历史悠久，其实 际应用特别是在生物医药，自动控制理论，经济计算机等方面的应用也非常广泛．例如，中立型 时滞微分差分方程在高速计算机连接开关电路的无损耗传输网络以及弹性体上质点振动问题 中都有着其实际应用背景，所以直到现在这个领域的研究还非常活跃［１－３］．为了统一连续分析 和离散分析理论，德国学者ＳｔｅｆａｎＨｉｌｇｅｒ［ 】于１９９０年在他的博士论文中首次提出了时间测度链上 的分析理论．该文发表以后，引起了学术界的广泛兴趣和高度关注［５－１３］．如Ｂｏｈｎｅｒ和Ｐｅｔｅｒｓｏｎ［５］ １Ａｇａｒｗａｌ，ＢｏｈｎｅｒＳＨＯ’Ｒｅｇａｎ［６】研究了时间测度链上的几类典型的动力方程的振动性问题， Ｓａｈｉｎｅｒ［７］研究了时间测度链上二阶非线性时滞动力方程Ｘ△△（ｔ）＋ｐ（￡）．，（ （７－（ ）））＝Ｏ的振动性问 题．而关于下面的一类非常广泛的时间测度链上二阶超线性中立型变时滞动力方程 ｍ ｛ｒ（ｔ）［（Ａ（ｔ） （ｔ）＋Ｂ（ｔ）ｘ（ｔ一 ））△】 ）△＋＞：ｐｉ（ｔ）ｆ￣（ （ （ ）））＝ｏ（ｔ∈Ｔ） （１） ｉ＝１ 的振动性，尚未见到任何类似的公开结果． 由于讨论的是方程解的振动性，所以本文假设时间测度链Ｔ是无界的，即它是时间测度 链上的一个无穷区间［ａ，＋∞）＝ｆ ∈Ｔ：ｔ ａ，ａ∈Ｔ｝．方程（１）的一个解，是指定义在Ｔ的 区间ｆａ，＋∞）上的一个实值函数 （ｔ）满足方程（１）．方程（１）的一个非零解 （ｔ）称为是振动的，如 果ｘ（ｔ）既不最终为正，也不最终为负．否则，称为非振动的．方程（１）称为是振动的，如果它的所有 收稿日期：２０１０—０６—０８ 修回日期：２０１１—０２—２０ 基金项目：湖南省教育厅科研基金重点项目（０９Ａ０８２） １５０ 高校应用数学学报 第２６卷第２期 非零解都是振动的．有关时间测度链上的分析理论和时问测度链上动力方程的基本理论可参考 文献＿５１．为了方便，全文总假设： （ＨＩ）：ｒ（ ）， （ ），口（ ）和Ｐｉ（ ）（ ＝ｌ，２，…，ｍ，下同，略）均是定义在时间测度链区间ｆａ，＋∞）Ｃ Ｔ上的实数值ｒｄ连续函数且ｒ（ ）＞０，Ａ（ｔ）＞０，Ｐｔ（￡）＞０； （Ｈ２）： （￡）是定义在Ｔ￣Ｉ］Ｔ上的滞量函数，且 （ｔ） ｔ，ｌｉｍ （ｔ）＝＋。。； （Ｈ３）： ∈Ｃ（Ｒ，ｎ）Ｒ存在正常数Ｌ，使得 Ｌ（ｘ≠０）； （Ｈ４）： ＞０为常数； 是两个正奇数的商 且 ＞１． 注意到当Ｔ＝Ｒ时，有ＸＡ（ ）＝Ｘｔ（ｔ），这是通常的导数．式（１）就变成微分方程 ｍ ｛ｒ（ ）［（ （ ）ｚ（ ）＋Ｂ（ｔ）ｘ（ｔ一 ）） ］ ） ＋ ：ｐｉ（ｔ）ｆｉ（ｘ（Ｔｉ（ｔ）））：ｏ（ｔ∈Ｒ）， ｉ＝１ （２） 当Ｔ＝Ｚ时，有ＸＡ（￡）＝ （ ＋１）一 （￡），这是通常的向前差分，式（１）就变成差分方程 ｍ △｛ｒ（ ）【△（Ａ（￡） （ ）＋Ｂ（ｔ）ｘ（ｔ一 ））］Ａ）＋ ： （￡）＾（ （ （￡）））＝ｏ（ｔ∈ｚ）． ＝１ （３） 本文的目的是研究方程（１）的振动性，得到了该方程振动的几个充分条件，统一了微分方 程（２）和差分方程（３）振动的有关结论，而且推广并改进了现有文献中的某些结果． §２几个基本引理 （ ）＝ （￡） （ｔ）， （￡）＝ｒ（ ）（ ）＝ （ ）＋ （ 一 ）， 则方程（１）可改写成如下等价形式： ＋ ｛［ （ｔ）＋ Ｂ 一（ｔ） Ｘ（ｔ－／３）］△１｝ ＝ｒ（ ） △（ｔ）］ ， ｉ ＝１ 嘶（ ）＿０（ ）． （Ｅ）（４） 引理２．１（Ｋｅｌｌｅｒ连锁法则）［ ］若，：Ｒ—Ｒ是连续可微的，ｇ：Ｔ—Ｒ是△可导的， 则＿厂。ｇ：Ｔ—Ｒ是△可导的，且（，。９）△（ ）＝ｌ ， （９（ｔ）＋＾ （ ）９△（ ））ｄ Ｉ ｇＡ（￡）． 由弓Ｉ理２．１可得，当 （ ）是△可导时，则有下式成立： ［（ （ｔ）） ］Ａ－－／ｋ／０ ［ ＋（１一 ） 】 一１ △（￡）ｄ＾． 引理２．２［７】 设下面的条件成立： （ｉ）Ｉｔ∈ｃ （Ｉ，Ｒ），其中Ｉ：【ｔ ，＋。。］，ｔ ＞ｏ； （ｉｉ） （ ）＞０，ＵＡ（ｔ）＞０， △△（ｔ） ０，ｔ ｔ ， 则对每一个 ∈（０，１），存在一个常数 ∈Ｔ，ｔ ＞ｔ ，有 ｒ“（删 ｌ ｌ ｔ（ （５） 、 引理２・３ 设ｒ㈤在时间测度链区间［ｒ上，＋。。）士是△可导的，０ Ｂ（ ） Ａ（ｔ～ ），且 女扯 ㈤ 杨甲山等：时间测度链上一类二阶动力方程的振动准则 １５１ 若 （￡）是方程（１）的一个最终正解，则存在ｔｌ ａ，使得当￡ ｔｌ时有 （ｔ）＞０，ｙＡ（ ）＞０，ｚ（ｔ）＝ｒ（ｔ） △（ｔ）］ ＞０， △（￡）＜０， （７） 且ｌ１一 鲁 ｌ （ ） （ ） （ ）． 证 因为 （￡）是方程（１）的一个最终正解，所以存在ｔｏ ａ，当 ｔｏ时，有 （ｔ）＞０，ｘ（ｔ一 ）＞ ０， （ （ｔ））＞０．从而ｘ（ｔ）＞０，ｘ（ｔ一 ）＞０， （ （ ））＞０，Ｊｔｙ（ｔ）＞０．由方程（Ｅ）得 一 ｉ ＝１ （ ） 一 ｔｍ） “ＬＡ（Ｔｄｔ）、）、 Ｊ ＜叭 ，（８）ｒ（ｔ１）（ △（￡】）） ＝ｃ＜ｏ（ｔ ｔ１），于是，ｙＡ（ ） ｃ去ｆ 】去，由（６）式， ｒｔ ｒ １］去 因此， （ｔ）＝ｒ（ ）［ △（ ）Ｐ是最终单调递减函数，下面证明：ｒ（ ） △（ ） 最终为正．事实上，递减 函数ｒ（ｔ） △（￡）］ 或者最终为正，或者最终为负．假设存在ｔｌ ｔｏ，使得ｒ（ｔ１）『ｙＡ（ １）１ ＝ｃ＜ ０，由（８）式，得ｒ（ｔ）（ △（￡）） 得： 这与 （ｔ）＞ｏ（ｔ ｔｏ）矛盾，所以ｒ（ ）（ △（ ）） 最终为正，从而 △（ ）最终为正，进而ｚ（￡）＞０．因此， （ ）最终单调递增，从而最终有 （ ）２ （ （ ））＞０． 此外，由 （ｔ） （ｔ），得 （ ） （ １）＋ 【高Ｊ△ ．＿＋一。。（ －＿÷＋。。）， 刖 ）， 所以ｌ１一 Ｉ （ｔ） （ｔ） （ｔ）．引理证毕． §３主要结果和证明 定理３．１设（６）式成立，且ｒ△（ｔ） ０，０ Ｂ（ ） Ａ（ｔ一 ），若 ｓ ［ 一 ］ ［ ｒ△ｓ… 则方程（１）在ａ，＋。。）上是振动的． 证不失一般性，设方程（１）在［ｎ，＋∞）上有一个最终正解 （ ），所以存在ｔｌ ａ，由弓 理２．３知（７）式成立，并且存在常数 ＞０，有 （ｔ） ．由函数乘积的求导公式得： （ｒ（芒）（ △（亡）） ）△：ｒＡ（亡）（ △（亡））Ａ＋ｒ（ （亡））（（ △（ ）） ）△， 由（４）式，得（ （ ）） ）△ 入 ［ ＋（１一 ） Ｐ一 Ｙ△（ｔ）ｄｈ＝ （ｔ）） 一 Ｙ△（ ），所以 （（ △（ｔ））Ａ）△ （ △（ｔ）） 一 Ｙ△△（ｔ）． （１０） 由（７），（１０）式和ｒ△（ ） ０，得 △△（ｔ）最终为负：ｙＡＡ（￡）＜０．由（８）式，得 ｓ １５２ 高校应用数学学报 第２６卷第２期 注意到 （ ） ［１一 ］ （￡），进而有 ｚ（ ） （ ）一Ｌ∑ｐ （ｓ） “ ／ ｓ）卜 ｉ＝１ Ｊｔｉ Ｌ 由于ｒ△（￡） ０－由引理２．２，存在 ２ ｔ１ 。，当 ２时，一 川 Ｌ Ｔ／ｎＬ 【ｓ Ｊ Ｊｌ ，…． △ｓ）， ｙＯ－￣（４）ｓ））１Ｊ、 ｆ１１） 有５ （ｔ） （ （ｔ））．结合（１１）式，得： （詈）Ａ ｓ）［ 一 ＡＯ－￣（４ －ａ）］ ［ １．所以 （詈） ｓ ［ 一 取￡一十。。的极限，则与（９）式矛盾！定理证毕． …］ ［ ｒ△ｓ ， ，定理３．２设（６）式成立，且 △（ ） ０，０ Ｂ（ ） Ａ（ｔ一 ）若 ｌｉａｒ ㈤＋ｐｉ（ｓ）［ 一端Ｔ Ａ㈤ Ｚ］ ［ ｒ△ｓ ： ，， 则方程（１）在［０，＋。。）上是振动的． 证不失一般性，设方程（１）在［ｎ，＋。。上有一个最终正解 （￡）所以存在ｔ１ ｎ，当ｔ ｔｌ时， 由引理２．３，得（７）式成立，由ｆ８）式，得 ｍ ｓ ｒ△ｓｊ ｐ （ｓ）Ｌ ￣ｒ ｆ 、、 Ａｓ＜ｚ（￡）一ｚ（ ） Ｊ 令 一＋。。，则有 Ａ （￡）： （￡）（ △（ ）） ， ／佃 ｓ ｒ△ｓ． 又由于＿厂△（ ） ０，由定理３．１的证明知， △△（￡）最终为负因此 △（ ）最终单调递减，所以 ，当 ｔ１时，有 ）＝ ）＋ ｓ）Ａｓ＞ｙ ）＋ｙＡ㈤（ｔ 时，有 一￡１ ￡，令 ２＝ ） ） △（ ）， 。。 ＜ ， 是当 ｔ２，注意到（１３）式，我们有 、、 ，则由上式得 （ ） ㈤ 矿 ㈤ ｓ）［ ｒ△ｓ 杨甲山等：时间测度链上一类二阶动力方程的振动准则 １５３ 由引理２．２知 （ ） 南 （ （ 即 ㈤， ［ 一 卟一 ， 从而 ）（ ）） ＞Ｌｋ２￣ｔｘ （ｓ ）［【 卜 一 ］ｊｌＡ［ ｊ（ ｓ Ｌｋ。 。 Ａ（ （ ）） ∑／ ｐ悃 ｉ（ｓ ｓ）［ｌ １一－ ］ｌ ［ ｌ ｒ△ｌ△ｓ 因此 ｒ，ｔ， ｉ＝１厂ｔ佃 引卜 ］Ａ［ 去， 这与（１２）式矛盾！定理证毕． 例１考虑时间测度链［３ｊ＋。。）ｃ 上的二阶变时滞动力方程 ｛ｒ（ ）ｆｆ ｆ￡） ｆ ）＋Ｂ（ ） ｆ 一２））△］ ，△＋ｐ（ｔ１，（ （７＿ｆ ）））：０， ｆ１４） 显然这是方程（１）的特殊情形： ＝２， ＝５，ｍ＝１． （ｊ）若取 厂（ ）＝ｔ，７＿（ ）＝ ，Ａ（ｔ）＝２ｔ＋６，Ｂ（ｔ）＝ｔ＋１，ｐ（ ）＝（ｔ＋６） ｔ （一１ ＜＋。ｏ为实 常数），ｆ（ｘ）＝ 。，则方程（１４）显然满足定理３．１的条件，由定理３．１知此时方程（１４）是振动的． （ｉｉ）若取ｒ（ｔ）＝ｔ，７－（ｔ）＝ ， （ｔ）＝ ＋２，Ｂ（ ）＝７＿（ ），ｐ（ｔ）＝ ，，（ ）＝ ，则方程（１４）满 足定理３．２的条件，这是因为 ｉｍ＋Ｉ－ｏｏ 量ｉ＝ｌ 佃 ］ ［ ｒ△ｓ） １ ｌｉ＝ ｍ｛ 去△ｓ １ 佃南△ｓ） 丢 ｔ ＋ △ｓ ＝石１ ＋。。（ ）△△ｓ ＝＋∞ 所以由定理３．２知此时方程（１４）是振动的． 注ｌ文献Ｉｓ］中的定理４．４是本文定理３．２当ｍ＝ｌ， ＝１，ｒ（ｔ）＝１，Ａ（ｔ）＝１，ｓ（ｔ）＝ｏ时的特 殊情况．而且文献［７，９—１０】的结果对方程（１）当ｍ＝１， ＝１，ｒ（ｔ）＝１，Ａ（ｔ）＝１，Ｂ（ｔ）＝０时的特 殊情况也均不适用，从而也就不能判定例１中的方程（１４）是否振动． 定理３．３设（６）式成立，且ｒ△（￡） ０，０ Ｂ（ ） Ａ（ｔ一 ），记 Ｄｏ＝｛（ ，８）ｒｔ＞ｓ ａ，ｔ，ｓ∈ ），Ｄ＝｛（ ，ｓ）ｌｔ ｓ ａ，ｔ，ｓ∈ ）， １５４ 高校应用数学学报 第２６卷第２期 如果仔任凼数 （ｔ，ｓ）Ｅ乙 ｄ【Ｄ，ＲＪ， （ｓＪ Ｅ Ｃ （ Ｒ Ｊ，便得 （ｉ）Ｈ（ｔ，ｔ）＝０，ｔ ｎ；Ｈ（ ，８）＞０，（ｔ，ｓ）Ｅ Ｄｏ； （ｉｉ）Ｈ（ｔ，ｓ）在Ｄ０上有连续且非正的偏导数，即日 （ｔ，ｓ）Ｅ ｄ且日 （ｔ，ｓ） ０，并且有 ｉｍ ｓｕ—ｐ …１ ｆ ｓ ｓ ２３一 一１ｒｆｓ）（ｐ（ｓ） ｝△ｓ＝ 一 。 ’ Ａ８Ａ ］Ａ［ ］ （１５）， 这里常数ｂ＞０， ｓ）＋即ｊｓ） 则方程（１）在［。，＋。。）上是振动的． 一ｈ（ｔ，ｓ） 两． 证不失一般性，设方程（１）在［０，＋∞）上有一个最终正解 （ｔ），所以存在 １ ａ，当ｔ ｔｌ时， （￡）＞０， （死（￡））＞０，且（７）式成立．由定理３．１的证明知 △△（￡）＜０，于是由引理２．２和引理２．３， 对常数 ∈（０，１），存在 ２ ｍａｘ｛ｔｋ，ｔｌ｝，使得 ） 定义广义￣ＪＲｉｃｃａｔｉ变换 ㈤） ）． （１６） ㈤ 则 （ｔ） ０（ｔ ２），并有 ）： ））＋ ） （ 。）， ． 由（８）式，并注意到 （ｔ） ［１一 ］ （ ），则有 ≤ ｉ ＝１卜 ［ 一 ］ ［ ］Ａ ．’ ． 、 ， 一 ｒ２ （ （ｔ）） （ （ ）） （ （ｔ）） （ （ （ ））） （ （ （ ））） 州ｙＡ ｙＡ 由（７）式及定理３．１的证明知， （ｔ）＞０，ｙＡ（ ）＞０，ｙＡＡ（ｔ）＜０，所以 （ （ ）） 且对固定的 ３ ２ｔ２，当 ｔ３时，有 （￡）， △（￡） △（ （￡））， ）＝ ）＋． ｓ）△ ｓ）△ｓ ） ㈤． （１８） 杨甲山等：时间测度链上一类二阶动力方程的振动准则 １５５ 啪 ｍ ［ 一 ］ ［ ］ 川 ｒ （ （ｔ）） （ （￡））（ｙＡ ） （） 叫 叫 ｍ ［ 一 着 ］Ａ Ａ ｒ２ （ （ｔ）） （ （￡））［１ ｙＺ￣（ｔ ）ｒ叫Ｊ 川 ㈤［ 啪 一 ｒ２ （盯（ｔ）） （ （ ））（＼ 州 ．２／， 若记６＝ Ａ ，由上式进一步有 唾 一 ）＋ 上式两边同乘日（ｔ，ｓ），并积分，得 ６ ｓ ｓ ］ （ 州 ， ］Ａ ＾ 一 聃 （ 州ｓ ｓ （ｓ））△ｓ 也＋ ｊｓ）删 ） ＋ 啪） 啪））△ｓ一 聃） 即｝ｓ） 一 （ ）Ａ－１ Ｗ２（ △ｓ 叫（ （ｓ））△ｓ—厂Ｊｔ３ ＝Ｈ（ｔ，ｔ３）叫＠。）一Ｊｔ３ （ｔ，ｓ）阚／－＝（ ，ｓ） 专ｕ 车 ｏ ， ｕ ｏ，， （ ） ～ △ｓ 日（ｔ， ｓ）叫（ｔ。）一ＡＨ（ ，ｓ）ｒ（ｓ） （ｓ）（ ） 一 ×ｌ ＋ １５６ 高校应用数学学报 第２６卷第２期 ＋ Ａｓ＜Ｈ 叫 ＋ △ｓ 所以 曼ｉ＝１ｐ小）［ 勰］ ［ ｒ＿掣 ）△ｓ Ｈ（ｔ，ｔ３）￣（ｔ３） Ｈ（ｔ，ｎ），“Ｊ（ｔ３）， 上式两边ｌＪＪ除以Ｈ（ｔ，０）并取上檄限，得 ￣ ｉｍ ｓｕ１ ｆｓ ｓ…—ｐ 。）［ ］ ［ ］ ２３ ＡＡ 一ｓＡ ｌ一 ｒ（ｓ ）ｑｔ）（８ 、Ｊ…）△ｓ＜＋ｏ…’。， 这与（１５）式矛盾！定理证毕． 二 注２参数函数 （￡，ｓ）是一个非常广泛的函数，通过选择恰当的不同的参数函数日（￡，ｓ） 和 （ ），就能导出许多不同 关于方程（１）的振动准则． 例２若取日（ｔ）ｓ）＝｛篆 ’（其中常数 ＞０）ｊ并在方程（１）中取ｍ＝１一可 、●●、，●●， 一 ， （ ＝ １，Ｂ（ｔ）：０，我们就有： 推论１设（６）式成立，ＫｒＡ（ｔ）＞０，如果存在函数 （ｓ）∈Ｃ （Ｔ，Ｒ＋），使得 △ ｌ ｌｉｍ ｓｕｐｆａ 一 ∞ （这里６＞０为常数），则方程｛ｒ（ ） △（ ）］ ）△＋ｐ（ｔ）ｌ厂（ （７－（ ）））＝０在 ，＋ｏ。）上是振动的． 注３推论１就是文［１１］中的定理２．１．更进一步，若在推论中取 ＝１，ｒ（ｔ）＝１， （ｓ）＝１，就 得到文［７］中的定理１． 显然，本文给出了方程（１）振动的几个充分条件，统一了时滞微分方程（２）和时滞差分方 程（３）振动的有关结论，推广且改进了现有文献中的结果． 参考文献： 【１】 高承华，罗华．一类二阶差分方程泛函边值问题的多解性［Ｊ］．高校应用数学学报，２００９，２４（１）： ７５—８５． ［２］ 杨甲山．具有正负系数的二阶非线性中立型方程的非振动准则［Ｊ］．工程数学学报，２０１０，２７（１）： １１８—１２４． 【３］ Ａｇａｒｗａｌ Ｒ Ｐ，Ｂｏｈｎｅｒ Ｍｊ Ｌｉ Ｗａｎｔｏｎｇ．Ｎｏｎｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ：Ｔｈｅｏｒｙ ｆｏｒ Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｍａｒｃｅｌ Ｄｅｋｋｅｒ，２００４． ［４ｊ Ｈｉｌｇｅｒ Ｓ．Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｎ ｍｅａｓｕｒｅ ｃｈａｉｎｓ—ａ ｕｎｉｉｆｅｄ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ａｎｄ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｃａｌｃｕ－ ｌｕｓ［Ｊ］．Ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，１９９０，１８：１８—５６． ［５］ Ｂｏｈｎｅｒ Ｍ，Ｐｅｔｅｒｓｏｎ Ａ．Ｄｙｎａｍｉｃ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｔｉｍｅ Ｓｃａｌｅｓ，ａｎ Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ Ａｐｐｌｉｃａ－ ｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｂｏｓｔｏｎ：Ｂｉｒｋｈａｕｓｅｒ，２００１． 杨甲山等：时间测度链上一类二阶动力方程的振动准则 加 Ｕ １５７ Ａｇａｒｗａｌ Ｒ Ｐ，Ｂｏｈｎｅｒ Ｍ，Ｏ’Ｒｅｇａｎ Ｄ，ｅｔ ａ１．Ｄｙｎａｍｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｎ ｔｉｍｅ ｓｃａｌｅｓ：ａ ｓｕｒｖｅｙ［Ｊ】． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００２，１４１（１—２）：ｉ－２６． Ｓａｈｉｎｅｒ Ｙ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｄｅｌａｙ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｎ ｔｉｍｅ ｓｃａｌｅｓ［Ｊ］，Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ａｎａｌｙｓｉｓ，ＴＭＡ，２００５，６３：ｅｉ０７３一ｅ１０８０． Ａｇａｒｗａｌ Ｒ Ｐ，Ｂｏｈｎｅｒ Ｍ，Ｓａｋｅｒ Ｓ Ｈ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｄｅｌａｙ ｄｙｎａｍｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］． Ｃａｎａｄｉａｎ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｑｕａｒｔｅｒｌｙ，２００５，１３（１）：１－１８． Ｚｈａｎｇ Ｂｉｎｇｇｅｎ，Ｄｅｎｇ Ｘｉｎｇｈｕａ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｅｌａｙ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｎ ｔｉｍｅ ｓｃａｌｅｓ［Ｊ］． Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｍｏｄｅｌｉｎｇ，２００２，３６（１１）：１３０７—１３１８． Ｚｈａｎｇ Ｂｉｎｇｇｅｎ，Ｚｈｕ Ｓｈａｎｌｉａｎｇ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｅｌａｙ ｄｙｎａｍｉｃ ｅｑｕａ－ ｔｉｏｎｓ ｏｎ ｔｉｍｅ ｓｃＭｅｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ＆Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｗｉｔｈ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００５，４９（４）：５９９—６０９． Ｈａｎ Ｚｈｅｎｌａｉ，Ｓｈｉ Ｂａｏｊ Ｓｕｎ Ｓｈｕｒｏｎｇ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ ｄｅｌａｙ ｄｙｎａｍｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｎ ｔｉｍｅ ｓｃａｌｅｓ［Ｊ１．Ａｃｔａ Ｓｃｉｅｎｔｉａｒｕｍ Ｎａｔｕｒａｌｉｕｍ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔａｔｉｓ Ｓｕｎｙａｔｓｅｎｉ，２００７，４６（６）：１０．１３． 吴洪武，谢胜利，徐远通．时标上的二阶变时滞动力方程的振动准则『Ｊ］．数学的实践与认识， ２００７，３７（２０）：１３１—１３５． 杨甲山．时间测度链上二阶非线性动力方程的渐近性ｒＪ１．内蒙古大学学报（自然科学版），２０１０， ４１（２）：１５３—１５６． Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｃｒｉｔｅｒｉａ ｏｆ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ ｄｙｎａｍｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｎ ｔｉｍｅ ｓｃａｌｅｓ ＹＡＮＧ Ｊｉａ－ｓｈａｎ ．ＦＡＮＧ Ｂｉｎ。 （１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，Ｓｈａｏｙａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｏｙａｎｇ ４２２００４ｊ Ｃｈｉｎａ； ２．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈ．ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｘｉｎｙａｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉｎｙａｎｇ ４６４０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｆｏｒ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｎｅｕｔｒａｌ ｄｅｌａｙ ｄｙｎａｍｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｎ ｔｉｍｅ ｓｃａｌｅｓ ｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｓｃａｌｅｓ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｓｏｍｅ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ａｎａｌｙｔｉｃ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ，ａｎｄ ｂｙ ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｒｉｃｃａｔｉ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｓｏｍｅ ｓｕｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｆｔｉｏｎｓ ｏｒ ｔｈｅ ｏｓｃｉｌｆｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｓｏｍｅ ｅｘｉｓｔｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ ａｒｅ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ａｎｄ ｅｘｔｅｎｄｅｄ．Ｓｏｍｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｔｏ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ｍａｉｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｐｅｒ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｉｍｅ ｓｃａｌｅｓ；ｎｅｕｔｒａｌ ｄｅｌａｙ ｄｙｎａｍｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒ；ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ；Ｒｉｃｃａｔｉ ｔｒａｎｓ— ｏｒｍａｔｉｆｏｎ ＭＲ Ｓｕｂｊｅｃｔ Ｃｌａｓｓｉｉｆｃａｔｉｏｎ：３９Ａ１０