福建省南安第一中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案

本试卷考试内容为：数学必修2，试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：柱体体积公式：Vsh，椎体体积公式：V21sh，其中S为底面面积，h为高； 3 球的表面积公式：S4R，其中R为球的半径．

第I卷（选择题 共60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求．

1．已知直线经过点A(0,4)和点B(1,2)，则直线AB的斜率为（ B ）

A．3 B．-2 C． 2 D． 不存在 2．圆x2y22x0与圆x2y24y0的位置关系是（ B ）

A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 3．设m,n是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，给出下列四个命题： ① 若m，n//，则mn ② 若//，//，m，则m

③ 若m//，n//，则m//n ④ 若，，则// 其中正确命题的序号是（ A ） A．①和②

B．②和③

C．③和④

D．①和④

4．如图是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A,B,C为其上的三个点， 则在正方体盒子中，ABC等于（ B ）

A．45 B．60 C．90 D．120 5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3， 则正视图中的x的值是（ D ）

9A．2 B．

23C． D．3

2俯视图 oooox211正视图 侧视图

- 1 -

6．已知a,b是两条异面直线，c//a，那么c与b的位置关系（ C ）

A．一定是异面 B．一定是相交 C．不可能平行 D．不可能相交 7．自点A(3,5)作圆C:(x2)2(y3)21的切线，则切线的方程为（ C ）

A．3x4y290 B．3x4y110 C．x3或3x4y110 D．y3或3x4y110

8．如图中OABC为四边形OABC的斜二测直观图，则原平面图形OABC是（ A ）

Ａ．直角梯形

Ｂ．等腰梯形

Ｄ．不可能是梯形

ooCyBＣ．非直角且非等腰的梯形

xOA9．k是直线l的斜率，是直线l的倾斜角，若3090，则k的取值范围是（ C ）

A．0k33 B．333 D．kk1 C． k33310．两圆相交于点A(1,3)，B(m,1)，两圆的圆心均在直线xyc0上，则mc（ C ）

A．－1

B．2

C．3 D．0

A1B1C1S11．在体积为15的斜三棱柱ABCA1B1C1中，S是C1C上的一点，

SABC的体积为3，则三棱锥SA1B1C1的体积为（ C ）

3A．1 B． C．2 D．3

2ABC12．若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:xy70和l2:xy50上移动，点N在圆C：xy8上移动，则AB中点M到点N距离|MN|的最小值为（ A ）

A．2

B．2(32) C．3 D．22 22第II卷（非选择题，共90分）

二．填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．

13．在空间直角坐标系oxyz中，已知点A(1,2,1)，B(2,1,3)，点P在z轴上，且

|PA||PB|，则点P的坐标为(0,0,2)．

14．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是4x2y50．

- 2 -

15．过点A(3,1)作圆C:(x2)2(y2)24的弦，其中最短的弦长为22. 16．如图，三棱柱A1B1C1ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列命题中：

① CC1与B1E是异面直线； ② AC⊥底面A1B1BA； ③ 二面角AB1EB为钝角； ④ AC1∥平面AB1E．

其中正确命题的序号为 ④ ．（写出所有正确命题的序号）

三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 求经过直线L1:3x4y50与直线L2:2x3y80的交点

M，且满足下列条件的直线L的方程：

（1）与直线2xy50平行； （2）与直线2xy50垂直．

解：3x4y5x1解得 所以交点M(1,2) …………4分

2x3y8y2（1）依题意，所求直线斜率k2 …………6分

故所求直线方程为y22(x1)，即：2xy0 …………8分 （2）依题意，所求直线斜率k故所求直线方程为y21， …………10分 21(x1)，即：x2y50 …………12分 218．（本小题满分12分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC90，

- 3 -

SA面ABCD，SAABBC2，AD1．

（1）求证：面SAB面SBC；

（2）求SC与底面ABCD所成角的正切值． （1）证明：

又

SA面ABCD，BC面ABCD,SABC

ABA, BC面SA BABBC，SABC面SAB

面SAB面SBC …………8分

（2）解：已知SA面ABCD，连结AC，则SCA就是SC与底面ABCD所成的角，

则在直角三角形SCA中，SA2，AC222222，

tanSCASA22 …………12分 AC22219．（本小题满分12分）如下的三个图中，左边的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在右边画出（单位：cm），P为原长方体上底面A1B1C1D1的中心． （1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图（直尺作图）；

（2）以D为原点建立适当的空间直角坐标系（右手系），在图中标出坐标轴，并按照给出的尺寸写出点E,P的坐标；

（3）连接AP，证明：AP∥面EFG． E 3622D1GFPB1DC14（正视图） C4（侧视图） 22 B- 4 - 36A4

（1）解：如图（徒手作图不得分，

尺寸不准确酌情给分）

…………4分

（2）解：建立如图直角坐标系

GFD1PB1z C1E(4,0,2)

P(2,3,4) …………8分

EDy CBx A（3）证明：连接AB1,AD1,B1D1，依题意知：E,F,G分别为原长方体所在棱中点，

GF∥B1D1，GF面AB1D1 ∴GF∥面AB1D1

EF∥AB1，EF面AB1D1 ∴EF∥面AB1D1

又GFEFF ∴面EFG∥面AB1D1 又∵AP面AB1D1 ∴AP∥面EFG ……12分

20．（本小题满分12分）已知圆C:xy4x4ym0，直线l:xy20． （1）若圆C与直线l相离，求m的取值范围；

（2）若圆D过点P(1,1)，且与圆C关于直线l对称，求圆D的方程． 解：（1）圆C:xy4x4ym0 即 (x2)(y2)8m 圆心C(2,2)到直线l的距离d222222|222|2， ………… 2分 22若圆C与直线l相离，则dr，∴r8m2 即 m6 ………… 4分

2又r8m0 即 m8 ∴6m8 ………… 6分

- 5 -

（2）设圆D的圆心D的坐标为(x0,y0)，由于圆C的圆心C(2,2)， 依题意知：点D和点C关于直线l对称， ………… 7分

x02y0220x0022则有：， …………10分 y02y00(1)1x02∴圆C的方程为:x2y2r2， 又因为圆C过点P(1,1)， ∴11rr2222， ∴圆D的方程为：x2y22 ……12分

21．（本小题满分12分）如图，在长方形ABCD中，AB2,AD1，E为CD的中点，以

AE为折痕，把DAE折起为DAE，且平面DAE平面ABCE。

（1）求证：ADBE

（2）求四棱锥DABCE的体积；

（3）在棱DE上是否存在一点P，使得DB∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，不存在，说明理由。

D'DECEABABC

（1）证明：在长方形ABCD中，DAE和CBE为等腰直角三角形，

oo ∴DEACEB45，∴AEB90，即BEAE ………… 2分

∵平面DAE平面ABCE，且平面DAE∴BE平面DAE，AD平面DAE

平面ABCEAE，

∴ADBE ………… 4分 （2）取AE中点F，连接DF，则DFAE ∵平面DAE平面ABCE， 且平面DAE平面ABCEAE， D'PF- 6 -

EQBCDF平面ABCE， A

∴VDABCE 1SABCEDF 31122 ………… 8分 (12)13224（3）解：如图，连接AC交BE于Q，连接PQ，

若DB∥平面PAC ∵DB平面DBE 平面DBE平面PACPQ

∴DB∥PQ ………… 10分 ∴在EBD中，

EPEQEQEC1 ， ∵在梯形ABCE中PDQBQBAB2∴

1EPEQ1，即EPED

3PDQB2∴在棱DE上存在一点P，且EP1ED，使得DB∥平面PAC ………… 12分 322．（本小题满分14分）已知直线l:ykx2，M(2,0),N(1,0)，O为坐标原点，动点

Q满足

|QM|2，动点Q的轨迹为曲线C． |QN|（1）求曲线C的方程；

（2）若直线l与圆O:xy2交于不同的两点A,B，当AOB（3）若k222时，求k的值；

1，P是直线l上的动点，过点P作曲线C的两条切线PC、PD，切点为C、D， 2探究：直线CD是否过定点．

(x2)2y2|QM|2 ……2分 解：（1）设点Q(x,y)，依题意知

22|QN|(x1)y 整理得xy2， ∴曲线C的方程为xy2 …… 4分

2222（2）∵点O为圆心，∠AOB=

2，∴点O到l的距离dr …… 6分 22∴2k21=

2·2  k3 …… 8分 2- 7 -

（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上， ……9分

设P(t,t2)，则该圆的方程为：x(xt)y(y121t2)0 2ttt2tt2tt2t22（ 或用圆心(,1)，半径(1)得(x)(y1)(1)2 ）

2424444422即 xtxy(t2)y0

12又C、D在圆O：x2y22上

∴lCD:tx(t2)y20 即 (x12y)t2y2 0 …… 12分 2yx0由 得 22y20121x2 y1∴直线CD过定点(,1) …… 14分

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南安一中2014~2015高一年上学期数学期末考试卷参

一、选择题

1 2

B

3 A

4 B

5 D

6 C

7 C

8 A

9 C

10 C

11 C

12 A

B

二、填空题

13、(0,0,2) 14、4x2y50 15、22 16、 ④

三、解答题

17．解：3x4y5x1解得 所以交点M(1,2) …………4分

2x3y8y2（1）依题意，所求直线斜率k2 …………6分

故所求直线方程为y22(x1)，即：2xy0 …………8分 （2）依题意，所求直线斜率k故所求直线方程为y2

18．（1）证明：

1， …………10分 21(x1)，即：x2y50 …………12分 2SA面ABCD，BC面ABCD,SABC

又

SABBC，SAABA, BC面SA BBCADBC面SAB

面SAB面SBC …………6分

（2）解：已知SA面ABCD，连结AC，则SCA就是SC与底面ABCD所成的角，

在直角三角形SCA中，SA2，AC222222，

tanSCA

SA22 …………12分 AC222- 9 -

19． （1）解：如图（徒手作图不得分，尺寸不准确酌情给分） …………4分

（2）解：建立如图直角坐标系

EDGFD1PB1 36224z （正视图） C14（侧视图） y C（俯视图） x ABE(4,0,2) P(2,3, 4 ) …………8分

（3）证明：连接AB1,AD1,B1D1，依题意知：E,F,G分别为原长方体所在棱中点，

∵GF∥B1D1，GF面AB1D1 ∴GF∥面AB1D1 ∵EF∥AB1，EF面AB1D1 ∴EF∥面AB1D1 又GFEFF ∴面EFG∥面AB1D1 又∵AP面AB1D1 ∴AP∥面EFG ……12分

20．解：（1）圆C:xy4x4ym0 即 (x2)(y2)8m 圆心C(2,2)到直线l的距离d2222|222|2， ………… 2分 22若圆C与直线l相离，则dr，∴r8m2 即 m6 ………… 4分

2又r8m0 即 m8 ∴6m8 ………… 6分

（2）设圆D的圆心D的坐标为(x0,y0)，由于圆C的圆心C(2,2)， 依题意知：点D和点C关于直线l对称， ………… 7分

- 10 -

x02y0220x0022则有：， …………10分 y02y00(1)1x02∴圆C的方程为:x2y2r2， 又因为圆C过点P(1,1)， ∴11rr

21．（1）证明：在长方形ABCD中，DAE和CBE为等腰直角三角形，

oo ∴DEACEB45，∴AEB90，即BEAE ………… 2分

2222， ∴圆D的方程为：x2y22 ……12分

∵平面DAE平面ABCE，且平面DAE∴BE平面DAE，AD平面DAE

平面ABCEAE，

∴ADBE ………… 4分 （2）取AE中点F，连接DF，则DFAE

∵平面DAE平面ABCE， 且平面DAE平面ABCEAE，

D'PFAEQBCDF平面ABCE，

∴VDABCE1SABCEDF 3 1122(12)1 ………… 8分 3224（3）解：如图，连接AC交BE于Q，连接PQ，

若DB∥平面PAC ∵DB平面DBE 平面DBE平面PACPQ

∴DB∥PQ ………… 10分 ∴在EBD中，

EPEQEQEC1 ， ∵在梯形ABCE中PDQBQBAB2∴

1EPEQ1，即EPED

3PDQB2

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∴在棱DE上存在一点P，且EPED，使得DB∥平面PAC ………… 12分

13(x2)2y2|QM|22．解：（1）设点Q(x,y)，依题意知2 ……2分

22|QN|(x1)y 整理得x2y22， ∴曲线C的方程为x2y22 …… 4分

（2）∵点O为圆心，∠AOB=

2，∴点O到l的距离dr …… 6分 22∴2k21=

2·2  k3 …… 8分 2（3）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上， ……9分

设P(t,t2)，则该圆的方程为：x(xt)y(y121t2)0 2ttt2tt2tt2t22（ 或用圆心(,1)，半径 (1)得(x)(y1)(1)2 ）

2424444422即 xtxy(t2)y0 又C、D在圆O：x2y22上

12∴lCD:tx(t2)y20 即 (x12y)t2y2 0 …… 12分 2yx0由 得 22y20121x2 y1∴直线CD过定点(,1) …… 14分

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