一、数列多选题
1•设｛%｝是无穷数列，若存在正整数£伙>2),使得对任意均有厲乜> %，则 称｛\"”｝是\"间隔递
增数列\"，k是｛©｝的\"间隔数\"，下列说法正确的是()
A. 公比大于1的等比数列一定是\"间隔递增数列\" B. 若an=2n+(-l)\\则｛勺｝是“间隔递增数列\"
C. 若© =n + ^-(reN\\r>2),则｛©｝是\"间隔递增数列\"且“间隔数\"的最小值为r D. 已知％ =/+加+ 2021,若｛%｝是“间隔递增数列\"且“间隔数\"的最小值为3,则 -5 < r <
【答案】BCD 【分析】
利用新定义,逐项验证是否存在正整数> 2),使得an+k-an>Q,即可判断正误. 【详解】
选项A中，设等比数列｛©｝的公比是g(q>l),则
一①=W' -虻=(Qi)，其中\"> 1，即严(『—1) > 0 ,若 qvO,贝iJa”+*-a”<0,即a„+k < an,不符合定义,故A错误： 选项 B 中，务甘一①=[2(“ + 斤)+ (-1厂 一 2“ + (-1)\" =2£+(-1)\"[(-1)' 一1 , 当n是奇数时，©+&—色=2« — (—1)*+1,则存在时，绻+£-©>0成立，即对任 意均有符合泄义：当。是偶数时，an+k-an=2k + (-\\) 则存 在k>2时，an+k -an> 0成立，即对任意
WGN*，均有an+k > a„,符合定义.综上,存在 k>2时，对任意n G N*.均有％+&>£，符合泄义，
k故B正确： 选项C中，
调递增，令最小值/(1) = 1 + £-厂>0,得k>r-｛,
又kwZ, k>2, reN*,r>2,故存在k>r时，0成立，即对任意 心2,均有％人>4,符合泄义，\"间隔数\"的最小值为r,故C正确： 选项D中，因为alt=n+tn + 202\\,是\"间隔递增数列\"，贝ij
2(/72 + tn + 2021) = 2kn + k~ + tk >0,即
k + 2〃+/>0,对任意n G N#成立，设g (n) = k + 2n + t.显然在冬上g(〃)递增， 故要使g(n) = k + 2”+f>0,只需g(l) = k + 2 + r>0成立，即-2-t 务 > °对于任意的//GN#恒成立，逐项突破难点即可. 2. ｛©｝的前门项和为前门项积为人，勺工0,且—!—+ () 2+1 2 2,,>, +1 已知数列1 t 【答案】AC 【分析】 由不等关系式，构造/(x) = —1— -丄，易得/'(x)在R上单调递减且为奇函数，即有 2r+1 2 D.若数列｛冷｝为等比数列，贝IJ «2020 < 0 a2+a2(n(i>0，讨论｛%｝为等差数列、等比数列，结合等差、等比的性质判断项、前门项 和或积的符号即可. 【详解】 1 2勺+1 1 1 2r+l\"2 则m・)在尺上单调递减，而心)=齐一厂亍^ /(-%) +/(x) = 2\" + 1 2r + l ―1—* — —1=0,即/(X)为奇函数, 当｛%｝为等差数列，a2+a2O2Q = 2alQn>09 即«1011>0,且 S2O2严\"'g 一如2 2。、0,故A正确，B错误： 当｛©｝为等比数列，如20=吆严'，显然\"2，如20同号，若吆20<°，则“2+如20<° 与上述结论矛盾且％工0,所以前2020项都为正项，则心20=\"…•如20>°，故C正 确，D错误. 故选：AC. 【点睛】 关键点点睛：利用已知构造函数，并确立其单调性和奇偶性，进而得到a2+a2O2（）＞Ot基 于该不等关系，讨论｛©｝为等差、等比数列时项、前\"项和、前门项积的符号. 3. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1, 2, 3, 5, 8, •・.，该数列的特点是：前两个数均为1,从第三个数起，每一个数都等于它前 而两个 数的和•人们把这样的一列数组成的数列｛£｝称为斐波那契数列•并将数列｛£｝中的 各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为｛笃｝,则下列结论正确的是（） A. ^2019=2 C. g] + g2 + &3 + …+ &2019 = 2688 【答案】AB 【分析】 B. （/21/23）-（/22 ）2 +（/20/；2）-（/21）2=0 D. /] + f2 .t3 + • • • + _A0|9 = 2 /2018 ^2020 由可得£『=九乜（直+2—£）=九+成+2—无+忆，可判断B、D选项；先计 算数列｛乞｝前几项可发现规律，使用归纳法得出结论：数列｛g.」是以6为最小正周期的数 列，可判断A、C选项. 【详解】 对于A选项： g]T，g2=l，g3=2，g4=3,g5=l，g6=0，g7=l，g8=b 09=2, g“）= 3, • • • = 1, gn =0 所以数列｛丢｝是以6为最小正周期的数列，又2019 = 6x336+3,所以^2019 = 2,故A 选项正确： 对于 c 选项：g[+g2+g3 + -'+ ^2019 = 336x （1+1+2+3+1+O）+（1+1+2） = 2692,故 c 选 项错误； 对于B选项：雯波那契数列总有：£+2=£+|廿“， 所以（九心）一（厶2）2 +（厶％）-（九『=0,故B正确; 对于 D 选项：£+2 =九厲，•••（/$=//， 圧=总办一£）”办一AA，…， 所以+ fl +.F+・・・+/2爲 =A019/2020 故D选项错误: 故选:AB. 【点睛】 本题考查数列的新立义，关键在于运用数列的左义研究苴性质用于判断选项，常常采用求 前几项的值，运用归纳法找到规律，属于难度题. 4. 已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一项是2°,接下来的两项是 2\\2*,再接下来的 三项是2°,2*,22,依次类推•..，第”项记为“”，数列｛©｝的前”项和为 S”，则（） A. 【答案】AC 【分析】 伽=16 B. + = 128 c. Q竺D.邑=2'_£_1 对于AC两项，可将数列进行分组.计算岀前k组一共有 一可得到选项c 个数,第&组第R个数 即2卜 由C得到@5=29, 0“则为第□组第5个数，可得％ 对于BD项，可先算得'山，即前R组数之和 2 几即为前5组数之和加上第6组前3个数，由$山二2'\"-k-2结论计算即可. 2 【详解】 A.由题可将数列分组 第一组：2° 第二组：2°,21,第三组：2数 （＞ ,2*,22, 则前R组一共有l + 2+..・+k = W + ‘）个第R组第R个数即2^，故竹5以,C对 呼6 2 2 \"60则为第口组第5个数 第 II 组有数：20,2,,2\\23,24,25,26,27,2\\29,21() 故他0 =24 = 16 , A对 对于D.每一组的和为2° + 2】+・・・+2-1 = m = 2A -1 故前k 组之和为2*+224-••• +2k-k=织2 -k =凸' _2_k 2-1 =2“—_2 2\"\"\" 故D错. 对于B. 由 D 可知，S|5 = 2° — 5 — 2 6(6 + 1) ~2~ =21 SI8 =SI5+2° + 2,+22 =26-5-2 + 7 = 64 故B错 故选：AC 【点睛］ 数列求和的方法技巧 (1) 倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和. (2) 错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和. ⑶分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和. 5. 已知数列{%}, {bn}满足％1-5=朴，bfj-an+2nbn =1,且q = 1,二是数列 {h„}的前n项和，则下列 结论正确的有() 「 z w WT 心+33 31 A. 3/7/ e N+ , a,n^5 = am + as B・ V/7 e N+ , ---------> — n 4 C. e N+ , bm = 16 D. Vz? e N+ , - < < 1 【答案】BD 【分析】 用累加法得到«n ;r = -~ ll + 2 .,代入4®+ 2叫=1,得bn=2 厶一一 2 \\n+\\ n+2) 代入5+5 = f + “5求出m可判断A；代入求最值可判断B： n (1 1 、 令bm=2 ---------- -------- =16解岀m可判断C：裂项相消后可求出为的范围可判断D. \\ m + 1 m + 2 y 【详解】 因为一所以 ①一“】=1 ①一冬=2 (—-1 =n-\\(n>2) 以上各式累加得 (/” 一 q = 1 + 2 +…+ “ 一 1 = —(n 1),所以\"”=―— --- 1» n = 1 时，® = 1 成立, 2 2 所以纠=巴二11 + 1 =伫二伫丄，由®q+2M”=l,得 2 2 h _ 1 _ 1 _ 2 _2 ( 1 1 1/2 + 1 料 + 2 丿， ” an + 2/1 〃(〃_1)十］十 °” (n +1)(/1 + 2) 2\" 对于A, (加+ 5)(〃？+ 4)计［—莎+9〃? +22 2 + 2 ni(m -1) . 5x(5-l) < in2 -m + 24 a... + = ---------- F 1 H ------------ F 1 = --------------- 2 2 2 m2 一 m + 24 nr + 9m + 22 得加=£EN+， 当~+5=~+色时, A错误; 对于 B, ©+33_1^~^ + 1+33_S_I)| 34_ j 34 .佰］， n n 2 n 2 n 2 @+33_31 8 4 2 当且仅当/r = 68取等号，因为VneN+,所以“8时, 所以B正确: 对于C,令一 =2 “6 得，〃 \"+ 卩0 m+1 m+2) 解得 所以c错误; 对于D, Vn e N+ ,二=勺+6+・・・+仪=2丄_1 +丄_丄+…+ 丄__!— + n 1 2 3 ( 2 3 3 4 77 + 1 n + 2 (\\ \\ \\ 2 1 叫矿忌戸-忌d可以看岀S”是关于〃递增的，所以\"1时有最小值§， 所以- 故选：BD. 【点睛】 本题考查了由递推数列求通项公式.裂项相消求数列和，关键点是用累加法求岀然后 代入求出仇，考查了学生的推理能力、计算能力. . n + 2 一 77 >2«4,叽= 6. 已知数列｛©｝的前川项和为S”，ax=^Sn=a 〃项和为人，则下列选项正确的是（） :n+l(ne/V*),数列< A. 0=4 B. SR 【答案】ACD 【分析】 在 a{ = 4, Sn = n；f+1 (/? e /V*)中,令 n = \\, 则A易判断：由S2 = f/j +r/2 = 23 , B易判断; , n + 2 3 3 m2”（〃 + 1）・2”列，裂项求叫 令人= ------- --- ,片=_， n(n + \\)an^ 时，叽= n(n +1)^+| 屮8 + 1)2 则CD可判断. 【详解】 t解：由 «)=4,Sn =an+l(neN),所以a2=S}=a{=4,故 A 正确; S? = a】+a2 = 8 = 2’ 2\" 9 故 B 错误; S\" = %],心 2, S-i = an,所以 n>2 时'an=Sn- S—= a曲 所以n>2时，①=4・2_2=2J . 旦=2 , a.. n+2 . 1+2 3 令 = ------------ --------- =— t 1入= 、* ⑷+ 1)% (1 +1>2 8 3 7\\ = 1入=—,n>2 时， 8 一 3+ 1 _ 1 丄 1 3 23 3 23 4-24 1 _ 1 H T (n + l). 2心 2 _ (刃 + 1)1 1<- +・•・+」 ・2曲2 仆〃 =1 〔一“吻递推数列的通项'注 n 8 2x2* 2 方法点睛：已知心与»之间的关系，一般用勺= 意验证⑷是否满足© =S〃—ST（〃》2）:裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消 求和. 所以n 6 N*时，-»故CD正确: 8 2 故选：ACD. 【点睛】 3 咻+ 1)% 7. 设首项为1的数列｛（/”｝的前”项和为S”，已知凡+|=2S”+“-1,则下列结论正确的 是 （） A.数列｛①｝为等比数列 C. 和为 B.数列｛SH +//｝为等比数列 数列｛©｝中伽=511 D.数列｛25,,｝的前\"项 2'^2-n2-n-4 【答案】BCD 【分析】 S ] + // +1 2S + 2/? 由已知可得 --------- = —— =2,结合等比数列的定义可判断B：可得 S.・ +n S “ +n 5w=2/r-/i,结合5和S”的关系可求出｛©｝的通项公式，即可判断A：由｛©｝的通项公 式，可 判断C； 由分组求和法结合等比数列和等差数列的前”项和公式即可判断D. 【详解】 因为二利=2»+〃一1, 九+〃 + 1_2»+2/2 所以 =2 又5+1 = 2,所以数列｛sfl +11｝是首项为2・公比为2的等比数列，故B正确: 所以5;r+/? = 2\\ 则 Sn=T-n ・ 当 n>2 时，^=\\-Sn_,=2n-,-I,但 口工21-1,故 A 错误; 由当n>2时，1可得勺0 = 29 — 1 = 511,故C正确： 因为2亠=2心一2〃，所以2^ +2S2+... + 2Srj =22-2xl + 23-2x2 + ... + 2n+,-2/? =22 + 23 + ... + 2/,+,-2(1 + 2 + ...+ H) = 所以数列｛2S讣的前\"项和为2心一用一” _4,故D正确. 故选：BCD. 【点睛】 关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由 5,I+1 = 2S“ + n-1可有目的性的构造为5,1+1 +n + \\ = 2Sn + 2n ,进而得到 S”+] + ” +1 2S” + 2/z » （ 汽-------- = —— =2,说明数列｛,+〃｝是等比数列，这是解决本题的关键所在, 为+ 为+ 考查了推理运算能力，属于中档题， &已知数列｛©｝中，4=丄，且咳+1=厲（匕+1）,〃€2,则以下结论正确的是 n n 2 () 1 1 1 A -------------- =— 一 ---- • G © 心+ 1 B. ｛ati｝是单调递增数列 1 1 1 1 C -------------- H ------------------- ----- ----------------- > — q +1 a 2 +1 n10 + 1 a｛ D. 若 斗+ —亠+ ・•・ + —亠 =120,则/7 = 122（[xl表示不超过x的最大整数） 勺 +1 a2 + \\ an +1J L」 【答案】ABD 【分析】 利用裂项法可判断A选项的正误：利用数列单调性的怎义可判断B选项的正误；利用裂项 求和法可判断C选项的正误：求出和+齐 活的表达式，可判断D选项的 正误. 【详解】 在数列｛色｝中，«i =->且4出=陽（匕+1）・则“2=5（吗+1）>°， 佝=«2（。2 + 1）>0,…，依此类推，可知对任意的nGn - a>0对于A选项, ] 勺乜 （4”+1）-。”_ _A 选项正确: 1 ％（5 + % （5+1） /I 色+1 数列｛©｝为单调递增数列，B选项 对于B选项, 正确: 对于C选项, 由A选项可知， 1 所以, ------ + -------- di +1 a2 +1 c选项错误： 对于D选项， （丄丄 亠 '丄—丄' 4- 细+1 k 4J 1 <勺 5 > • >4- 1 1 '丄—丄、 _ 1 1 1 —— < — < ^10 a\\\\ ） ax +1 a2 +1 a1 ------ = ■ - an + 1 a} a2 2 . 仏+1） j , Un _（4 +1）-1 （勺 +1）-1 所以，「+ , ------ 十 -- - ----------------------------------- 十 -------------------- 色+1 q+1 a、+1 q +1 a2 +1 ®+l 1 1 -- + …+ ----- 匕+1 «2+1 绻+1丿 又｛©｝是单调递增数列，则n>3时，色>1,则°< — =”-2 + 丄 , 从而舁一2 +丄 =n-2 = 120,得/7 = 122, D选项正确. 故选：ABD. 【点睛】 方法点睛：数列求和的常用方法： (1) 对于等差等比数列，利用公式法直接求和： (2) 对于｛©/?,,｝型数列，貝中｛\"”｝是等差数列，｛b,｝是等比数列，利用错位相减法求 和： (3) 对于｛©+$｝型数列，利用分组求和法； ■ J (4) 对于〈一^1型数列•其中｛©｝是公差为〃(“ H0)的等差数列，利用裂项相消法 I叽+J 求和. 二、平面向量多选题 9. 泄义空间两个向量的一种运算7前=同•円sin(M),则关于空间向量上述运算的以 下结论中恒 成立的有() A. A(a®b^ = (Aa)®b B. a ®/? = b ®d c. (a+^)®c = («®c)+(^®c) D.若& = g，x), z?=(x2,>'2),则=|利2_七〉'| 【答案】BD 【分析】 对于A,B,只需根据肚义列岀左边和右边的式子即可，对于C,当a = )£时， + =(l + 2)|/?|-|c|sin^/?,c^, 然不会 (a ® c) + ® c) = |/l^ | - |c|sin (b,c^ + b\\ - |c | sin c = (14- 2) | • \\c\\ sin 恒成立•对于D,根据数量积求出cos@5),再由平方关系求岀sin@$)的值,代入定义进行 化简验证即可. 【详解】 解：对于力：2(玄0可=2(|可•冋sin@5)),(加)3石=园同•方sin〈加,5), 故几(7 0可=(加)前不会恒成立： 对于 B・ a®b = \\a\\ - sin b sing\") , b®a=可•同sin〈方间,故a®b=b®a恒成立: b 对于 C,若S 且/l>0, (a+h)®c=(l + 2)|^|-|c|sin^,c), (a + ®c) = /l^|-|c|sin^/?,c^4-|/?|-|c|sin= (1+ 2)|/?|-|c|sin^Z?,c^ , 显然+ =(«®c) + (/?®c)不会恒成立； 对于D, 豎+y匕 、7X>+>i2 > =J（彳+斤）（兀+丈）一（“2 +>卩2『=J彳衣+X；）f -2為电”儿 = |xIy2-x2y1|. 则 a ®h = \\x｛y2 -x2y\\ \\ 恒成立. 故选：BD. 【点睛】 本题考查向量的新立义，理解运算法则正确讣算是解题的关键，属于较难题. 10. 已知数列｛6｝, 5=1,勺=5,在平而四边形4BCD中，对角线AC与8D交于点E, 且 AE = 2EC » 当沦2 时，恒有BD = （an-2att.l）BA+（an+i-3an）BC ,则（） A.数列仙｝为等差数列 C. 【答案】BD 【分析】 B. BE = -BA + -BC 数列伽｝为等比数列 D. d”+|-d”=4\" 证明BE = ^-BA + ^BC ,所以选项B正确：设丽=:/匪（7>0）,易得 <+i—a”=4（q—“J，显然\"”一。”“不是同一常数，所以选项人错误：数列｛%-\"心｝ 是以4为首项，4为公比的等比数列，所以°曲-①=4\所以选项D正确，易得 ©=21,选项c不正 确. 【详解】 _ 2 ___ 因为AE = 2EC^ 所以AE = -AC, __ 2 _—. 所以 AB + BE = -(AB + BC)f 3 所以BE = ^-BA + -BC ,所以选项B正确; 3 3 设 BD = tBE（/〉0）, 则当 C2 时，由 BD = tBE = 旋—仏-2%）丽+十（畑-3%）茕， 2cin_,）BA + （afl+1 -）BC,所以 1 1 1 2 所以-K- 2厲J = §，认陽+1 一 3®匕, 所以如—3©=2（厲一20,1）, 易得 %_%=4（务_%）, 显然不是同一常数，所以选项力错误： 因为心・5=4, =4, ' an ~an-\\ 所以数列｝是以4为首项，4为公比的等比数列， 所以an+l-a„=4,所以选项D正确， 易得@ = 21,显然选项C不正确. 故选：BD 【点睛】 本题主要考查平而向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判左，考查等比数列通项的 求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. n1 3 由\"l=T且%1=“刃（陽+1）得。2=7他=忆 21 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容