维普资讯 http://www.cqvip.com ２００７年３月 第３Ｏ卷第２期 四川师范大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｉｅｈｕａｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ｍａｒ．，２００７ Ｖ０１．３Ｏ．Ｎｏ，２ 非光滑区域上２Ｄ—Ｎａｖｉｅｒ．Ｓｔｏｋｅｓ方程的全局吸引子 韩天勇 ， 李树勇 （１．成都大学信息科学与技术学院，四川成都６１０１０６；２ 四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都６１００６６）摘要：研究了含分布时滞的非齐次２Ｄ－Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程在非光滑区域上的全局吸引子存在性问题．利用 Ｐｏｉｎｅａｒｅ不等式、Ｓｏｂｏｌｅｖ嵌入定理、能量不等式和一致Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式等技巧，证明了解半群的渐近紧性． 关键词：２Ｄ—Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程；非光滑区域；时滞；全局吸引子 中图分类号：０１６４ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００１—８３９５（２００７）０２－０１９８－０６ ０引言 很多自然现象需要借助时滞微分方程来描述， 生态模型中物种间的共存、竞争关系的刻画是（滞后 型）时滞微分方程最著名的例子．正因为时滞微分方 程能更好地描述系统的运动状态，因而有着广泛地 集的有界性不能保证，区域不光滑，会使得系统解 不具有 光滑性，因而给判定其渐近行为带来困 难．为此本文在对时滞外力项作了一定合理限制的 基础上，首先对非齐次系统进行齐次化，给出了弱 解的存在性，从而定义了解半群．为证明全局吸引 应用，如应用在粘弹性力学、刚体力学、相对动力学、 电磁学、神经系统、生物学、医学、金融投资、经济控 子的存在性，证明了系统的解半群在两个有紧嵌人 关系的Ｂａｎａｃｈｅ空间中具有有界吸收集，最后得到 了解半群的渐近紧性． 制、河流污染控制、燃烧理论等众多领域 ． 本文研究的Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程是用来刻画液 体或气体运动的数学物理方程，甚至可以作为描述 海洋的冷暖流运动，大气运动的数学模型＿】 ． Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程是通过动量守恒定律，质量守恒 １假设和准备 我们考虑如下的２Ｄ—Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程 ２ ～ △“＋ ＝／一 ｐ＋ Ｇ 定律和相应的边界条件建立的．众所周知，研究数 学物理方程的长时行为，一种有效的手段是研究其 动力系统 ． 在光滑区域内的齐次Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程的研 究，已经取得了很好的结果．Ｔ．Ｃａｒａｂａｌｌｏ和Ｊ．Ｒｅａｌ “（ｔ＋５））ｄｓ， （ｔ， ）∈（ ，＋∞）×力， ｄｉｖｕ＝０， （ｔ， ）∈（ ，＋∞）×力， ＝ ， （１） ・凡＝０， （ｔ， ）∈（ ，＋∞）×ａ ， ∈力， （ ， ）＝ ０（戈）， 在文［１］中分析了含时滞偏微分方程在齐次边界条 件下的一些性质和含时滞方程的渐近行为．文［２］ 研究了一类含时滞的２Ｄ—Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｓ方程在非齐 次边界条件下全局吸引子的存在性．文［３］研究了 在非齐次边界条件下Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程的吸引子 ２／（ｔ， ）＝ （￡一 ， ），（ｔ， ）∈（ —ｈ， ）×力， 其中力是 中的Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ区域， ＞０是运动粘性 系数，“是液体的运动速度，Ｐ表示压力， ∈Ｒ是运 动的初始时间，‰是初始速度，ｎ表示区域边界的外 法向量；其中 是边界上的运动速度，且满足 ∈ 的存在性．文［８］研究了在非光滑区域内不含时滞 的Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程的吸引子的存在性．而对于非 光滑区域内含时滞的Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程在非齐次 Ｌ （ａ ） 是不含时滞的外力，而』Ｇ（ ，“（ｔ＋ Ｊ—ｈ ））ｄ 是分布时滞形式的另一个外力项， 是在 （一ｈ，０）内的初始状态，其中ｈ是正常数． 首先用文［５］的方法构造ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ流函数 并满足 边界条件下的吸引子的存在性，却少有结果．这是 由于存在时滞会使得方程解的存在唯一性和吸收 收稿日期：２００５－０９—２６ ，基金项目：四川省应用基础研究基金资助项目 作者简介：韩天勇（１９７６一），男，讲师 维普资讯 http://www.cqvip.com 第２期 ｄｉｖ￣Ｏ＝０， ∈ ； 韩天勇等：非光滑区域上２Ｄ．Ｎａｖｉｅｒ．Ｓｔｏｋｅｓ方程的全局吸引子 ＝ ， ∈ａ．Ｏ； 对Ｖ １１，∈Ｈ， ，Ｗ∈Ｖ，贝０ ｂ（１１，， ，Ｗ）＝一ｂ（１１，，Ｗ， ｌｌ ｌｌ Ｌ （ｎ）≤Ｃｌ ｌｌ ｌ ｌＬ （ｍ）． Ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ流函数 有如下的性质 ｌ ｌＩ Ｉｄｉｓｔ（・， ） （ ≤ （２） （３） ），特别地， ｂ（１１，， ， ）＝一ｂ（１１，， ， ）＝０， ｂ（ ， ，Ａｖ）＝０， Ｖ ∈ ； ｌｂ（“， ，Ｗ）ｌ≤ｃ１ ｌ ｌ ｌ Ａ ｌ Ｖ １１，∈Ｄ（Ａ）， ｃ２ ｌ ｌｌ ｍ），２≤Ｐ＜。。．ｊ △ ＝ （ｇｙ ）＋ ． ｌ ｌｌ Ｗ ｌ， ∈Ｖ， Ｗ∈Ｈ 其中ｓｕｐｐＦ ｃ｛ ∈ ：Ｃ３占≤ｄｉｓｔ（ ，ａ．Ｏ）≤Ｃ４８｝，且 对于每个ｔ∈（下， ），当Ｔ＞下时，１１，：（下一ｈ，Ｔ）一 ＩＩ Ｉ Ｉ（ｎ）≤ Ｃ５ ＩＩ ＩＩ ｍ； ｇ＝△“；占∈（０， ｃ６ｄｉａｍ（／２）），ｙ ∈Ｃｏ（Ｒ ），ｓ．ｔ．０≤ｙ ≤１，并且 ｉｒ１，ｄｉｓｔ（ ，ａ力）≤Ｃ３ ， ０，ｄｉｓｔ（ ｇ／）≥ｃ 占， 且满足Ｉ ａｙ ｌ≤鲁．占 令 ： 一 ，则 詈一 ＋（ ） ＋（ 。 ） ＋（ 。 ） ＋ Ｖ（ｐ＋ ）＝ｆ＋ 一（ ・ ） ＋ （ ）， （ｔ， ）∈（下，＋。。）Ｘ ， （４） ｄｉｖｖ＝０， （ｔ， ）∈（下，＋。。）Ｘ力， ＝０， （ｔ， ）∈（下，＋。。）Ｘ ａ ， （７－， ）＝％（ ）， ∈力， ｖ（ｔ， ）＝西（￡一下， ）一 （ ） （ｔ一下， ）， （ｔ， ）∈（下一ｈ，下）Ｘ ， 其中ｇ （ ）＝Ｉ Ｇ（ｓ， （￡＋ｓ）＋ ）ｄｓ． 记Ｓ＝｛“∈（ （ ）） ：ｄｉｖｕ＝０｝；日为Ｓ在 （ （ ）） 内的闭包； 为Ｓ在（或（ ）） 内的闭包； １．１ 为 （ ）范数；ｌｌ・ｌｌ为Ｖ内的范数；（）表示 日内的内积；（ ）表示 中的内积；用 表示 的 对偶空间，相应的范数记为ｌｌ・ＩＩ。，那么有关系 ｃ Ｈ；Ｈ Ｖ ．记ＣⅣ＝ｃｏ（［一ｈ，０］；日），Ｃｙ＝ ｃｏ（［一ｈ，０］；Ｖ），他们的范数记为 １ ８ 。】０“（ ＋ ０， ｌ ｃ 。】 ＋ ）ｌＩ． 记Ａ为Ｓｔｏｋｅｓ算子，即Ａｖ＝一Ａｖ，又记 （“， ）＝ （“ ） ：ｆｏｉ 差 －特别地， （“）＝ （“， “）；又记Ｄ（Ａ）＝｛“∈Ｖ，Ａｕ∈Ｈ｝．在Ｖ Ｘ Ｖ Ｘ Ｖ上 定义三线性映射ｂ： ｂ（“， ，Ｗ）＝（ （“， ），Ｗ）＝ 厶 出，Ｖ ，一 关于ｂ有以下一些常用的性质 ： （ （ ）） ．同时用Ｐ表示（ （ ）） 在日上的正交 投影算子，用１１， 表示在（一ｈ，０）上的函数，并且有关 系：１１， （ｓ）＝１１，（ｔ＋ｓ），ｓ∈（一ｈ，０），并且记 ＝ （一ｈ，０；Ｈ）， ＝Ｌ （一ｈ，０；Ｖ）． 设 。∈Ｈ，叼∈ ，可以把（１）式化成如下的等 价形式 ＋以 ＋ ）＋ ， ）＋ （ ） Ｐ（ｆ＋ｕＦ）一Ｂ（ ）＋ｇ （ ）， （下） ＝ ０， （ｔ）＝叼（ｔ一下），ｔ∈（下一ｈ，下）． 需要指出的是，下面关于 的事实在后面的证明中 起到重要的作用． Ｊ ｔ （ ）Ｊ＋Ｊ ｔ （ ）Ｊ ｄｉｓｔ（ ，ｏｒ２）≤ Ｃ ｌｌ ｌ ｌｍ）， （６） 拱 －Ｖｖ㈤ ， Ｖ ∈珑（ ）． （７） 假设方程（１）第一式中的Ｇ满足： （ａ）Ｇ：［一 ，０］Ｘ Ｒ 一Ｒ ，并且可测； （ｂ）Ｇ（ｓ，０）＝０，ｓ∈［一ｈ，０］； （ｃ） ｙ∈ （一ｈ，０），使得ｌ Ｃ（ｓ，“）一Ｃ（ｓ， ）ｌ Ｒ２ ≤ （ｓ）ｌ“一 ｌ ：．由以上条件（ａ）一（ｂ），结合文［１］ 有以下结论：若 ，叼∈Ｃ ，有 ０’ （ ）一ｇ （叼）ｌ ≤Ｉ（Ｉ ｌ Ｇ（ｓ， （ｓ）＋ －／．０ Ｊ—ｈ ）（ ）一Ｇ（ｓ，叼（ｓ）＋ ）（ ）Ｉ ：ｄｓ） ｄ ≤ 一叼ｌｌ ， 其中，Ｌ ＝ｈ ｌ ｌｙ ｌ ｌ（－＾１。）． 若“， ∈Ｃ。（［一ｈ，Ｔ］；日），那么，对于每个ｔ＞ ０，ｍ０≥０，ｍ∈［０，ｍ０］，都有 Ｉ ｅ ｌ ｇ （“ ）一ｇ （ ）ｌ ｄ下≤ ｌ ｌｙ ｌ ｌ２（ ０）ｆＪ ０ Ｊｅ （ｆ．１“（＾ ｓ＋下）一 （ｓ＋ 下））ｌ ｄｓ）ｄ下≤Ｃ：ｌ ｅ ｌ“（ｒ）一 （ｒ）ｌ ｄｒ． 维普资讯 http://www.cqvip.com 四川师范大学学报（自然科学版） ３Ｏ卷 其中Ｃ：＝ｌ ｌｙ ｌ ｌ２Ｌ２（ ｏ）ｈｅ ． （ｄ）并且系数满足： ＞３Ｃｇ．这里Ａ 是 的 最小特征值． 定义１ 称｛Ｓ（ｔ）｝ 是渐近紧的，如果 内 的有界序列｛ ｝在ｔ 一。。时，｛Ｓ（ｔ ） ｝ 在 内是 相对紧的． 引理１ 设 是一个完备的度量空间， ｛Ｓ（ｔ）｝ 是 内的连续半群．若｛Ｓ（ｔ）｝ 在 内 有一个有界吸收集，并且｛Ｓ（ｔ）｝ 在Ｅ内渐近紧， 那么｛Ｓ（ｔ）｝ 在 内有一个全局吸引子．更进一 步，若ｆ： ｓ（ｔ）ｕ。是从Ｒ 到 内的连续映射，且有 界吸收集在 内连通，那么这个全局吸引子也在 内连通． 引理２ 设Ｘ＝ ，Ｖ或 ，那么ｌｌ Ｐｕ ｌ ｌ≤ ｌ ｌＵ ，且Ｐｕ—Ｕ于 ． ２解半群的确定 定理１设ｆ∈Ｌ （力），当 。∈Ｈ时，系统（２） 存在唯一函数 （ｔ），满足 （ｔ）∈Ｌ （０，Ｔ；Ｈ）ｎ Ｌ２（０，Ｔ； ），并且 在Ｌ （０，Ｔ； ）内一致有界． Ｕ‘ 采用文［Ｉ］中的Ｆａｅｄｏ．Ｇａｌｅｒｋｉｎ方法很容易地 证明定理（参见文［２］）． 定义２ 对ｎ０∈日 ∈Ｈ， ∈Ｌ （ａ ），并在 ａ 上 ・凡＝０，称Ｕ是下式的弱解 一 △ｕ＋（ｕ’ ）ｕ＝厂一 ｐ＋ ，０ ｆ Ｇ（ｓ，ｕ（ｆ＋ｓ））ｄｓ，（ ，ｔ）∈ ×（０， ， ｄｉｖｕ＝０， （ ，ｔ）∈ Ｘ（０，Ｔ）， Ｕ＝ ， ∈ａ ， （８） Ｕ（‘，０）＝Ｕ０（ ）， ∈ ， ｕ（ｔ， ）＝ （ｆ一丁， ），（ｘ，ｔ）∈ Ｘ（丁一 ，丁）． 如果以下条件成立： （Ｉ）Ｕ∈（［一ｈ，Ｔ］； ），Ｕ（・，０）＝Ｕｏ，ｄｕ／ｄｔ∈ （（０， ）； ）； （２）ＶＷ∈ｃｏ（ ），ｄｉｖｗ＝０，并且 告 ｕ，６ｗ）一 。 ２ ＝ ，Ｗ）＋（１ Ｇ（ｓ，ｕ（ｆ＋ｓ））ｄｓ，Ｗ）； （３）存在函数 ∈Ｃ （ ）ｎ Ｌ （ ），ｑ∈ Ｃ （ ），ｈ∈Ｌ （ ）使得 △ ＝△ｑ＋ｈ， ｄｌＶ ＝０， ∈』２， ＝ ， ∈ａ 类似的可以定义方程（１）的弱解． 定理２在定理Ｉ的假设下，问题（Ｉ）存在唯 一弱解ｕ（ｘ，ｔ），ｔ＞丁一ｈ． 证明 先证唯一性．设Ｕ ，Ｕ 是问题（１）的对 应于 ， 的两个解．对Ｖ Ｗ∈ｃｏ（ ），ｄｉｖｗ＝０， 由条件（２）可得 苦（ｕ 一 ）一 （ｕ 一 Ａｗ＞＋ ２ Ｕｉ Ｏ￣Ｗａ巧ｄｘ＝（』：［Ｇ（ｓ，ｕ （ｔ＋ｓ））一 Ｇ（ｓ，Ｕ２（ｔ＋ｓ）］ｄｓ，Ｗ）， （９） 则（９）式对任意Ｗ∈Ｖ都成立．事实上，由（３）式知 １一 ２∈Ｖ，ｕ１一Ｕ２＝（Ｕ１一 １）一 （ｕ２一 ２）＋（ 一 ２）∈Ｌ２（０， ； ）， 因此（Ｕ 一Ｕ ，Ａｗ）＝一（Ｕ 一Ｕ ，Ｗ）．又对任意的ｌ ＝１，２，有 （ｆＩ ｕ Ｉ ）－／Ｄ ≤（ｆＩＪｎ ｕ 一 Ｉ ） ＋ （ｆ／／２ Ｉ Ｉ ） ／４≤ｃ（ｆＪｎ Ｉ （ｕ 一 ）Ｉ ） ／４× －（『Ｊｎ＾Ｉ ｕ 一 ） ＋（『Ｊｎ＾Ｉ ）１／４． 因此 （ ×（丁， ）），Ｉ ２＇ＯＷｉ。ｄｘ Ｉ≤ 鸭ｃ（ｆＩ ｕ Ｉ ） （ｆ Ｉ Ｉ ） ．故当 ∈ 时， ｄ－／／２ －／／２ Ｑ‘ （ｕ 一Ｕ２）∈Ｌ （７．， ； ）． 在（９）式中取Ｗ＝Ｕ 一Ｕ ，得 Ｉ ｄ 一ｕ Ｉ ＋ 一 ≤ Ｉ厶（ 一ｕ： ） Ｉ＋（ｙ（ｓ）（ ） ， ）． 注意到 Ｉ ） －ｌ ≤ （ Ｉ ｕ Ｉ ） （ Ｉ Ｉ ） （ Ｉ Ｉ ） ≤ ｌ ｌ＋ １ Ｉ ｌｌ ｕ Ｉ ２． 由假设（ｃ）以及ｙ（ｓ）（ 一ｕ２），Ｗ）＝ｙ（ｓ）Ｉ Ｗ Ｉ ， 所以， １ ｄ Ｉ Ｉ ≤ １ Ｉ ｕ１ Ｉ；＋ｙ（ｓ）Ｉ Ｗ Ｉ２．由 于Ｕｆ∈Ｌ４（ Ｘ（丁， ） （０）＝０，故Ｗ兰０．唯一 维普资讯 http://www.cqvip.com 第２期 韩天勇等：非光滑区域上２Ｄ．Ｎａｖｉｅｒ．Ｓｔｏｋｅｓ方程的全局吸引子 性得证，存在性可由定理１得到 Ｉ（Ｐ（ｆ＋ ’）， ）Ｉ≤Ｉ 。， ）Ｉ＋ Ｉ（Ｆ， ）Ｉ≤ Ｉ ｆＩ Ｉ Ｉ＋ ｆ 。３ ≤ｄｉｓｔ（ ，扪）≤。４ ３吸收集和全局吸引子 由定理１，定理２知，问题（１）的解存在唯一，因此 可以定义解半群Ｓ（ｔ）＝Ｓ（ｔ）（Ｖｏ，叼）＝ （・；（Ｖｏ，叼））， 叼∈Ｃ ．但由于区域 是Ｌｉｐｓｃｈｔｉｚ区域，系统的解不具 Ｉ Ｆ Ｉ Ｉ Ｉ ｄｘ≤ ｌｌ ｌｌ（Ａ Ｉ ｆｌ＋Ｃ４Ｃ５ｃ８１／２ 一 ｌｌ ｌｌ （ｍ））．（１６） 类似地可得 Ｉ ６（ ， ， ）Ｉ≤ｃ７２ｃ８ ｌ ｌｌｌ￡２ （扪）Ｘ Ｉ ａ Ｉ 有 光滑性，即不能保证 ∈ （（０，Ｔ）；Ｄ（Ａ ）），而 ｌｌ ｖ ， （１７） 只存在有限的Ｉ ＡＶ４ｖ（ｔ）Ｉ估计，因此在本节的主要目 的是证明 ∈￡ （（０，Ｔ）；Ｄ（Ａ ））． 首先定义Ｓｔｏｋｅｓ算子的幂 Ａ ＝∑ ｔ ，ｚ∈ｃ√∈Ｒ，ｆ＝∑ ｔ ， Ｄ（Ａ ）＝｛ｆ：ａ￣ｆ∈Ｈ｝＝ ｛厂＝∑ ｔ ：∑Ａ Ｒｅ弓０ Ｉ ＜∞｝． 那么Ａ 具有以下的一些重要性质 ］： 。 ｄｘ， Ｖ ｕ∈Ｄ（Ａ ）， （１０） Ｉｕ Ｉ ４≤Ｃｌ０ Ｉ Ａ ／４ Ｉ， Ｖ ｕ∈Ｄ（Ａ ／４），（１ １） ｌ Ａ ＋ｐｕ ｌ≥Ａ：／２ ｌ Ａｐｕ ｌ， Ｖ ｕ∈Ｄ（ＡⅣ 坤），Ｖｐ， （１２） ＩＩ ｕ ＩＩ ＝（Ａｕ，ｕ）＝Ｉ Ａ ｕ Ｉ， Ｖｕ∈Ｄ（Ａ ）． （１３） 定理３设ｔ≥０ ∈（Ｌ （ ）） ，且（ａ）一（ｄ）成 立，则Ｓ（ｔ）在ｃ 内存在有界吸收集． 证明 取有界集Ｄ ｃ Ｈ Ｘ￡ ，且（ 。，叼）∈Ｄ， 即存在ｄ＞０，使得 Ｉｌ ＋ Ｉ≤ｄ ． 对问题（８）第一式用 作内积可得 吉 ＋ ＩＩ ｖ ≤ ＋ ）Ｉ＋１ ， ， ）Ｉ＋Ｉ ｂ（ ， ， ）Ｉ＋Ｉ（ｇ （ ）， ）Ｉ．（１４） 对（１４）式右端逐项估计 Ｉ ｂ（ ， ， ）Ｉ≤Ｊ Ｉ Ｉ Ｉｌｌ Ｉ ｄｘ≤ ｃ， … 面 ≤ ｃ７ｃ８ Ｉ Ｉ￡ （扪）ＩＩ ＩＩ ． 取 ＝（ｃ７ｃ８）一ｍｉｎ（ ，ｄｉａｍ力），使得下式 成立 ６（ ， ， ）Ｉ≤－４ －Ｉ ＩＩ ． （１５） Ｉ（ｇ （ ）， ）Ｉ≤Ｉ ｇ （ ）Ｉ １ Ｉ≤ －１ １ ＋ ．（１８） 由以上（１５）一（１８）式，那么可得如下估计式 ＋（ — Ａ ）ＩＩ ＩＩ ≤ ２瑶＋ １ Ｉ （ ）Ｉ ２． （１９） ｇ 其中露＝ （Ａ Ｉｆｌ＋ｃ ｃｓｃ１ｓ／２ ＩＩ Ｉ Ｉ２ 扪）＋ ｃ；ｃ８ Ⅳ Ｉ ａ Ｉ ２（扪）） ． 由（１９）式可得： ≤２露＋ １ Ｉ （ ）Ｉ 一（ —ｃ Ａ ） ＩＩ ，选取适当的ｍ＞０，使得 一３Ｃ 一ｍ＞０，那么 Ｉ （￡）Ｉ ＋ 一３ＣＡＩ 一 ）ＩＩ （ｓ）ＩＩ ≤ 瑶＋ｃ；ｃ ＩＩ ＩＩ ２扪）］＋ ｅ－ａｔ［Ｃ 』．Ｉ叼＋ Ｉ ｄｓ＋Ｉ 。Ｉ ］． 因此可得ｌ （￡）Ｉ ≤ ，其中Ｋ＝￣－ｍＥｒ４＋ ｃ； ＩＩ Ｉ ｌ（ ］＋ｅ ［２ｃ； Ｉ ＩＩＩ （ ＋（１＋ ）ｃｆ２］．若取ｔ＞ ，０∈［一 ，０］时，有 Ｉ（￡＋ ）Ｉ ≤ 瑶＋ｃ；ｃ ＩＩ ＩＩ ２ ｍ）］＋ ｅ一。坩’［Ｃｇ ｆ．Ｉ叼＋ Ｉ ｄｓ＋Ｉ 。Ｉ ］≤ 瑶＋ｃ；ｃ ＩＩ Ｉ Ｉ２ 扪）］＋ ｅ ｅ一 ［２ｃ２７ ｃ ｌ ｌｌ ￡２ （ｍ）＋（１＋２ｈＣ ） ］． 从而Ｉ ＩＩ ２ ≤ ［露＋ｃ；ｃ ＩＩ ＩＩ ２ 扪）］＋ ｅ ｅ一 ［２ｃ￣ｈＣ ｌ ｌｌ ｌ￡２ （扪）＋（１＋２ｈＣ ） ］．可见， 若取ｐ ＝Ｋ。，则对Ｖ（ 。，叼）∈Ｄ ｃ Ｈ Ｘ￡ ，当ｔ≥ ｔ。时，Ｓ（ｔ）Ｄ ｃ Ｂ （０，Ｐ ）．其中Ｂ （０，Ｐ ）表示Ｃ 中以０为圆心，Ｐ 为半径的圆．这就证明了ｓ（ｔ）在 维普资讯 http://www.cqvip.com 四川师范大学学报（自然科学版） ３Ｏ卷 中有界吸收集的存在性． 定理４ 设ｔ≥０ ∈（Ｌ （／２）） ，且（ａ）一（ｄ） 成立．那么Ｓ（ｔ）满足ｓｕｐ Ｉ Ａ Ｘ／４ Ｉ≤ ． 证明 对ｔ＞０，由定理３的证明以及假设（Ｃ） 易得 Ｉ（ｔ＋１）Ｉ 一Ｉ （ｔ）Ｉ ＋（ Ａ１一Ｃ 一，ｎ）Ａ × Ｊ Ｉ Ｉ（ｓ）ＩＩ ｄｓ≤ 扁＋ｃ；ｃ Ｉ ＩＩＩ ２ ｍ）］＋ Ｊ （ 出≤ ［瑶＋ ２州 ］＋ Ｃｇ Ｊ Ｉ ＋ Ｉ ｄｓ＋Ｃｇ Ｊ。Ｉ ＋ Ｉ ｄｓ≤ ［瑶＋ ｌＪ ｌＪ ＊（ ］＋２ｃＡ； Ｊ ｌ Ｊｌ Ｊ＋ ２Ｃ （１＋ ）『 Ｉ『Ｉ ２ ｍ）＋（１＋２ｈＣｇ）ｄ ． 整理上式可得：ｆ ＩＩ ｖ（ｓ）ＩＩ ｄｓ≤ ，其中 ＝Ａ （ ＩＩ 一３ —ｍ）一 ［ ＋ ２ｃ； （１＋ｍ＋砌）（扪）＋ （１＋ ） ］．因此 ｆ Ｊ Ｊ ｄｓ≤ ， ｆ Ｉ Ａｌｉａ Ｉ ｄｓ≤０３， 这里０，＝Ａ ．用ＡＩ／２ 对（２）式作内积可得 号未 ≤ Ｉ６（ ， ，Ａ ）Ｉ＋Ｉ ６（ ， ，Ａ１／２ ）Ｉ＋ Ｉ ６（ ， ，ＡＩ／２ ）Ｉ＋ｌ ＋ Ｆ，Ａ ）Ｉ＋ Ｉ ６（ ， ，ＡＩ／２ ）Ｉ＋ｌ（ｇ （ ），Ａ Ｘ／２ ）Ｉ．（２０） 下面对（２０）式的右端逐项作估计 Ｉ ６（ ， ，Ａ ／２ ）Ｉ≤ｆ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ ＩＡＩ／２ ｌ ｄｘ≤ Ｉ Ｉ ４ Ｉ Ｉ２ Ｉ Ａ Ｉ ４≤ Ｃ１０ Ｉ Ｉ Ｉ ＩＩ≤ Ｉ ＋ ３Ｃ￣ｏ Ｉ Ａｌ／４ｕ Ｉ ｆ Ａ１／％ｆ ｚ． （２１） 由（２）一（３），（６）一（７），（１０）一（１３）式以及Ｃａｕｃｈｙ不 等式可以类似的得到如下估计 ｌ ６（ ，ｖ，Ａ ）Ｉ≤ｃ７ ｌ ＪｌＪ （ ）Ｊ Ａｉ／４ Ｊ Ｉ Ａ３／４ Ｊ≤ ｆ ｆ Ｊ ｃ＿ｚ ＩＩ ＩＩ ２ ｍ）ｆ Ａ （２２） Ｉ６（ ， ，Ａｍ ）Ｉ≤Ｃ７ｃ８ ＩＩ ＩＩ￡ （ Ｉ ＡＩ／４ Ｉ× ｌ Ａ３／４ｖ ｌ≤ ｌ Ａ３／４ｖ ｈ ＩＩ ２ ㈣× ｆ Ａ ｆ ｆ Ａ ｆ ２． （２３） （厂＋ｕＦ，Ａ ）Ｊ≤Ｊ Ａ ）Ｉ＋ Ｊ（Ｆ，Ａ ）Ｊ≤ 厂－－ ／２ Ｉ＋ｃ 占１ Ｊ Ｉ Ｆ－ ｄ １ｓｔ 【 ．叫 ）‘ ｄ ≤ Ｉ Ａ３／４ Ｉ（Ａ Ｉ ｆｌ＋ｃ ｃ１１８ Ｉ Ｆ Ｉ）≤ Ｉ Ａ３／４ Ｉ ＋ （Ａ Ｉｆｌ＋ Ｃ９１ ＣＩＩ 占 Ｉ占 Ｉ Ｆ Ｉ）２Ｉ ・． （２４） ６（ ， ｌ／２ ）Ｉ≤ｃ２ｃ７ ＩＩ ＩＩ￡ （ ｌｌ ＩＩ （ Ｉ Ａ Ｉ≤ 参ｌ Ａ ｌ ＋３ ４ ｌ ＪｌＪ ＊（鳓Ｊ｛ ｛Ｊ 蚴，（２５） （ｇ （ ），Ａｌｌｙ）Ｉ≤ Ｉ Ａ Ｉ ＋ ｊ Ｃ＿ｚ Ｊ ＡＩ／４Ｕ ｊ ２＋ １Ｌ （ ）Ｉ３。 ．（２６） 把（１５）一（２ｏ）式代人到（１４）式得 －Ａｌａｙ １２ Ａ３／４Ｕ Ｉ ２ ｃ譬－Ａ１／２ｕ １ ２＋ ６ｃ；（１＋ｃ８２） 州 ３１，］＋｛ Ｉ ｃ 占 。川 ＋ １ ｓ） （２７） 注意到 －ｇ （ ）－ ≤ｃ （ “－ ＋ ， ｄ ＋ Ｉ 岛 Ｉ ＋ Ｉ ｄｓ）≤２Ｃ Ｊ ＋Ｉ Ｉ Ｉ ｄｓ＋Ｊ —ｈ —Ｊ ｔ ２Ｃｇ Ｉ Ｊ ＋Ｃｇ Ｊｆ．一＾ Ｉ ＋’７ Ｊｄｓ≤ ． 这里 ＝２ＣｇＫ￣＋２ｃ７２ｃ ｌ Ｊ｛｛ （ ＋ Ｊ．＾Ｊ ＋叼Ｉ 因此可以得到 ｌ ｃ ８ …ｎ 去。 ，） ｝ｄ ， Ｉ Ａ Ｉ ＋ ６ｃ；（１＋ｃ ） ｍ ＋ ≤。， 这里 ６ｃ ０１ ：——Ａｄ＋ ．６ｃ；（１＋ｃ；） ．Ｃｇ ＩＩ ． ｍ）＋ ．’ 维普资讯 http://www.cqvip.com 第２期 韩天勇等：非光滑区域上２Ｄ—Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程的全局吸引子 ａ２＝ ［Ａ Ｉ ｆｌ＋ｃ５ｃ９１ ｃ１１ｓ （ ）］ ＋ ． 紧嵌入的． （２）下面对Ｉ Ｓ（ｔ）（ ）（０ ）一Ｓ（ｔ）（ ）（ ）ｌ ＝由一致Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式 得Ｉ Ａ （ｔ＋１）Ｉ ≤Ｋ４， Ｖｔ≥ｔ２，这里Ｋ４＝（ａ３＋ａ２）ｅ ．相应的，当ｔ≥ｔ２ ＋ｈ时，ｓｕｐ９ 『一＾ｏ］Ｉ Ａ“ （ｔ＋０）Ｉ ≤Ｋ４． ．Ｊ“（ ＋０Ｉ； ）一ｕ（ｔ＋０２； ）Ｊ作估 卜其中ｔ∈ Ｒ，０１，０２∈［一ｈ，０］，ｓ≥ｔ２， ∈Ｂ２．下简记ｕ（・）＝ ｕ（・； ），并假定０ ＞０ ，则 一＋ 若用Ｂ （０，Ｐ ）表示ｃ。（［一ｈ，０］，Ｄ（Ａ ））中 以０为圆心，Ｐ 为半径的圆，则对任（ 。，叼）∈Ｄ ｃＨ × ，当ｔ≥ｔ２时，Ｓ（ｔ）Ｄ Ｃ Ｂ２（０，Ｐ２），即Ｓ（ｔ）在 Ｉ“（ｔ＋０１）一“（ｔ＋０２）Ｉ＝Ｉ Ｊ “ （ｒ）ｄｒ Ｉ≤ Ｊｔ＋０１Ｉ一＋ Ｉ“ （ｒ）Ｉ ｄｒ≤Ｉ一＋ （ Ｉ （ｒ）Ｉ＋Ｉ Ｂ（ （ｒ））Ｉ＋ Ｊｔ＋０１ Ｊｔ＋０１ ｃＵ（［一ｈ，０］，Ｄ（Ａ ））中存在有界吸收集． 定理５ 设ｔ≥０ ∈（ （力）） ，且（ａ）－（ｄ） Ｉ厂Ｉ＋ Ｉ Ｆ Ｉ＋Ｉ （ｖ（ｒ））Ｉ＋Ｉ Ｒ（ｖ（ｒ））Ｉ）ｄｒ． 成立，那么方程（２）存在全局吸引子． 证明 定理１，定理２证明了方程（２）的解半 由关于Ｉ Ｉ，Ｉ胁Ｉ的估计有，Ｉ ｕ（ｔ＋０１）一ｕ（ｔ＋ ）Ｉ ≤Ｋ１ １ ０１—０ Ｉ＋ １ ０１—０ Ｉ ，因此ｕ（・）是等度 连续的，从而由Ａｚｅｌａ－Ａｓｃｏｌｉ定理知｛Ｓ（ｔ）｝在Ｃ 中 群的存在性，定理３，定理４分别证明了｛Ｓ（ｔ）｝ 在ｃ 和ｃ。（［０，Ｔ］；Ｄ（Ａ ））内存在有界吸收集． 如果还能证明Ｂ （０，Ｐ ）在ｃ 中是紧的，那么即可 证明Ｓ（ｔ）在Ｃ 中有全局吸引子．下面证明紧性． （１）对每个固定的０∈［一ｈ，０］，ｔ∈Ｒ，集合 ｛ｕ（ｔ＋ ； ）：ｓ≥ｔ ， ∈Ｂ ｝是相对紧的．这是由 于这个集合在Ｄ（Ａ ）中是有界的，且Ｄ（Ａ ）ｃ日 参考文献 是渐近紧的，进而｛Ｓ（ｔ）｝在 内有全局吸引子． 定理６ 设ｔ≥０ ∈（Ｌ （力）） ，且（ａ）－（ｄ） 成立，那么系统（１）存在全局吸引子． 致谢资助． 感谢成都大学科技基金对本文研究的 ［１］Ｃａｒａｂａｌｌｏ Ｔ，Ｒｅｌａ Ｊ．Ａｔｔｒａｃｔｏｒｆｏｒ ２Ｄ．Ｎａｖｉｅｒ．Ｓｔｏｋｅｓ ｍｏｄｅｌｓ ｗｉｔｈ ｄｅｌａｙｓ［Ｊ］．Ｊ Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌａ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，２００４，２０５：２７１—２９７． ［２］韩天勇，李树勇．时滞２Ｄ．Ｎａｖｉｅｒ．Ｓｔｏｋｅｓ方程的全局吸引子［Ｊ］．Ｉ￣ｔＪ［Ｉ师范大学学报：自然科学版，２００６，２９（３）：２５７—２６１． ［３］Ｔｅｍａｍ Ｒ．Ｉｎｆｉｎｉｔｅ Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ Ｓｙｓｔｅｍｓ ｉｎ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ［Ｍ］．２ｎｄ．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，１９８８． 『４］Ｔｅｍａｒｎ Ｒ．Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｍ １．２ｎｄ．Ｐｈｉｌａｄｅｌｐｈｉａ：ＳＩＡＭ，１９９５． ［５］Ｈｏｕ Ｙａｎ－ｒｅｎ，Ｌｉ Ｋａｉ＿ｌａｉ．１’｝１ｅ ｕｎｉｆｏｒｍ ａｔｔｒａｃｔｏｒ ｏｒｆ ｔｈｅ ２Ｄ ｎｏｎ－ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ ｆｌｏｗ ｉｎ ｓｏｍｅ ｕｎｂｏｕｎｄｅｄ ｄｏｍａｉｎ［Ｊ］－ Ｎｏｎｌｉｎｅｒ Ａｎａｌｙｓｉｓ，２００４，５８：６０９—６３０． 『６］Ｒｏｂｉｎｓｏｎ Ｊ Ｃ．Ｉｉｎｉｆｎｔｅ．Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ Ｄｙｎａｍｉｃａｌ Ｓｙｓｔｅｍｓ：Ａｎ Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ Ｄｉｓｓｉｐａｔｉｖｅ Ｐａｒａｂｏｌｉｃ ＰＤＥｓ ａｎｄ ｔｈｅ Ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｇｌｏｂａｌ Ａｔｔｒａｃｔｏｒｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，２００１． 『７］Ｂｒｏｗｎ Ｒ Ｍ，Ｐｅｒｒｙ Ｐ Ａ，Ｓｈｅｎ Ｚｈｏｎｇ．ｗｅｉ．Ｏｎ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ａｔｔｒａｃｔｏｒ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｎ—ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ Ｎａｖｉｅｒ・Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｎｏｎ．ｓｍｏｏｔｈ ｄｏｍａｉｎｓ［Ｊ＿．Ｊ Ｉｎｉｄｉａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２０００，４９（１）：８１—１ １２． ［８］郭柏灵．无穷维动力系统［Ｍ］．北京：国防工业出版社，２０００． ［９］潘杰，李树勇，黄玉梅．无界区域 上ＧＢＭＭ方程的指数吸引子［Ｊ］．￣ｔＪＩＩ师范大学学报：自然科学版，２０Ｏ５，２８（５）：５５１—５５５． Ｔｈｅ Ｇｌｏｂａｌ Ａｔｔｒａｃｔｏｒ ｆｏｒ ２Ｄ－－Ｎａｖｉｅｒ－－Ｓｔｏｋｅｓ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｎ Ｎｏｎ－－ｓｍｏｏｔｈ Ｄｏｍａｉｎｓ ＨＡＮ Ｔｉａｎ．ｙｏｎｇ ，ＬＩ Ｓｈｕ—ｙｏｎｇ （１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ Ｕｎｉｖｅ＝ｈｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ ６１０１０６，Ｓｉｃｈｕａｎ； ２．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｏｔｗａｒｅｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｓｉｃｈｕａｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅ＝ｈｙ，ＣｈｅｎｇｄＭ ６１００６６，Ｓｉｃｈｕａｎ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｇｌｏｂａｌ ａｔｔｒａｃｔｏｒ ｆｏｒ ２Ｄ—Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ ｄｅｌａｙｓ ｉｎ ｎｏｎ‘ｓｍｏｏｔｈ ｄｏｍａｉｎｓ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ Ｐｏｉｎｃａｒｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，ｉｍｂｅｄｄｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍ，ｅｎｅｒｇｙ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｕｎｉｆｏｒｍ Ｇｒｏｎｗａｌｌ Ｌｅｍｍａ，ｔｈｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｃｏｍｐａｃｔｎｅｓｓ ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：２Ｄ—Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；Ｇｌｏｂａｌ ａｔｔｒａｃｔｏｒ；Ｎｏｎ・ｓｍｏｏｔｈ ｄｏｍａｉｎｓ ２０００ ＭＳＣ：３４Ｉ）４５；３５Ｑ３０；７６Ｄ０５ （编辑余毅）