理解波前像差与Zernike多项式

理解波前像差与Zernike多项式

科技的发展总是给眼视光学医生提供更先进的“武器”用来矫正患者的屈光不正。准分子角膜激光手术就是近年以来这一领域的重大突破性进展。现在，我们又开始进入下一个重大突破发生的阶段：波前像差引导的角膜屈光手术。这一技术引起了人们很大的关注，因为它有可能让患者获得“超视力”（ Super-normal Vision ）。

波前像差（ Wavefront aberrations ，波阵面像差，波面像差）和 Zernike 多项式是这一研究领域专家学者在文章和会议上进行讨论的核心。但这些概念来自于经典的物理光学和数学领域，由于知识背景的原因，可能大多数的眼科医生对此难以做清晰、透彻的理解，更难以在临床工作中向患者进行解释说明，以获得他们的理解与配合。本文以此为目的进行阐述，供读者参考。

1. 什么是高阶像差？

对波前像差的描述中，研究者似乎更关注高阶像差（ higher-order aberrations ），那么什么是高阶像差？

回忆历史，在波前像差的概念以前，球镜度、柱镜度、散光轴向三个数据的组合代表了眼视光学临床上对患者眼屈光状态的全部描述。无论是电脑自动验光，还是主觉验光或检影验光，以及医生开具的验配处方，这三者组合是主要并关键的数据（图 1 ）。

图 1

我们这样做了 100 年。但这些是否反映患者全部的屈光误差呢？答案是否定的。我们忽略了高阶像差，而它们是人眼屈光误差的组成部分。

2. 高阶像差为什么越来越重要？

根据分析，长期以来人眼屈光的高阶像差被眼科或者视光学医师忽略的原因可能在于：（ 1 ）这些屈光误差量很少，或者对视功能仅有轻微的影响。（ 2 ）临床上缺乏有效手段对它们进行准确测量。（ 3 ）即使发现并可以测量高阶像差，但缺乏有效的消除手段。

随着研究和认识的进展，人眼的高阶像差已经难以继续被忽略，而将逐渐成为眼视光学临床上常规的检查和评价内容。原因在于：（ 1 ）发现大量的常规屈光手术病例术后存在不同程度的视力问题，这些问题与术眼的高阶像差相关。角膜屈光手术在对角膜进行重新塑性，有效切削矫正球柱镜的同时，导致术眼高阶像差的显著增加。这些手术病例，没有明显的残留球柱性屈光不正，由于高阶像差的影响而导致不同程度的视力问题。（ 2 ）新的检查仪器，即像差计（ aberrometers ）投入临床应用，可测量人眼高阶像差。（ 3 ）临床上诞生了可用于矫正高阶像差的治疗办法，即波前像差引导的角膜屈光手术（ LASIK

和 PRK ） ------ 可望很快成为屈光手术的新标准。同样的针对接触镜的研究也正在进行，目的在于提供可个性化设计的接触镜处方，以矫正高阶像差。

总之，高阶像差是球、柱性屈光不正之外的屈光误差。由于大量常规屈光手术病例术后存在不同程度因术眼高阶像差而导致的视力问题，使得高阶像差如今必须得到重视。同时在未来，患者也会更趋向于选择波前像差引导的角膜屈光手术，以获得最佳视力。

3. 超视力

如果我们不仅矫正患者的球、柱镜屈光不正，而且矫正高阶像差，就有可能为患者提供几乎完美的屈光矫正效果，使之获得“超视力”。也就是说，患者的眼睛将拥有完美的屈光系统。这个时候，视觉将不再受眼球屈光系统的限制，而仅受限于视网膜分辨力。理论上，这样的屈光系统允许最佳矫正视力为 20/8 ，比 20/20 整整高出四行的视力！

超视力引起人们的无限遐想，并且成为 Science News ， Physics Today ， Scientific American 等杂志媒体报道的主题。

4. 什么是波前像差探测器（像差计）？它的原理是什么？

波前像差探测器或者称之为像差计，是一种用来测量眼球全部屈光误差包括球镜、柱镜和高阶像差的装置。

这些测量仪被临床使用以前，经历了一些有意思的过程。最初在 80 年代，美国国防部将这些装置用于支持里根总统提出的“星球大仗”弹道导弹防御计划。为了增强太空上军用卫星的摄像照片效果并提高激光武器的打击精确度，军方需要一种技术来测量并矫正

处于经常波动状态的大气屈光力。这导致一种光学工程分支学科的发展，就是自适应光学，它涉及到实时测量并矫正比如大气湍流所导致的屈光误差。典型的情况下，这种矫正通过使用一种可迅速弯曲或变形的反射镜来精确地补偿不断变化的大气屈光力，整个过程在高速计算机的控制下，通过一种非常快地方式，在不同的时间改变反射镜不同部位的弯曲度来实现。

天文学家也对自适应光学十分感兴趣，因为湍流大气造成的屈光误差同样使他们的望远镜成像变得模糊。自适应光学允许他们在地面做同样的事情，通过曲折望远镜的光学部件来消除湍流大气屈光力的影响。到了 90 年代，几乎世界上最大的望远镜都配备了自适应光学系统，它包括了用来测量大气像差的波前像差探测器和进行光学矫正的可变形反射镜。

一个世纪以前， Hartmann 发明了一种实验来评价望远镜反射镜的光学性能。 Hartmann 实验就是现代 Shack-Hartmann 波前像差探测器的鼻祖。 80 年代，在为空军的一个项目工作中，亚利桑那州大学的 Roland Shack 教授改良了 Hartmann 的技术并发明了我们所知道的 Shack-Hartmann 波前像差探测器。今天， Shack-Hartmann 像差计已经成为测量人眼像差的主要工具。

1990 年，海德堡大学的科学家们正在开发一种可提供更好的视网膜图象，包括视乳头三维图像的激光扫描检眼镜。这就是现代用于青光眼检查的 HRT （ Heidelberg Retinal Tomograph ）的鼻祖。

海德堡的科学家希望可通过矫正眼球的全部屈光误差，包括高阶像差来优化眼底图像的质量。一位哲学博士生， Junzhong Liang ，是第一个使用 Shack-Hartmann 波前像差探测器来测量人眼像差的人。他的文章发表于 1994 年，并且成为视觉像差领域被引用最为频繁的论文。

此后数年里面，世界上其它的研究实验室建立了各自的 Shack-Hartmann 波前像差探测器。

到 90 年代后期，竞争主要发生在激光屈光手术设备厂家之间，他们开发了商品化的眼科波前像差探测器用于引导各自激光设备进行更好的 LASIK 和 PRK 手术。 WaveFront Sciences 公司在 2000 年早期生产了第一个基于 Shack-Hartmann 原理的商品化眼科波前像差测量仪： the Complete Ophthalmic Analysis System (COAS) 。其它公司，诸如 VISX 和 ALCON 也开发出了 Shack-Hartmann 类型的像差计。并且，基于

其它非 Shack-Hartmann 原理的商品化像差计也被开发出来。

许多像差计看似电脑验光仪。实际上，你可以把波前像差探测器或者像差计看作一种超级验光仪，它不仅测量人眼的球镜、柱镜屈光不正，还可测量高阶像差。虽然目前存在多种测量眼像差的原理方法，但是基于 Shack-Hartmann 原理的仪器是为普及的。

波前像差探测器的原理

对于眼视光学医生来说，理解波前像差探测器的工作原理是很有必要的，这有助于增进对像差本身和现代眼科中像差的地位的理解。

像差计的设计目的是为了测量眼球全部的屈光误差，基于 Shack-Hartmann 原理的仪器通过测量人眼发出的光线通过眼球的屈光系统之后产生的波面（波阵面）畸变而达到相同的目的。图 8 显示了视网膜上的一个点光源发出的光线分别通过一个无像差，正视眼和单纯近视眼的屈光系统以后形成的光学波面。

图8

对于一个无任何屈光误差的眼来说，从眼睛出来的光学波面是一个完全的平面。在单纯近视的情况下，出来的光学波面是一个球面，球心会聚于远处的一点。其它的屈光误差，包括高阶像差，出来的光学波面存在其它方式的变形。为了知道眼球全部的屈光误差，包括高阶像差，其中的一个方法之一就是通过测量从眼球出来的光学波面的形状进行。

所有像差计的目标都是要测量出经过眼球屈光系统折射之后从眼球出来的光学波面的形状，也就是它的面形。 Shack-Hartmann 像差计的原理是通过测量该波面表面的点与

位于眼的入瞳处的一个参考平面上的点两者之间的距离，来测量波面的面形。这种距离，就是波前像差，见图 9 。

图 9

在图 9 的右半部分，垂直线代表入瞳平面，弧线代表从眼球出来的波面，其中心点在空间上重叠于入瞳平面的中心点。像差计在穿越瞳孔的许多定位点上测量波面到参考平面的距离，即波前像差。因此一套 Shack-Hartmann 结果数据集，由大量的对应于不同的瞳孔定位点的数值构成一个阵列（波前像差），整个数据集有时候也叫做波前像差函数。

为了测量波前像差， Shack-Hartmann 仪器使用了一种精巧的光学系统将眼入瞳处的波前像差映射到一套细微的透镜阵列。透镜阵列是 Shack-Hartmann 像差计的核心部

件。图 9 除了波面以外，还显示了几束光线，用于指示波面不同部分的光线传播方向。

图 10 显示了来自视网膜点光源的光线如何经过眼球光学系统并出射，经过眼前的两个正透镜，经过微透镜阵列，最后投射于 CCD 视频探测器。形成视网膜点光源的照明系统这里没有表示出。

图 10

每一枚微透镜的直径为几分之几毫米。微透镜阵列的作用是把眼球出来的光束分成许多小光束用于测量。每一枚微透镜将经过的小光束聚焦于 CCD 视频探测器表面的上一个小点（图中红点表示），后者把光点记录为图象。通过分析每一个小光点的位置，我们可以得到波面的形状。

前面说过，对于一完美屈光系统的眼球，出射的为平行光线。图 10 表示出来自无像差眼的平行光线经过 Shack-Hartmann 系统之后，进入微透镜阵列的情况。每一枚微小的正透镜将平行光束聚焦成 CCD 视频探测器上的光点。由于进入每一枚微透镜的光束都是平行光线，并且互相平行，他们最后都聚焦于微透镜光轴上的一点。因此，对于无像差的眼球，每一点都位于相对于微透镜中心的位置。

图 11

CCD 视频探测器最后接受到的图象是一系列点构成的阵列（图 11 左边），每一点对应于一枚微透镜。并且，这些点并安排在一个规则的网格里面，网格匹配于微透镜阵列的几何构形。如果存在像差，某些点将会离开原来无像差的位置。通过分析每个点的位置，就有可能重建离开眼球的光学波面的面形。这样，我们就可以测量波前像差函数，它包含了关于眼球屈光误差的全部信息：包括球镜、柱镜，和高阶像差。

图 12

图 13

图 12 和 13 表示如何根据点的位置来计算眼的波前像差。图 12 是图 9 中放大了的单一微透镜视图，有一部分的波面通过它。如果是无像差波面，它应该是平正的，并且光线将直接聚焦于正前方。如果存在光学误差（像差），波面将呈现某种程度的倾斜，如同红色弧线表示的一样。跟随兰色光束的表示，我们可以看到像差波面的光线将会聚于非中心的一点。会聚点移位的距离与局部波面的斜率成一定比例。

图 13 简化表示了这一几何学原理。这个例子中，随波面斜率的变化，点的位置扁移成比例改变。因为距离 f---- 微透镜的焦距已知，并且我们可以计算出点的偏移量 △ y ，因此很容易计算光线的斜率，等于 △ y/f 。几何学原理决定，它等同于局部微透镜上波面的斜率。通过计算每一点与无像差参考点的偏移量，我们可以计算每一枚微透镜局部的波面斜率。这就是 Shack-Hartmann 所做的！它测量通过瞳孔区域不同坐标点的光束的波面斜率。

对于每一枚微透镜，波面的斜率分别在 x 和 y 两个方向上进行测量，这些数据最后被数学方法整合计算出通过瞳孔不同位置的实际波前像差。计算结果为通过瞳孔不同位置

的二维的波前像差的量数据集。

图 14

这种二维的数字阵列相似于静态视野检查数据阵列（图 14 ）。例如，来自 Humphrey 30-2 visual field test 的检查结果包含了一个 76 个数字的圆形阵列以及使数字可视化的灰度图。同样的，像差计的检查结果也可表示为包含数百个数字的巨大阵列，每个数字均表示波前像差差的值。然而为了可视化，最好是把这些数字阵列转化成一个灰度或者是地形图，来表示通过瞳孔不同位置的波前像差的值。（图 14 上右）同时也可以建立一个表面曲线图，来提供更好的光学波面面形的三维透视观察效果。（图 14 下右）

由此，我们了解了波面探测器或者是像差计相当于一种超级自动验光仪，可测量人眼的各种屈光误差，包括球镜、柱镜，和高阶像差。它们通过测量不同位置的眼球出射光线的波面斜率并数字化重建波面面形来实现。

什么是 Zernike 多项式，为什么可反映屈光误差？

如果我们观察不同人眼的波面，就会发现它们根据不同屈光误差的类型和量，而呈现不同的形状。由于每个眼球的波面几乎都是唯一、不重复的，原始的波面数据很难被用来比较和分类。因为面形存在太多的差别可能因素。

我们通常仅使用三个数字描述低阶的屈光误差：球镜度、柱镜度和轴向。

那么我们如何描述其它的比如高阶像差所包含的屈光误差呢？ Optical Society of America (OSA) 建议了一套系统用来描述眼的波前像差，就是我们所知道的 Zernike 多项式。这一系统已经被屈光手术医生和光学科学家普遍接受。

Zernike 多项式允许我们把任何像差分解，并表示为一系列特定的像差类型（被称之为 Zernike 模集合），每一种 Zernike 模表示一种特定类型的像差。例如，存在一些模分别表示球性散焦，散光，球面像差等等。

图 15

图 15 显示了几种模的图示。每一种代表特定的像差，也就是一种屈光误差，具有特定的面形和特殊的数学定义。例如，球性屈光误差看起来象一个碗，散光看起来象一个鞍状物，三叶形的像差有三个瓣。许多 Zernike 系统中的像差没有名字，而是通过两个数字

的索引进行表示，例如 Z 7 -3 ，或者通过单一数字索引进行表示，例如 Z 40 。

图 16

大多数的眼睛具有复杂的屈光误差组合，可能拥有不规则，不对称的波前像差面形，如同图 16 上面显示。这个例子中，由 Shack-Hartmann 像差计测量出的波前像差通过

彩色地形图进行显示。通过 Zernike 分解，波面中全部的屈光误差可以被分解为各种 Zernike 模来进行显示。这个波面包含了一定数量的球面，柱面，三叶形，彗差，球差， Z 42 ， Z 44 ，以及没有表示出来的其它类型的像差。 Zernike 处方还可以包含数字（ Zernike 系数）来告诉我们每一种像差的量和符号。

Zernike 处方

常规的配镜处方看起来相对简单，因为它们仅通过三个数值来描述屈光误差：球镜度，柱镜度，轴向。图 16 上面图形显示的屈光误差可以被以下球柱处方很好地矫正： +0.19 -0.67 X 110 。然而这一处方不提供关于高阶像差的任何信息。 Zernike 多项式却允许对任何像差以任何细节水平进行球镜、柱镜和高阶像差的规格说明。如果需要更多的细节，只需包含更多的模。下面显示的 Zernike 处方包含 12 种 Zernike 模。

请注意 Zernike 处方的下列特征：

? 每一种模具有一个数字系数，可以为正号或负号的一种。系数表明整个像差中这种模（像差）有多少量。

? 用来说明 Zernike 系数量的单位是微米。

? Zernike 模可以被分组为不同的 Zernike 阶（级）。第二阶像差包括球性离焦（近

视或远视）和散光（两种模）。第二阶模就是我们通常用框架眼镜，接触镜，或者常规 LASIK （非波前像差引导）来进行光学矫正的部分。它们通常叫做低阶像差。第三阶以及以上的称为高阶像差。当 Zernike 模通过双数索引方案（ Z n m ）进行标识时，下标“ n ”代表 Zernike 阶数，上标“ m ”标识出在这一阶里面的模。

? 有些模具有名字，有些没有名字。例如，彗差和球差是我们所熟悉的。（注意： Zernike 中的彗差和球差并不完全等同于我们在视光学学校里所学的彗差和球差。）

? Zernike 处方必须注明特定的瞳孔尺寸。

你可能已经注意到前面的处方里头包含两种散光的模， Z 2 -2 （ 45/135 散光）和 Z 2 2 （ 90/180 散光）。标准的 OSA Zernike 系统用这种方法表示散光。注意其它的像差也成对出现： Z 3 -3 （垂直三叶形）和 Z 3 3 （斜向三叶形）， Z 3 -1 （垂直彗差）和 Z 3 1 （水平彗差），以及其它。

有时候将成对的模转变成单一的模使用起来更为便利，这样单一的模将拥有一个量和一个轴向。例如，为了取代说明拥有 0.04 微米的 Z 3 -1 （垂直彗差）和配对的 0.03 微米的 Z 3 1 （水平彗差），你可以将它们联合成单一彗差模的描述方式： 0.05 微米的 Z 31 ，轴向为 127 度。

联合的 Zernike 模可以用一个下标来标识，下标基于原来的双数字索引。例如， Z 31 （彗差）。