Mathematica第6章 微分方程的求解

6.1 微分方程解

在Mathematica中使用Dsolove[]可以求解线性与非线性微分方程,以及联立的微分分方程组。在没有给定方程的初值条件下,我们所得到的解包括C[1],C[2]就是待定系数。求解微分方程就就是寻找未知的函数的表达式,在Mathematica中,未稳中有降函数用y[x]表示,其微分用y'[x],y''[x]等表示。

下面给出微分方程(组)的求解函数

Dsolve[eqn,y[x],x]

求解微分方程y[x] 求解微分方程函数y Dsolve[eqn,y,x] Dsolve[{eqn1,eqn2,…},{y1,y2,…、},x] 求解微分方程组

1.用Dsolve求解微分方程y[x]

解y[x]仅适合其本身,并不适合于y[x]的其它形式,如y’[x],y[0]等,也就就是说y[x]不就是函数,例如我们如果有如下操作,y’[x],y[0]并没有发生变化。

2.解的纯函数形式

使用Dsolve命令可以给出解的纯函数形式,即y,请分析下面的例子

这里y适合y的所有情况下面的例子可以说明这一点

在标准数学表达式中,直接引入亚变量表示函数自变量,用此方法可以生成微分方程的解。如果需要的只就是解的符号形式,引入这样来变量很方便。然而,如果想在其她的的计算中使用该结果,那么最好使用不带亚变量的纯函数形式的结果。

3.求微分方程组 请分析下面的例子

当然微分方程组也有纯函数形式。

4.带初始条件的微分方程的解

当给定一个微分方程的初始条件可以确定一个待定系数。请瞧下面的例子

第二个例子由于给出一个初始条件所以只能确定C[1]、 5、进一步讨论

对于简单的微分方程的解比较简单,对一些微分方程它的解就复杂的多。特别就是对一些微分方程组或高阶微分方程,不一定能得具体的解,其解中可能含有一些特殊函数。并且很多特殊

函数的提出就就是为了解这些方程的如:

上面三个方程中分别使用了三种类型的函数,可以查瞧系统帮助了解她们的性质与含义。对于非线性微分方程,仅有一些特殊的情况可用标准数学函数得到解。Dsolve能够处理所有在标准数学手册有解的非线性微分方程。例如:

可以瞧出第二个方程的解已经非常复杂。 6、2 微分方程的数值解

在Mathematica中用函数DSolve[]得到微分方程的准确解,用函数NDSolve得到微分方程的数值解,当然在此处要给出求解区间(x,xmin,xmax)。

NDSolve也就是既能计算单个的微分方程,也能计算联立微分方程组。它能对大多数的常微分方程与部分偏微分方程求解。在常微分可能有一些未知函数yi,但这些未知函数都依赖于一个单变量x。

NDSolve[{eqn1,eqn2,…},y,{x,xmin,xmax}]求函数y的数值解,x属于[xmin,xmax] NDSolve[{eqnl,eqn2,…},{y1,y2,…}{x,xmin,xmax}]求多个函数yi的数值解

DSolve以InterpolatingFunction 目标生成函数yi的解,InterpolatingFunction目标提供在独立变量x的xmin到xmax范围内求少的近似值。NDSolve用迭代法求解,它以某一个x值开始,尽可能覆盖从xmin到xmax的全区间。

为使迭代开始,NDSolve指定yi及其导数为初始条件。初始条件给定某定点x处的yi[x]及尽可能的导数y'i[x],一般情况下,初始条件可在任意x处,NDSolve将以此为起点自动覆盖xmin到xmax的全区域。 下面对初始条件y[0]=0与y[1]=0分别求出x从0到1的范围内y’[x]=y[x]的解。

再瞧下面的微分方程的数值解

使用Mathematica页可以很容易的得到解的图形。这儿给出如何观察微商的逆函数的近似

值图形。我们使用命令Evaluate代替InterpolatingFunction能够节省时间。

例如:

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