高中数学第二章平面向量2.6平面向量数量积的坐标表示课后导练北师大版4教案

课后导练

基础达标

1.设向量a=（-1，2），b=（2，-1），则(a·b)(a+b)等于( ) A.（1，1） B.（-4，-4） C.-4 D.（-2，-2） 解析:a·b=-2-2=-4,a+b=(1,1), ∴(a·b)(a+b)=(-4,-4). 答案：B

2.若向量a=（3，2），b=（0，-1），则向量2b-a的坐标是( ) A.（3，-4） B.（-3，4） C.（3，4） D.（-3，-4） 解析：依向量的坐标运算解答此题. 2b-a=（0，-2）-（3，2）=（-3，-4）. 答案：D

时，a在e方向上的投影为（ ） 33A.43 B.4 C.42 D.8+

21解析：a在e方向上的投影为|a|·cos=8×=4.

233.已知|a|=8,e为单位向量，当它们之间的夹角为

答案：B

4.以A（-1，2），B（3，1），C（2，-3）为顶点的三角形一定是( ) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形

解析：由已知可得AB=（4，-1），AC=（3，-5），BC=（-1，-4），∴|AB|=|BC|=17， 且由AB·BC=-4+4=0得AB⊥BC，

故△ABC为等腰直角三角形. 答案：B

5.设向量a=（3，m）,b=(2,-1)，且a-3b与a-b垂直，则实数m的值是（ ） A.m=0 B.m=-4

C.m=0或m=-4 D.m=0或m=4 解析：a-3b=(3,m)-3(2,-1) =(-3,m+3),

a-b=(3,m)-(2,-1)=(1,m+1),

∴(a-3b)·（a-b）=(-3,m+3)·（1,m+1） =-3+(m+3)(m+1) 2

=m+4m=0,

解得m=0或m=-4. 答案：C

6.在△ABC中，∠A=90°，AB=(k,1),AC=(2,3)，则k的值是________.

1

解析:由AB与AC垂直，列出关于k的方程，解方程即可得到答案. ∵∠A=90°，∴AB⊥AC. ∴AB·AC=2k+3=0.

3. 23答案：-

2∴k=-7.已知|a|=213,b=(-2,3)且a⊥b，则a的坐标为_______. 解析:设a=(x,y)，则x+y=52,① 由a⊥b,得-2x+3y=0.② 由①②得2

2

x6,x6, 或y4y4.答案：（6，4）或（-6，-4） 8.判断a与b是否垂直： （1）a=(0,-2),b=(-1,3); (2)a=(-1,3),b=(-3,-1)

解析:(1)a·b=0·（-1）+（-2）·3=-6≠0, ∴a与b不垂直.

（2）a·b=（-1）·（-3）+3·（-1）=3-3=0, ∴a⊥b.

9.已知四点：A（-1，3），B（1，1），C（4，4），D（3，5），求证：四边形ABCD为直角梯形. 证明：AB=（2，-2），DC=（1，-1），BC=（3，3）， ∴AB=2DC.∴AB∥DC. 又AB·BC=2×3+（-2）×3=0， ∴AB⊥BC.

又|AB|=8，|DC|=2，|AB|≠|DC|, ∴四边形ABCD为直角梯形.

10.Rt△ABC中，AB=（2，3），AC=（1，k），求实数k的值. 解析：（1）当∠A=90°时，易知AB·AC=0， 即2+3k=0，k=-

2. 3 2

（2）当∠B=90°时，BC=AC-AB=（-1，k-3），易知AB·BC=0，即k=

11. 3（3）当∠C=90°时，AC·BC=-1+k-3k=0，k=

2

313. 2综上可知，k的值为-综合运用

211313或或. 33211.(2004天津高考，理3) 若平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°，且|b|=35,则b等于( )

A.(-3,6) B.(3,-6) C.(6,-3) D.(-6,3) 解析：a与b共线且方向相反， ∴b=λa(λ＜0).

设b=(x,y)，由(x,y)=λ(1,-2)得由|b|=35得,x+y=45,

2

2

x,

y2.即λ+4λ=45,解得λ=-3. ∴b=(-3,6). 答案：A

12.已知平面上直线l的方向向量e=(22

43,)，点O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分别是55O1、A1，则O1A1=λe，其中λ等于( ) A.

1111 B. C.2 D.-2 55解析:方法一：由向量在已知向量上的射影的定义知 λ=|OA|cos〈e,OA〉=5eOA|e||OA|

43(,)(1,2)4655=-2. =5555方法二：利用数形结合的思想，作图可得.令向量e过原点,故O1A1与e方向相反.排除A、C，检验B、D可知D正确.

答案：D

13.若将向量OA=（3，1）绕原点按逆时针方向旋转

，得到向量OB，则向量OB的63

坐标为___________.

解析：欲求向量OB的坐标，可设出OB的坐标，然后用|OA|=|OB|和OA、OB的夹角为

OAOB，即cos建立坐标的方程组，但较麻烦.注意到OA与x轴的正方向所

6|OA||OB|6，再逆时针旋转，故OB与x轴正方向所成的角为，故可采用几何法求点663成的角为

B的坐标.另外若注意到A、B关于直线y=x对称，则马上得到B点坐标. 由分析易知OB的坐标为（1，3）. 答案：（1，3）

14.平面上有两个向量e1=(1,0), e2=(0,1)，今有动点P，从P0(-1,2)开始沿着与向量e1+ e2

相同的方向做匀速直线运动，速度大小为| e1+ e2|;另一动点Q，从点Q0(-2,-1)出发，沿着与向量3 e1+2 e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3 e1+2 e2|.设P、Q在t=0时分别在P0、Q0处，则当PQ⊥P0Q0时，t=_________秒. 解析：∵P0(-1,2)，Q0(-2,-1)， ∴P0Q0=(-1，-3).

又∵e1+ e2=(1，1),∴| e1+ e2|=2. ∵3 e1+2 e2=(3，2)，∴|3 e1+2 e2|=13.

∴当t时刻时，点P的位置为(-1+t,2+t)，点Q的位置为(-2+3t,-1+2t). ∴PQ=(-1+2t,-3+t). ∵PQ⊥P0Q0，

∴(-1)·(-1+2t)+(-3)·(-3+t)=0. ∴t=2. 答案：2

15.已知：a、b是同一平面内的两个向量,其中a=(1,2).若|b|=求a与b的夹角θ.

解析：∵a=（1，2），∴|a|=5.

5,且a+2b与2a-b垂直，2又|b|=

55，故|a||b|=.

22又∵（a+2b）⊥（2a-b），

∴（a+2b）·（2a-b）=0，

4

2a2+3a·b-2b2

=0.

∴2×5+3a·b-2×

=0，a·b=52. 5∴cosθ=ab|a||b|25=-1.

2又θ∈［0，π］，∴θ=π，即a与b的夹角为π. 拓展探究

16.平面内有向量OA=(1,7),OB=(5,1),OP=(2,1)，点X为直线OP上的一动点. (1)当XA·XB取最小值时，求OX的坐标； (2)当点X满足(1)的条件和结论时，求cos∠AXB的值.

解析：(1)设OX=(x,y)，因为点X在直线OP上，所以向量OX与OP共线. 又OP=(2,1)，所以x·1-y·2=0，x=2y.所以OX=（2y，y）. 又XA=OA-OX且OA=（1，7），所以XA=（1-2y，7-y）. 同理，XB=OB-OX=（5-2y，1-y）.

于是有XA·XB（1-2y）（5-2y）+（7-y）（1-y）=5（y-2）2

-8.

所以当y=2时，XA·XB=5（y-2）2

-8有最小值-8，此时OX=（4，2）.

(2)当OX=（4，2），即y=2时，

有XA=（-3，5），XB=（1，-1），|XA|=34，|XB|=2,

XA·XB=-3×1+5×（-1）=-8,

所以cos∠AXB=XAXB8417|XA||XB|34217. 5