2020届二轮(理科数学) 数列 三角函数 平面向量 专题卷(全国通用)

数列 三角函数 平面向量 专题卷（全国通用）

(时间：120分钟 满分：150分)

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)

1．在△ABC中，已知a＝40，b＝202，A＝45°，则角B等于( ) A．60° C．30° [答案] C

2

202×

21bsinA

[解析] 由正弦定理，得sinB＝＝＝，又ba4022．若Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＋a10＝4，则S11的值为( ) A．12 C．22 [答案] C

11×a1＋a1111×a2＋a1011×4

[解析] S11＝＝＝＝22.选C.

222

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C＝30°，c＝5，a＝8，则cosA等于( )

3

A. 53C．－

5[答案] B

58

[解析] 由正弦定理得＝，

sin30°sinA4

∴sinA＝，

5

3

又a＝8>c＝5，∴A>30°，∴cosA＝±，故选B.

5

1

4．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )

x－1A．(－∞，2] C．[3，＋∞) [答案] D

B．[2，＋∞) D．(－∞，3] 3B．±

54D. 5B．18 D．44 B．60°或120° D．30°或150°

[解析] ∵x>1，∴x－1>0.

11

又x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3

x－1x－1(当且仅当x＝2时取“＝”)，

1要使x＋≥a恒成立，只需a≤3.故选D.

x－15．已知p＝a＋A．p≥q C．p11

[解析] p＝a＋＝(a－2)＋＋2≥4，当且仅当a＝3时等号成立；

a－2a－211－

q＝()x2－2≤()2＝4，当且仅当x＝0时等号成立．显然，p≥q.

22

6．(2018·新课标Ⅱ文，5)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( ) A．5 C．9 [答案] A

[解析] 考查等差数列的性质及求和公式．

5a1＋a5a1＋a3＋a5＝3a3＝3⇒a3＝1，S5＝＝5a3＝5.故选A.

2

7．已知数列{log2xn}是公差为1的等差数列，数列{xn}的前100项的和等于100，则数列{xn}的前200项的和等于( )

A．100×(1＋2100) C．1＋2100 [答案] A

[解析] 由已知，得log2xn＋1－log2xn＝1， ∴

xn＋1

＝2， xn

B．100×2100 D．200 B．7 D．11

11

(a>2)，q＝()x2－2(x∈R)，则p、q的大小关系为( )

2a－2

B．p>q D．p≤q

∴数列{xn}是以2为公比的等比数列．

∵数列{xn}的前100项的和等于100，由定义得，数列{xn}的前200项的和等于100×(1＋2100)．

3x＋y－6≥0，

8．设变量x、y满足约束条件x－y－2≤0，

y－3≤0，

则目标函数z＝y－2x的最小值为( )

A．－7 C．1 [答案] A

[解析] 本题考查线性规划与最优解． 3x＋y－6≥0，

由x，y满足的约束条件x－y－2≤0，

B．－4 D．2

画出可行域如图，容易求出A(2,0)，B(5,3)，

y－3≤0，C(1,3)，

可知z＝y－2x过点B(5,3)时，z最小值为3－2×5＝－7.

9．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1且B＝30°，则△ABC的面积等于( A.3

2 B.34 C.3

2

或3 D.34或32

[答案] D

[解析] c＝AB＝3，b＝AC＝1，B＝30°. 由于csinB＝3×12＝3

2，

csinB＜b＜c，

∴符合条件的三角形有两个． ∵

bsinB＝csinC，即11＝3sinC.∴sinC＝32

. 2

∴C＝60°或120°，∵A＝90°或30°，

) ∴S△ABC＝33或. 24

10．等差数列{an}中，若3a8＝5a13，且a1>0，Sn为前n项和，则Sn中最大的是( ) A．S21 C．S11 [答案] B

[解析] 设数列{an}的公差为d，因为3a8＝5a13，所以2a1＋39d＝0，即a1＋a40＝0， 所以a20＋a21＝0，又a1>0，d<0，故a20>0，a21<0，所以Sn中最大的是S20.

11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B＝60°，△ABC的面积为33，那么b等于( )

A．22 C.3 [答案] B

[解析] ∵a，b，c成等差数列， ∴2b＝a＋c，平方得a2＋c2＝4b2－2ac. 又S△ABC＝33且B＝60°.

113

∴acsinB＝acsin60°＝ac＝33. 224解得ac＝12，∴a2＋c2＝4b2－24.

a2＋c2－b24b2－24－b2b2－81由余弦定理得，cosB＝＝＝＝.解得b2＝12.∴b＝23.

2ac822×12x＋y－2≤0，

12．(2018·安徽理，5)x , y满足约束条件x－2y－2≤0，

2x－y＋2≥0.优解不唯一，则实数a的值为( )

1

A.或－1 2C．2或1 [答案] D

[解析] 本题考查线性规划问题．

如图，z＝y－ax的最大值的最优解不唯一，即直线与直线2x－y＋2＝0，x＋y－2＝0重合，∴a＝2或－1.

1

B．2或

2D．2或－1 B．23 D.2 B．S20 D．S10

若z＝y－ax取得最大值的最

画出可行域，平移直线是线性规划问题的根本解法．

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．在R上定义运算⊙；a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为________．

[答案] (－2,1)

[解析] 由定义得x(x－2)＋2x＋x－2<0， 即x2＋x－2<0，∴－214．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.

[答案] 63

[解析] 因为a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且数列{an}是递增的等比数列，所1－26

以a1＝1，a3＝4，q＝2，所以S6＝＝63.

1－2

15．(2018·湖北理，13)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.

[答案] 1006 [解析] 由题意可知，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝45°.故ABBC600BC由正弦定理，得＝，即有＝，解得BC＝3002.又由题意可知，在

1sin ∠ACBsin ∠BAC2

22CD3CD

Rt△BCD中，∠BCD＝90°，∠CBD＝30°，所以由tan ∠CBD＝可得＝，解得BC33002CD＝1006.

16．设点P(x，y)在函数y＝4－2x的图像上运动，则9x＋3y的最小值为________． [答案] 18

[解析] ∵P(x，y)在y＝4－2x上运动， ∴2x＋y＝4.

9x＋3y＝32x＋3y≥232x·3y＝232xy＝234＝18. 当且仅当2x＝y，即x＝1，y＝2时取等号． ∴当x＝1，y＝2时，9x＋3y取得最小值18.

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2018·重庆文，16)已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝9

. 2

(1)求{an}的通项公式；

(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.

3×29

[解析] (1)设{an}的公差为d，则由已知条件得a1＋2d＝2,3a1＋d＝，化简得a1＋

22n－1n＋131

2d＝2，a1＋d＝，解得a1＝1，d＝，故通项公式an＝1＋，即an＝.

2222

＋15＋1b4

(2)由(1)得b1＝1，b4＝a15＝＝8.设{bn}的公比为q，则q3＝＝8，从而q＝2.故{bn}

2b1

b11－qn1×1－2nn

的前n项和Tn＝＝＝2－1.

1－q1－2

18．(本小题满分12分)(2018·江西文)正项数列{an}满足：a2n－(2n－1)an－2n＝0. (1)求数列{an}的通项公式an；

1

(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

n＋1an

[解析] (1)由a2n－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)(an＋1)＝0. 由于{an}是正项数列，所以an＝2n.

11111(2)an＝2n，bn＝，则bn＝＝(－)．

n＋1an2nn＋12nn＋1

1111111111n

Tn＝(1－＋－＋…＋－＋－)＝(1－)＝. 2223n－1nnn＋12n＋12n＋1

19．(本小题满分12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知cosC＋(cosA－3sinA)cosB＝0.

(1)求角B的大小；

(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．

[解析] (1)由已知得－cos(A＋B)＋cosAcosB－3sinAcosB＝0， 即有sinAsinB－3sinAcosB＝0. 因为sinA≠0，所以sinB－3cosB＝0. 又cosB≠0，所以tanB＝3. π又0(2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accosB. 111

因为a＋c＝1，cosB＝，有b2＝3(a－)2＋.

22411

又042

ab

20．(本小题满分12分)已知正常数a、b和正实数x、y，满足a＋b＝10，＋＝1，x

xy＋y的最小值为18，求a，b的值．

ab

[解析] x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·(＋)

xyaybx

＝a＋b＋＋≥a＋b＋2ab＝(a＋b)2，

xyaybxy

当且仅当＝即＝xyx

b时等号成立， a

∴x＋y的最小值为(a＋b)2＝18， 又a＋b＝10，∴ab＝16.

∴a，b是方程x2－10x＋16＝0的两根， ∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.

21．(本小题满分12分)设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N*)．

(1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{an}的前n项和Sn；

(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x－a2)，此切线在x轴上的截距为2－

1an

，求数列{}的前n项和Tn. ln2bn

[解析] (1)由已知，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，有 2a8＝4×2a7＝2a1＋2， 解得d＝a8－a7＝2，

nn－1

所以Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.

2

(2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x－a2)， 1

它在x轴上的截距为a2－.

ln211

由题意，a2－＝2－，

ln2ln2解得a2＝2.

所以，d＝a2－a1＝1. 从而an＝n，bn＝2n.

n－1n123

所以Tn＝＋2＋3＋…＋n－1＋n，

22222123n

2Tn＝＋＋2＋…＋n－1. 1222

111n1n2n1－n－2因此，2Tn－Tn＝1＋＋2＋…＋n－1－n＝2－n－1－n＝. 22222n222n1－n－2

所以，Tn＝.

2n22．(本小题满分14分)某工厂有旧墙一面，长14米，现在准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形、面积为126平方米的厂房，工程条件是：①建1米新墙的费用为a元；②修1aa

米旧墙的费用为元；③拆去1米旧墙，用所得的材料建1米新墙的费用为元，经讨论有两

42种方案：(1)利用旧墙的一段x米(x<14)为矩形厂房一面的边长；(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14.问如何利用旧墙，即x为多少米时，建造费用最省？(1)、(2)两种方案哪个更好？

＋

＋

[解析] 以建造总费用为目标函数，通过函数求最小值来解本题．设利用旧墙的一面矩126

形边长为x米，则矩形的另一面边长为米．

x

a

(1)利用旧墙的一段x米(x<14)为矩形一面边长，则修旧墙费用为x·元．

4

a

将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14－x)·元，其余建新墙的费用为(2x＋

22×126

－14)a元． x

a14－x252

故总费用为y＝x·＋·a＋(2x＋－14)a

42x7252x36

x＋－7＝7a(＋－1)(0x36·－1)＝35a， 4x

x36

当且仅当＝，即x＝12时，ymin＝35a元．

4x(2)若利用旧墙的一面矩形边长x≥14， a7

则修旧墙的费用为·14＝a元．

42252

建新墙的费用为(2x＋－14)a，

x7252

故总费用为y＝a＋(2x＋－14)a

2x7126

＝a＋2a(x＋－7)(x≥14)． 2x设14≤x1126126126(x1＋)－(x2＋)＝(x1－x2)(1－)．

x1x2x1x2∵14≤x1196.

126从而1－>0，所以函数y在[14，＋∞)上为增函数．

x1x27126

故当x＝14时，ymin＝a＋2a(14＋－7)

214＝35.5a>35a.

综上所述，采用第(1)种方案，利用旧墙12米为矩形的一面边长时，建墙总费用最省，为35a元．