第５４卷第４期 ２０１５年７月 中山大学学报（自然科学版） ＡＣＴＡ ＳＣＩＥＮＴＩＡＲＵＭ ＮＡＴＵＲＡＬＩＵＭ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＡＴＩＳ ＳＵＮＹＡＴＳＥＮＩ Ｖｏ１．５４ Ｎ０．４ Ｊｕ１． ２０１５ ＤＯＩ：１０．１３４７１／ｊ．ｅｎｋｉ．ａｃｔａ．ｓｎｕ８．２０１５．０４．０１ １ ｍｄｅｎ．．Ｆｏｗｌｅｒ 型泛 具阻尼项的高阶Ｅ 函微分方程的振荡性 杨甲山，覃学文 （梧州学院信息与电子工程学院，广西梧州５４３００２） 摘 要：为了进一步发展和完善泛函微分方程的振荡理论，研究了一类具有阻尼项的高阶非线性变时滞Ｅｍ． ｄｅｎ—Ｆｏｗｌｅｒ型泛函微分方程的振荡性。利用Ｒｉｃｃａｔｉ变换的技巧，借助于Ｈｆｉｌｄｅｒ不等式及一些分析技术，获得了 该类方程振荡的一些新的判别准则，这些准则推广并改进了现有文献中的一些结果，并以具体例子说明了本结 果的重要性。 关键词：振荡性；阻尼项；Ｅｍｄｅｎ—Ｆｏｗｌｅｒ型泛函微分方程；Ｒｉｃｃａｔｉ变换 中图分类号：Ｏ１７５．７ 文献标志码：Ａ 文章编号：０５２９—６５７９（２０１５）０４—００６３—０６ Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｈｉ ｅｒ Ｏｒｄｅｒ Ｅｍｄｅｎ．Ｆｏｗｌｅｒ Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ Ｄａｍｐｉｎｇ ＹＡＮＧ Ｊｉａｓｈａｎ，Ｑｍ Ｘｕｅｗｅｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｗｕｚｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｕｚｈｏｕ ５４３００２，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｄｅｖｅｌｏｐ ａｎｄ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｂｏｕｔ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａ— ｔｉｏｎｓ，ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｙ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｈｉｇｈｅｒ—ｏｒｄｅｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｖａｒｉａｂｌｅ ｄｅｌａｙ Ｅｍｄｅｎ—Ｆｏｗｌｅｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆ－ ｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｄａｍｐｉｎｇ ｉｓ ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｒｉｃｃａｔｉ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｔｈｅ ＨＯｌｄｅｒ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ａｎｄ ｓｏｍｅ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ａｎａｌｙｔｉｃ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ，ｓｏｍｅ ｎｅｗ ｃｒｉｔｅｒｉａ ｆｏｒ ｔｈｅ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｔｈｅｓｅ ｃｒｉｔｅｒｉａ ｉｍｐｒｏｖｅ ａｎｄ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ ｓｏｍｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｋｎｏｗｎ ｒｅｓｕｌｔｓ．Ｓｏｍｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｔｏ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ；ｄａｍｐｅｄ ｔｅｒｍ；Ｅｍｄｅｎ—Ｆｏｗｌｅｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ；Ｒｉｃｃａｔｉ ｔｒａｎｓｆｏｒ－ ｍａｔｊｏｎ 考虑如下一类具阻尼项的高阶非线性变时滞 Ｅｍｄｅｎ—Ｆｏｗｌｅｒ型泛函微分方程 ［Ａ（ｔ） １（ －１’（ｔ））］ ＋ｂ（ｔ） ｌ（ Ｉ１ （ｔ））＋ Ｑ（ ） ２（ （ （ ））））＝０，ｔ≥ｔ０ （１） （Ｈ。） （ｔ）∈Ｃ（［ ，＋。。），（０，＋∞）），且 ｒ（ｆ）≤ｔ，ｌｉｍ ｒ（￡）＝＋∞。 ｔ— ＋∞ （Ｈ ）６（ｔ）∈Ｃ （［ｔ０，＋∞），（０，＋∞）），且 其中ｎ≥２为偶数，ｔ ≥０为常数， （ｔ）＝ （ ）＋ Ｐ（ｔ）ｇ（ （ｒ（ｔ））），Ａ（ ），Ｐ（ ），Ｑ（ ）∈Ｃ（［ｔ。，＋ ∞），Ｒ）， １（ｕ）＝ｌ“Ｉ ｙ－１“， ２（ｕ）＝Ｉ ｌ ｌｆ－１ＩＺ（这里 （Ｈ３）存在常数Ｏｌ＞０和０＜ ≤１，使得当 ≠ ０时有 ｕ）／ｕ≥Ｏｌ和ｇ（ｕ）／ｕ≤ 。 ＞０，卢＞０均为实常数）； ＩＺ），ｇ（ ）∈Ｃ（Ｒ，Ｒ）， 且当Ｕ≠０时 ｕ）＞０，ｕｇ（Ｕ）＞０。本文总假设下 列条件成立： （Ｈ４）Ａ（ｔ）∈Ｃ （［ｔ。，＋∞），（０，＋∞））且 Ａ （ｔ）＞０；０≤Ｐ（ｔ）＜１；Ｑ（ｔ）＞０。 收稿日期：２０１４～０９—０１ 基金项目：广西教育厅科研资助项目（２０１３ＹＢ２２３）；湖南省科技厅基金资助项目（２０１２ＦＪ３１０７） 作者简介：杨甲山（１９６３年生），男；研究方向：微分差分方程、动力方程；Ｅ－ｍａｉｌ：ｓｙｘｙｙｊｓ＠１６３．ｅｏｍ 中山大学学报（自然科学版） 上 第５４卷 （Ｈ５） 』１ ｅ （一 圳 ＋００ ｏ Ｉ ｄ 】 ，这里ｐ＞Ｏ，ｑ 我们称函数ｘ（ｔ）∈ （［ ，＋∞），Ｒ）（Ｔｘ≥ｔ。） 为方程（１）的一个解，如果Ａ（￡） （ （ ））∈ Ｃ （［ ，＋∞），Ｒ）且在区间［ ，＋００）上满足方 程（１）。方程（１）的一个非平凡解 （ｔ）称为是 振荡的，如果它有任意大的零点，否则称它是非振 荡的。方程（１）称为是振荡的，如果它的所有解 都是振荡的。 近年来，对泛函微分方程的振荡和非振荡等定 性理论的研究成果非常丰富¨ 。关于方程（１） 的特殊情形及其振荡性结果见［１—４］。若方程 （１）中Ｐ（ｔ） ０， ｕ）：Ｕ， ＝ＪＢ，贝０方程（１） 简化为 ［ （ｔ） １（ ’（ｔ））］ ＋ｂ（ｔ） （ ‘ 一¨（ｔ））＋Ｑ（ｔ） （ （８（ｔ）））＝０（２） 而方程ｒ【 ｈ二－≤ 、。且 （２）的振荡性文献０ ＞ ［５］也作了仔细研究， 并给出了３个非常有价值的振荡准则。本文的目的 是研究更一般的高阶Ｅｍｄｅｎ—． ｐ 、 ＋ Ｆｏｗｌｅｒ型泛函微分方 程（１）振荡性，给出了几个新振荡准则，使得现 ｑ 有文献中的许多结果成为本文结果的特殊情形，同 ＝ 一Ｐ １ 时得到了当文献ｒ●●●Ｌ ｏ ６广●●Ｊ ｏ ［５］中定理２的条件（Ｃ ）（其 它文献如ｇ ［６—１９］亦有类似的条件）不成立时方 程（２）的振荡准则，推广了已有的结果。 １ 几个引理 引理１ 设“在［ｔ。，＋。。）上是正的ｎ次可 微函数，ｕ ’（ｔ）最终定号，则存在ｔ ≥ｔ。和整数 ｆ（０≤ｆ≤ｎ），当“ ’（ｔ）≥０时，ｎ＋ｚ为偶数；当 ｕ （ｚ）≤０时，ｎ＋ｆ为奇数，使得 当ｆ＞０时有 ’（ｔ）＞０，ｔ≥ｔ ，ｋ＝０，１，…， ２—１；且当ｚ≤ｎ一１时有（一１） ｕ （ｔ）＞０，ｔ≥ ｔ ，｜ｉｃ＝ｆ，ｆ＋１，…，ｎ一１。 引理２ 设Ｍ满足引理１的条件，且 Ｍ ’（ｔ） ’（ｔ）≤０（ｔ≥ｔ ），则对任何 ∈（０， １），存在常数Ｍ＞０，使得对一切充分大的ｔ有 ｕ （ ）≥Ｍｔ Ｍ （ｔ）。 引理３ 设ａ，ｂ为非负实数，则Ａａｂ 一ａ ≤（Ａ一１）ｂ ，Ａ＞１，等号成立当且仅当ａ＝ｂ。 引理４设 （ｔ）是方程（１）的最终正解，则 Ｚ（ ）＞０，Ｚ （ ）＞０，ｚ Ｉ１ （ ）＞０， （￡）≤０。 证明完全类似于文［６］中的引理４，略。 ｂ 引理５（Ｈｔｉｌｄｅｒ不等式） ｌｌ ）ｇ（ ）Ｉ ｄｘ ２方程（１）的振荡准则 定理１ 若存在函数Ｐ（ｔ）∈Ｃ （［ｔ。，＋∞）， （０，＋∞）），使得当 ≤卢时 ｍｓｕ“ 。 ＩＩ（Ｐ ａｓ） ）一 ｎ ＋∞（ｓ Ｉ 厂 （３）当 ＞ 时 ｔ 一 ｌ ＩＰ Ａ（ｓ） （一 ｎ ＋∞ ｓ）Ｉ Ｊ （４）其中叼＞０为某常数，常数 ，Ｍ如引理２，函数 （ｓ）＝ Ｑ（ｓ）【１一ｔｔＰ（８（ｓ））］ｐ，则方程（１）是 振荡的。 证明设方程（１）存在非振荡解 （ｔ），不失 一般性，设 （ｔ）＞０， （丁（ｔ））＞０， （８（ｔ））＞０，ｔ ≥Ｔ≥ｔ。。由方程（１）并注意到条件（Ｈ ），得 ［Ａ（ ） ｌ（ ‘ （ｔ））］’＋ｂ（ｆ） １（ｚ‘ ’（ｔ）） ≤一 Ｑ（ｔ） ２（ （６（ｔ）））＜０ （５） 由引理２，对０＜ ＜１，存在常数Ｍ＞０，使得 （并应用引理４） ｚ （∞（ｔ））≥Ｍ８ （ｔ）ｚ‘ （６（ｔ））≥ Ｍ８ 一。（ｔ）ｚ‘ 一 ’（ｔ） （６） 由 （ｔ）的定义知 （ｔ）≤ｚ（ｔ），于是由引理４知 （ｔ）≤ （ｔ）＋Ｐ（ ） （ （ｔ））≤ （ｔ）＋ Ｐ（ ）ｚ（ （ｔ））≤ （ｔ）＋ Ｐ（ ）ｚ（ｔ） 即 （ｔ）≥［１一 Ｐ（ｔ）］ｚ（ｔ）≥［１一 Ｐ（ｔ）］ （ ）≥０ （７） 定义函数 ＝ｐ ’ ＝ ‘Ｄ，Ｉ Ｉ∞ｌ￡Ｊ Ｊ Ｊ ） ， （８） 则Ｖ（ｔ）＞０（ｔ≥Ｔ），注意到（５）、（６）和（７） 式，可以得到 ｃ ＝ｐ ｃ ） 芝 ＋ ，、［Ａ（ｔ） １（ｚ ’（ｔ））］ ｐ ，— 一 第４期 杨甲山等：具阻尼项的高阶Ｅｍｄｅｎ—Ｆｏｗｌｅｒ型泛函微分方程的振荡性 ） ）一 一 ） 等 ＯＭ８ ㈤ ）一 ）一 卢蝴 ㈩ ） ＝ ）一 ）＿ｐ（ ㈤一 ３０Ｍ８ ㈤ ｔ） （９） 下面分两种情形来讨论：（ｉ） ≤卢；（ｉｉ） ＞ 。 情形（ｉ）当 ≤ 时，由（９）式，得 ）≤ ㈤一 ）－ｐ（ ㈩一 ））］ Ｉ 【Ｐ ｔ Ａ ｔ Ｌ Ｊ ㈣］ 由引理４知，ｚ（ｔ）＞０， （ｔ）＞０，故存在常数 叼＞０，使得当ｔ≥Ｔ时， （∞（ｔ））≥叩。于是由上 式，得 ）≤ ）一 ）＿ｐ（ ㈤一 叼 ㈣］ ㈤＋【 一粉 ）一 ［Ｐ（ｔ）Ａ（ｔ）］ ’、‘ ）］孚（１、 ０） Ａ＝ ，。＝ ｌ（Ｐ ｔ Ａ ｔ （）Ｊ－ … ， ６＝（寿） Ｉ 一 Ｉ ‘ ［Ｐ（ｔ）Ａ（ｔ）］ ‘ ’ ［叼‘口－ｙ）／＂ｌｆＯＭ８ （ ）６ （￡）］ ‘ ’ 将其代入引理３中的不等式，得 ｌＰ （）ｔ— Ａ （ｔ ）ｌ ㈩一、 ［Ｐ（ｔ）Ａ（ｔ）］ 引 ≤ 、 ：ｉ ± ！： ：： ： （ ２ （ ２ ｌ （ ） ｂ（ ）ｌ “ 矿 ［卢 啪 （ｔ）８ （ｔ）］ ｌ Ｐ（ｔ） Ａ（ ）ｌ 将上式代入（１Ｏ）式，得 ）＋ 。 Ｌ ０ Ｏ Ｊ ＩＩ Ｐ（ｔ） 一 Ａ（ｔ）ｌ ｌ” 上式两边得分，即得 ｓ 一 。 ｌ一 ｎ 咿） ） （１１） 这就与（３）式产生了矛盾。 情形（ｉｉ）当ｙ＞卢时，由（９）式，得 ）≤ ）一 ）＿ｐ（ ㈤一 ［ （）］‘ｔ ７叩 ［（Ｐ ｔ）Ａ （ ）］ ／ｐ’ ） 由引理４知， 一 （ｔ）＞０，ｚ （ｔ）≤０，故存在常数 叼＞０，使得当ｔ≥ＴＯｅ，ｚ‘ （ ）≤卵。于是由上式， 得 ）≤ ）一粉 ）＿ｐ（ （ｆ）一 ‘ ＿卢’／卢［（Ｐ ｔ） Ａ ｔ（）］ ’ ㈩警 即 ㈩＋［ 一 ］ ㈤一 ㈣ Ａ＝ ，口＝ 器 ，， ６＝（南） 一 ｌ 将兵代人引理３中的不等式，得 Ｊ一 一 。 ≤ Ｉ 一 ｒ 将上式代入（１２）式，得 Ｐ（ｔ） （ｔ）≤一Ｖ （ｔ）＋ 丑：：！［ （ ） （ ２］ ： ｌ （ ） ６（ｔ）ｌ “ （ ＋１） ［ＯＭ８ （ｆ） （ｔ）］ ｌ Ｐ（ｔ） Ａ（ｔ）ｌ 两边得分，可得 中山大学学报（自然科学版） 第５４卷 Ｉ 一 ｒ ） ） ） ㈩＋ ｚ㈩ 这就与（４）式产生了矛盾。定理证毕。 注１ 由定理１的条件（３），（４）式知，当 ＞／３时和ｙ＜／３时方程（１）的振荡准则是不一 样的；当ｙ＝／３时，若取Ｐ（ｔ）＝０， “）＝ｕ，则可 得方程（２）的振荡准则，这就是文献［５］中的 定理２；同时，当 ＝／３，Ｐ（ｔ）兰０时的结果也为文 献［６］中定理１当Ｒｊ（ｔ） ０时的结果。其它相 关结果可参看文献［８－２０］及其参考文献。若定理 １中的条件（３）式或（４）式不满足，我们就有 下面的振荡准则。 定理２若ｙ≤ ，且存在函数ｐ（ｔ）∈Ｃ （［ 。， ＋ｏｏ），（０，＋∞））， １（ｔ）， ２（ｔ）∈Ｌ （［ｔ０，＋∞）， Ｒ）使得对任意的“≥Ｔ，有 ｌｉｍｓｕｐｌ ｐ（ｓ） （ｓ）ｄｓ≥ （ｕ） （１３） ｐ』 Ｉ 一 １ Ⅱ （１４） 并且函数 和 满足 ｆ』 ‘ ［ （ｓ）一 ：（ｓ）］ ” ｄｓ：＋。。 （１５） 其中Ｔ≥ｔｏ ＝ ＞０为某常数， ［ 。（ｓ）一鳝：（ｓ）］＋＝ｍａｘ｛［ （ｓ）一 ：（ｓ）］，０｝，函 数中（ｓ）定义如定理１，则方程（１）是振荡的。 证明设方程（１）存在非振荡解 （ｔ），不失 ——般性，设 （ ）＞０， （ｒ（ｔ））＞０， （ （ｔ））＞０， ￡≥Ｔ≥￡。。定义函数 （￡）如（８）式，则由定理１ 的证明可得（１０）式和（１１）式。于是由（１１） 式，当ｔ≥Ｍ≥Ｔ≥ｔ０时，有 ’ ｌＩ Ｐ—（ｓ） （Ａ ｎ ｓ）ｌ Ｊ ‘ 、 ） 上式意味着 ｌｉ｝ｍｓ— ＋∞ ｕｐ Ｊ ＪＪＤ（ｓ） （ｓ）ｄｓ≤Ｖ（ｕ）＋ ・ Ｉ一 注意到（１３）、（１４）式，由上式进一步可得 （７２） 。（ｕ）一 ２（“）≤Ｖ（ｕ），／Ｚ≥Ｔ≥ｔ０（１６） 同时，对（１Ｏ）式两边积分，可得 ｆ｛【 ［Ｐ（ｓ）ａ（ｓ）］ ［ ）］ 一 ｌ 一粉 ） 咿 ｆ Ｐ㈤ 由上式进一步可得 ｔ 一 ｌ 一 ≤ ， ｃ （１７） 式中Ｃ。为某常数。至此，我们能断言 ｆ『 ㈣］ ＜＋ ８） 若不然，则存在序列｛Ｔｎ｝： ： ∈［ ，＋∞）， ｌｉａｒ ＝＋∞，使得 ｎ ＋∞ 『． ㈣ …∞ 综合上式和（１７）式，可知 一 ～（１９） 因此，对充分大的正整数ｎ，有 ｛ｆｎ ［Ｐ（ｓ）Ａ（ｓ）］ 一 一 』１ ｌ（Ｐ—ｓ） （Ａ ｓ）ｌ一 ｙ－是，对充分大的正整数ｎ及 ∈（０，１），由上式， 进一步有 ＝』！ ： ！ 一… ｆ ［ｐ（ｓ）Ａ尝 （ ）］ 一 另一方面，应用引理５，可得 Ｉ 一 ７．１｛【 ［ ｐ（ｓ）Ａ（ｓ ）］ ／ ’ ｓ）］ Ｊ 第４期 杨甲山等：具阻尼项的高阶Ｅｍｄｅｎ－Ｆｏｗｌｅｒ型泛函微分方程的振荡性 ６７ ［叼‘脚 ／ｖ３／０Ｍ］－ １ ：１８ （ｓ）６ （ｓ）］青 ：ｌ 二塑：ｉ ［７７‘口－７）／ ］寿 ｆ【 ＂ｉｆｔＩ（３／－７ｒ）［Ｐ（ｓ）ａ（ｓ）］／ｖ３／０ＭＳ ｎ－２（ｓ ）８＇（ｓ）＿［ （ ）］孚ｄ ． ， ， ’ Ｊ ｛ 一ｄ 于是，由上式并利用（２０）式，得 一 出＜ 圳 一 ｄｓ ｛【．１ｆ ［Ｐ（ｓ）ａ（ｓ）］ ’ 圳 ｄ…Ｊ １ ［７７ ７３／０Ｍ］ ［ （ｓ） （ｓ） ）一Ｉ ｐ（ｓ一 （ ） Ｉ利用（１４）式，知上式右边是有界的，这就与 （１９）式产生了矛盾！所以（１８）式成立。 因此，由（１８）式（注意到（１６）式），可得 ｆ』 ㈤ ㈤ ≤ ㈣］ ＜＋∞ 这就与（１５）式产生了矛盾！定理证毕。 结合定理１的第二种情形，利用与定理２完全 类似的方法可得： 定理３若 ＞１３，且存在函数Ｐ（ｔ）∈Ｃ （［ｔ。， ＋∞），（ｏ，＋∞））， １（ｔ）， ２（ｔ）∈Ｌ （［ｔ０，＋∞）， Ｒ）使得对任意的Ｕ≥Ｔ，有 １ｉｆｍｌ ｕｐ Ｊｐ（ ） （ ）ｄｓ≥ １（ ）， ＋＋∞ Ｊ 旆・ ｛ ｆＰ（ｓ） Ａ一 （ｓ）Ｉ ～ ≤ ：（ ） 并且函数 和 ：满足 一 ・ ［ ｌ（ ）一 （ｓ）］＋（１３ 佃ｄｓ＝＋∞ 其中Ｔ≥ｔ ， ＞０为某常数，『 （ｓ）一硭，（Ｓ）］．： ｍａｘ｛ｌ －（ｓ）一 ｚ（ｓ）Ｊ，０｝，函数 （ｓ）定义如定理 １，则方程（１）是振荡的。 注２若方程（１）中 ＝ ，Ｐ（ｔ） ０， Ｕ） ： ，则由定理２得到了当文献［５］中定理２的条 件（Ｃ。）不成立时方程（２）的振荡准则。 例１考虑如下４阶泛函微分方程 ［ Ｉ （ ） ）］ ＋ 『 （￡）Ｊ （ ）＋ ÷）Ｉ （÷））＝ ≥ｌ 这里 （￡）＝ （ ）＋ （ （ ｔ）），ｇ（ｕ）： ｉ ， Ｈ）＝ ［２ ＋Ｉｎ （１＋ 。）］。 这是方程（１）的特殊情形：ｎ＝４，ｔ。＝１， ＝２，卢＝—５ Ａ（ｆ）： ，６（ｆ）：￡一手，，７－（ ）： （ ） ＝÷，Ｐ（ ）： １，Ｑ（ ）＝了１。则 ＜１３，且 ：／Ｚ ２ ２＋１ｎ （１＋“ ）≥２ｓ ： （“≠０）， 星 ：— 二＝￣／１＋ＣＯＳ二 （“＋３）二＝ ≤１： （ 一 ≠０），～ ［ 唧（一 训 ｝【ｅｘｐ（一 ｓ一 ｄｓ）］ ｄＭ＝ ｅ一｝』ｕ一｝ｅｘｐ（｝ｕ一 ）ｄ“≥ ｅ—ｆ ｕ－＋（・＋÷ ）ｄ 一＋∞（ 一＋ｏ。） 显然杀仟（Ｈ－）一（Ｈｓ）是满足的。于是由定理１ （取ｐ（ｔ）＝１），得 ｓ 一 ‘ ＪＪ（ Ｐ—ｓ） （Ａ ｒｓ） Ｉ 厂 护一 ２２３－３ｓｌ／再２【Ｓ －５／２＇）。 『｛÷一 ２…１ｏ－３｛Ｉ ｓ ｔ＿１５一＋∞（＿” 一＋∞ —一 ，…３２……， 因此定理１的条件全部满足，于是由定理１知此时 方程是振荡的。但文献［６．１８］中的定理均不能用 于例１中的方；Ｉ旱 中山大学学报（自然科学版） 第５４卷 参考文献： ［１］ ＫＡＭＥＮＥＶ Ｉ Ｖ．Ａｎ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｃｉｒｔｅｒｉｏｎ ｆｏｒ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ［Ｊ］．Ｍａｔｈ Ｚａｍｅｔｋｉ，１９７８，２３：２４９－２５１． ［２］ＬＩ Ｈ Ｊ，ＹＥＨ Ｃ Ｃ．Ａｎ ｉｎｔｅｇｒｌａ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ ｏｆｒ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｌａ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｍａｔｈ Ｊａｐｏｎｉｃａ， １９９５，４１：１８５－１８８． 『３］ＰＨＩＬＯＳ ＣＨ Ｇ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｆｏｒ ｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ［Ｊ］．Ａｒｃｈ Ｍａｔｈ，１９８９，５３： ４８２．４９２． ［４］ ＷＡＮＧ Ｑ Ｒ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃｓ ｏｆｒ ｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒ ｈａｌｆ－ｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌ Ｍａｔｈ Ｃｏｍ— ｐｕｔ，２００１，１２２：２５３—２６６． ［５］ 张全信，俞元洪．偶阶半线性阻尼泛函微分方程的振 动性［Ｊ］．应用数学学报，２０１０，３３（４）：６０１—６１０． ［６］ 杨甲山．具正负系数和阻尼项的高阶微分方程的振动 定理［Ｊ］．中山大学学报：自然科学版，２０１２，５１（１）： ３０—３４． ［７］ ＡＧＡＲＷＡＬ Ｒ Ｐ，ＢＯＨＮＥＲ Ｍ，ＬＩ Ｗ Ｔ．Ｎｏｎｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ：Ｔｈｅｏｒｙ ｆｏｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌａ ｅｑｕａ・ ｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｍａｒｃｅｌ Ｄｅｋｋｅｒ，２００４． ［８］ｕ ｗ Ｔ，ＺＨＯＮＧ Ｃ Ｋ，ＦＡＮ Ｘ Ｌ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｃｒｉｔｅｒｉａ ｆｏｒ ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ ｈａｌｆ－ｌｉｎｅａｒ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌａ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｄａｍｐｉｎｇ［Ｊ］．Ｒｏｃｋｙ Ｍｏｕｎｔａｉｎ Ｊ Ｍａｔｈ，２００３，３３ （１）：１—２６． 『９］ ＹＡＮＧ Ｘ Ｊ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｃｉｒｔｅｒｉａ ｏｆｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌａ ｅ— ｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｄａｍｐｉｎｇ［Ｊ］．Ａｐｐｌ Ｍａｔｈ Ｃｏｍｐｕｔ，２００３， １３６：５４９—５５７． ［１Ｏ］ ＷＡＮＧ Ｑ Ｒ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｃｒｉｔｅｒｉａ ｏｆｒ ｅｖｅｎ ｏｒｄｅｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄａｍｐｅｄ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｌａ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ａｃｔａ Ｍａｔｈ Ｈｕｎｇａｒ， ２００２，９５：１６９—１７８． ［１１］ ｗｕ Ｈ Ｗ，ＷＡＮＧ Ｑ Ｒ，ＸＵ Ｙ Ｔ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｃｉｒｔｅｒｉａ ｏｆｒ ｃｅｒｔａｉｎ ｅｖｅｎ ｏｒｄｅｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌａ ｅｑｕａ． ｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｄｙｎａｍｉｃ Ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００４， １３：１２９—１４４． ［１２］ ＺＨＡＮＧ Ｑ Ｘ，ＹＡＮ Ｊ Ｒ，ＧＡＯ Ｌ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｅｖｅｎ—ｏｒｄｅｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｎｅｕｔｒａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｖａｒｉａｂｌｅ ｃｏｅｍｃｉｅｎｔｓ『Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ ａｎｄ Ｍａｔｈｅ． ｍａｔｉｃｓ ｗｉｔｈ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１０，５９：４２６—４３０． ［１３］ ｕ Ｔ Ｘ，ＨＡＮ Ｚ Ｌ，ＺＨＡＮＧ Ｃ Ｈ，ｅｔ １ａ．Ｏｎ ｔｈｅ ｏｓｃｉｌｌａ－ ｔｉｏｎ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ．．ｏｒｄｅｒ Ｅｍｄｅｎ．．Ｆｏｗｌｅｒ ｎｅｕｔｒａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅ．． ｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｊ Ａｐｐｌ Ｍａｔｈ Ｃｏｍｐｕｔ，２０１１，３７：６０１— ６１０． ［１４］ＸＩＮＧ Ｇ Ｊ，ＬＩ Ｔ Ｘ，ＺＨＡＮＧ Ｃ Ｈ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｈｉｇｈｅｒ— ｏｒｄｅｒ ｑｕａｓｉ—ｌｉｎｅａｒ ｎｅｕｔｒｌａ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］． Ａｄｖａｎｃｅｓ ｉｎ Ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，２０１１，２０１１：４５． ［１５］杨甲山，张晓建．具正负系数的二阶阻尼微分方程的 振动性［Ｊ］．高校应用数学学报，２０１１，２６（４）：３９９ —４０６． ［１６］ 张全信，高丽，俞元洪．偶阶半线性中立型分布时滞 微分方程的振动性［Ｊ］．应用数学学报，２０１１，３４ （５）：８９５—９０５． ［１７］ 钟记超，欧阳自根，邹树梁．一类带有阻尼项的二阶 半线性中立型微分方程解的振动准则［Ｊ］．应用数学 学报，２０１２，３５（６）：９７２—９８３． ［１８］ 罗李平，俞元洪．三阶半线性中立型微分方程的振 动结果［Ｊ］．系统科学与数学，２０１２，３２（５）：５７１— ５７９． ［１９］ 曾云辉，俞元洪．三阶半线性时滞微分方程的振动定 理［Ｊ］．系统科学与数学，２０１４，３４（２）：２３１—２３７． ［２Ｏ］ 杨甲山．具阻尼项的高阶中立型泛函微分方程的振 荡性［Ｊ］．中山大学学报：自然科学版，２０１４，５３ （３）：６７—７２． ［２１］ ＷＡＮＧ Ｑ Ｒ．Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｃｒｉｔｅｒｉａ ｒｅｌａｔｅｄ ｔｏ ｉｎｔｅｇｒｌａ ａｖｅｒ－ ａｇｉｎｇ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｆｏｒ ｌｉｎｅａｒ ｍａｔｒｉｘ Ｈａｍｉｈｏｎｉａｎ ｓｙｓｔｅｍｓ ［Ｊ］．Ｊ Ｍａｔｈ Ａｎａｌ Ａｐｐｌ，２００４，２９５（１）：４０—５４．